Problème classique — d’après E3A 2012 PSI Maths A

Lycée Ste-Marie Fénelon Classe de MP

Année 2016-2017 Mathématiques

Devoir surveillé n

6 du jeudi 15/12 — éléments de correction Exercice 1 — commun — d’après E3A PSI 2012 Maths A

Q.1. Pour étudier la série entière, on peut utiliser la définition (avec le Lemme d’Abel) ou la règle de D’Alembert.

•Avec cette première méthode, on remarque (formule de Stirling) que an∼ eⁿ

√2πn. Ainsi,(anxⁿ)n est bornée si|xe|<1et non bornée si |xe|>1. Finalment le rayon de convergence vaut R= 1/e.

• Avec la seconde méthode, on remarque que les a_k sont non nuls et que pour x 6= 0, |a_n+1xⁿ⁺¹|

|a_nxⁿ| =

|x| 1 +_n¹n

→e|x|. De même si |xe|<1, alors P

(anxⁿ)converge absolument ; et si |xe|>1, alors la même série diverge grossièrement. Ceci redonneR= 1/e.

a. FAUX. Le rapport tend vers e.

b. FAUX. C’est la déduction qui est erronée.

c. VRAI. Il viente >2et donc R= 1/e <1/2.

Q.2.

a. FAUX. On a effectivement |an| ≤ n¹, et donc (anxⁿ)n est bornée si |x| ≤ 1. Mais on peut en déduire quer≥1et pasr ≤1.

b. VRAI. On vient de le justifier !

c. Vrai. La suite(sin(n)xⁿ⁻¹)n est bornée si|x|<1 et non bornée si |x|>1(car (sin(n))n n’est pas de limite nulle, ce que l’on pourrait prouver par l’absurde). AinsiX

sin(n)xⁿ⁻¹a un rayon de convergence qui vaut1. En outreX

anxⁿétant la série entière primitive, elle a le même rayon de convergencer= 1.

d. VRAI. Le réel 1 est bien supérieur à 1/2. Il nous suffit de remarquer que (an/2ⁿ)n est bornée pour conclure quer ≥1/2.

e. FAUX. L’égalité est fausse enx= 0 cararctan(−cos(1)/sin(1))6= 0.

f. FAUX. Pour |x|<1, la série X

n≥1

sin(n)xⁿ⁻¹ est la partie imaginaire de la série X

n≥1

eⁱⁿxⁿ⁻¹ de somme eⁱ

1−xeⁱ. Par conséquent

+∞

X

n=1

sin(n)xⁿ⁻¹= sin(1) x²−2xcos(1) + 1. Par ailleurs −ln(|1−xeⁱ|) = −1

2ln(1 +x²−2xcos(1)) se dérive en − x−cos(1)

1−2xcos(1) +x². Ce terme n’étant pas égal à sin(1)

x²−2xcos(1) + 1 (par exemple en0), l’égalité proposée est fausse (si elle avait lieu, les dérivées devraient être égales).

g. FAUX. Sauf erreur de calcul, on conclut de manière similaire.

Problème classique — d’après E3A 2012 PSI Maths A

Partie A.

1.1 Commecos(x+π) =−cos(x)etsin(x+π) =−sin(x), on a immédiatementλ_n+2 =−λ_netµ_n+2 =−µ_n pour toutn. Ainsi (λ, µ)∈(S0)² .

1.2 On en déduit que pour toutn,λ_n+4 =λ_netµ_n+4 =µ_n. Les suitesλetµ sont donc périodiques de période4 .

2. L’ensembleS⁰ est non vide (il contient la suite nulle) et stable par combinaisons linéaires. Comme c’est un sous-ensemble de E, l’ensemble S0 est un sous-espace vectoriel de E .

3. Les éléments de S0 sont les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants d’équation caractéristique r²+ 1 = 0. Les solutions de cette dernière étant e^±iπ2, le cours indique que le couple

(λ, µ) est une base deS⁰ et que cet espace est de dimension 2.

4.1 Soitu ∈ S0. La suiteu est combinaison linéaire de λ etµ. En regardant les termes d’indice 0 et1, on trouve les coefficients de la combinaison et on trouve après calcul :

∀n∈N, un = u₀cos nπ

2

+u₁sin nπ

2

.

La suite u étant non nulle, un des coefficients u₀ ou u₁ est non nul. Or u_4n = u₀, u_4n+1 = u₁, u4n+2 =−u0etu4n+3=−u1. On trouve donc deux extraites qui convergent vers des limites différentes.

La suite u ne converge donc pas .

4.2 D’après la question précédente la série P

un est grossièrement divergente (son terme général n’est pas de limite nulle).

4.3 La suite u est bornée et donc pour toutx∈[−1,1], la suite (unxⁿ)n est bornée. Par ailleurs si x >1, l’une des suites extraites de (|unxⁿ|)n est de limite infinie ((|u_4nx⁴ⁿ|)n ou (|u_4n+1x⁴ⁿ⁺¹|)n selon que u₀ 6= 0 ouu₁6= 0) ; par conséquent(u_nxⁿ)_n n’est donc pas bornée.

Il s’ensuit que la fonctionf est la somme d’une série entière de rayon de convergence égal à1. Comme f(1) et f(−1) n’existent pas (divergence grossière) : le domaine de définition def est]−1,1[. On remarque par ailleurs que

∀n∈N, ∀x∈]−1,1[,

4n+3

X

k=0

ukx^k = u₀





n

X

p=0

x^4k−

n

X

p=0

x^4k+2



+u₁





n

X

p=0

x^4k+1−

n

X

p=0

x^4k+3



.

On sait calculer les sommes (géométriques de raisonx⁴ ∈[0,1[) et un passage à la limite donne

∀x∈]−1,1[, f(x) = (1−x²)(u0+u1x)

1−x⁴ = u0+u1x 1 +x² .

Partie B.

1.1 Supposons, par l’absurde, que u ∈ S et notons a le réel associé. On a 2a = u₂ +u₀ = 2 et 2a = u₁+u₃=−2 ce qui amène une contradiction. Ainsi u /∈ S .

1.2 On a ici u_4n = u_4n+1 = 1 et u_4n+2 = u_4n+3 = −1 pour tout n. On en déduit que u_n+2+un = 0 pour tout n(par exemple en distinguant suivant la congruence modulo 4 de n). On a donc u∈ S et

la constante correspondante est nulle .

1.3 On a iciun+u_n+2 = 10pour toutn. On a donc u∈ S et la constante correspondante est5 . 2. Le même calcul montre que toute suite constante est dansS avec une constante égale àu0 .

3. Soitu une suite géométrique. Il existe des réels q etλtels que∀n, u_n=λqⁿ.

• Siu∈ S alors u₀+u₂=u₁+u₃ et donc λ(1 +q²) =λq(1 +q²). On en déduit queλ= 0ou q= 1.

Dans les deux cas u est constante.

• Réciproquement, les suites constantes sont dans S.

Finalement les suites géométriques qui sont dans S sont exactement les suites constantes .

4. On sait déjà queSest non vide et inclus dansE. Siuetvsont dansSassociées à des constantesaetb, et siλ∈Ralors pour toutn,(u+λv)_n+2+(u+λv)n=a+λb. Ainsiu+λv ∈ S et la constante associée est a+λb. Par conséquentSest stable par combinaison linéaire et donc S un sous-espace vectoriel de E . 5. De façon immédiate, on a S0 ⊂ S : tout élément deS0 est dans S de constante associée nulle.

L’inclusion réciproque est fausse puisque la suite constante égale à 1 est dans S sans être dans S0. Ainsi S 6⊂ S⁰ .

6. On a immédiatementϕ(λu+v) =λϕ(u)+ϕ(v)c’est-à-dire la linéarité deϕ. Commeϕest à valeur dans R, cette application est bien une forme linéaire . On notera que c’est l’application qui à un élément de S associe la constante correspondante de la définition.

Les éléments du noyau deϕsont les élément deS admettant une constante nulle, d’où Ker (ϕ) =S0 . 7. La suite v est dans S mais pas dans l’hyperplan Ker (ϕ). C’est donc un vecteur qui engendre un

supplémentaire de cet hyperplan (les hyperplans sont les sous-espaces de codimension 1) : S = S⁰⊕Vect(v) .

8. Soitu∈ S eta= ^u0+u₂ ². La suiteu−avest alors un élément deS⁰, donc c’est une combinaison linéaire de λet de µdéfinies en partie A. Les termes d’indice 0 et1 donnent les valeurs des constantes et on obtient finalement

∀n∈N, un = u₀+u₂

2 +u₀−u₂

2 cosnπ 2

+2u₁−u₀−u₂

2 sinnπ 2

.

9. Un élément de S est combinaison linéaire des trois suites v,λ,µqui sont périodiques de période 4. Il est ainsi clair que tout élément deS est périodique de période 4 .

10. L’espace S est de dimension 3 (comme somme directe d’un espace de dimension 2 et d’un autre de dimension1). L’applicationθest immédiatement linéaire. De plus, siu∈Ker (θ)alors les trois premiers termes de u sont nuls. On a aussi u₁ +u₃ = u₀ +u₂ et donc u₃ = 0. Par 4-périodicité, les u_n sont tous nuls. L’application θ est de fait une application linéaire injective entre deux espaces de même dimension : ainsi θest un isomorphisme d’espaces vectoriels .

11. Siu∈ S, alors u₃=u₀+u₂−u₁. On peut alors continuer par 4-périodicité :

I = (1,0,0,1,1,0,0,1, . . .), J = (0,1,0,−1,0,1,0,−1. . .), K = (0,0,1,1,0,0,1,1. . .) . 12.1 La linéarité de Tk est immédiate : avec des notations évidentes (u+λv)kn=ukn+λvkn est vrai pour

toutn. L’application T_k allant de E dansE, c’est bien un endomorphisme deE .

12.2 On constate que w = T₂(I) = (1,0,1,0, . . .) n’est pas dans S car w₀ +w₂ = 0 6= w₁ +w₃. Ainsi S n’est pas stable par T2 .

12.3 On constate que T3(I) = (1,1,0,0,1,1,0,0, . . .) = I +J, T3(J) = (0,−1,0,1,0,−1,0,1, . . .) = −J etT₃(K) = (0,1,1,0,0,1,1,0, . . .) = J+K. Les éléments d’une base de S étant envoyés dans S par l’application linéaire T₃, il vient que S est stable par T₃ .

12.4 Le calcul précédent donne

Mat(T₃,C) =







1 0 0

1 −1 1

0 0 1





.

12.5 Par lecture directe de la matrice de la question précédente, les suitesI−K etI+J+K sont vecteurs propres indépendants deT₃associés à la valeur propre1. Par ailleursJ est vecteur propre deT₃ associé à la valeur propre−1. Les sous-espaces propres étant en somme directe, il vient

Sp(T₃) = (1,1,−1), E₁(T₃) = Vect(I −K, I+J+K), E₋₁(T₃) = Vect(J) .

12.6 L’endomorphisme τ3 est la symétrie par rapport à Vect(I−K, I +J +K) de directionVect(J) . 13. Soitu∈ S eta= ^u0+u₂ ². On aw=u−av∈ S0. On en déduit que (toutes les quantités écrites existent) :

∀x∈]−1,1[, h(x) =

+∞

X

k=0

w_kx^k+a

+∞

X

k=0

x^k.

Avec la question4.3de la partieA, la première somme vaut w₀+w₁x

1 +x² . La seconde vaut _1−x^a . Avec les valeurs dew₀ et w₁ on obtient donc :

∀x∈]−1,1[, h(x) = u0+u2

2(1−x) +(u0−u2) + (2u1−u0−u2)x 2(1 +x²) .

On imagine que l’énoncé veut ensuite parler de prolongement par continuité en 1 et −1, c’est-à-dire qu’il faut voir sih admet une limite finie en 1ou −1.

• C’est toujours le cas en−1, la limite valant 3u0−2u1+u2

4 .

• Par contre, il y a une limite finie en 1 si et seulement si u0+u2 = 0 c’est-à-dire u ∈ S⁰. Dans ce cas, la limite vaut alors u₀+u₁

2 .

Partie C.

1. Il s’agit de généraliser le résultat vu en question 9 de la partie B (cas p = 2). Soit u ∈ S^p et a la constante associée ; pour tout entiern, on a

un+p+un = a = un+2p+un+p,

et ainsi un+2p =un, ce qui montre que u est2p-périodique . 2.1 Un développement par rapport à la dernière ligne donne

det(XI_p+1−F) = (X−1)

X −1 0 . . . 0 0 X −1 . .. ... ... . .. ... ... 0

0 . .. ... −1

1 0 . . . 0 X ,

où le déterminant est de taillep. On développe ce dernier par rapport à la première colonne : det(XI_p+1−F)) = (X−1) X^p+ (−1)^p−1·(−1)^p−1

d’où χ_F(X) = (X−1)(X^p+ 1).

2.2 Les valeurs propres deF sont les racines de son polynôme caractéristique.

• Les valeurs propres complexes sont1 et les racines p-ièmes de −1. Ainsi : SpC(F) = {1} ∪

e^i(2k+1)πp / 0≤k≤p−1

.

• Quant au spectre réel : sip est pair, alorsSpR(F) ={1}; si p est impair, alorsSpR(F) ={1,−1} . 2.3 Le réel0 n’étant pas valeur propre deF : F ∈GL_p+1(R) .

2.4 La matrice F possède p+ 1 valeurs propres complexes distinctes et est de taille p+ 1. La matrice F est doncC-diagonalisable à sous-espaces propres de dimension1.

Il y a au plus deux sous-espaces propres réels qui sont au plus de dimension 1 (multiplicité de chaque valeur propre). Ainsi, la somme des dimension des sous-espaces propres réels deF est au plus2et donc différente dep+ 1. Il s’ensuit que F n’est pas diagonalisable surR.

3. •L’application δ est clairement linéaire.

•Soitu∈Ker (δ), alorsu₀ =· · ·=u_p−1=u₀+u_p = 0. La constanteaassociée àuvaut 1

2(u₀+u_p) = 0.

On en déduit que :∀n,u_n+p =−u_n. Par conséquentu_p =· · ·=u_2p−1 = 0. La suiteuest2p-périodique et ses2p premiers termes sont nuls : uest la suite nulle ! L’application δ est donc injective.

•Soit (a₀, . . . , a_p−1, x)∈R^p+1. On définit u de manière récurrente par

∀i∈[[0, p−1]], ui = ai et ∀n≥p, un = 2x−u_n−p.

Cette suite est bien définie. Par définitionuest dansSpet a pour constantex, avecδ(u) = (a₀, . . . , a_p−1, x).

On a donc montré la surjectivité deδ.

Finalement δ est un isomorphisme d’espaces vectoriels et

dim(S^p) = dim(R^p+1) =p+ 1.

4.1 L’applicationψ est linéaire. Si u est dansSp avec une constante aett=ψ(u), alors : ∀n,t_n+t_n+p = u_n+1+u_n+p+1 = 2a. Par conséquent test dansS^p avec la même constantea.

Bilan : ψ est un endomorphisme deS^p .

4.2 Les éléments deS^p étant 2p-périodiques, on a ψ^2p =Id_Sp .

4.3 Soit (I₁, I₂,· · ·, Ip, I_p+1) la base C^p de S construite par l’égalité δ(Ik) = Ek, où (Ek)k est la base canonique deR^p+1.

Lesp premiers I_k sont des suites deSp oùa= 0, tandis queI_p+1 est une suite de Sp où a= 1.

Ces suites sont 2p-périodiques. Précisons leurs2ppremiers termes :



























u₀ u₁ u₂ · · · u_p−1 up u_p+1 u_p+2 · · · u_2p−1 I₁ : 1, 0, 0, · · · 0, −1, 0, 0, · · · 0, I2 : 0, 1, 0, · · · 0, 0, −1, 0, · · · 0, I₃ : 0, 0, 1, · · · 0, 0, 0, −1, · · · 0,

... ... ... · · · ...

Ip : 0, 0, · · · 1, 0, 0, · · · −1, I_p+1: 0, 0, · · · 0, 2, 2, 2, · · · 2,

et























ψ(I₁) =−Ip

ψ(I₂) =I₁ ψ(I₃) =I₂ ... ψ(Ip) =Ip−1

ψ(I_p+1) = 2Ip+I_p+1

On se rend alors compte que la matrice deψ dans la baseC^p est F !

4.4 La matriceF n’étant pas diagonalisable dans R, l’application ψ n’est pas diagonalisable .

4.5 La matriceF étant inversible, l’application ψ est un isomorphisme . En outre d’après le théorème de Cayley-Hamiltonχ_F annule ψ, donc ψ^p+1−ψ^p+ψ−Id= 0. Ainsi

ψ⁻¹ = ψ^p−ψ^p−1+ Id.

En termes de suites, il vient ψ⁻¹(u) =wavec wn=u_n+p−u_n+p−1+wn pour tout n.

Problème corsé — d’après Mines 2014 PSI Maths II

I. Séries trigonométriques.

Question 1

Pour tout n ∈Z, il vient |c_n(f)| ≤ 1 2π

Z 2π

0 |f(θ)||e_−n(θ)|dθ. Or|f(θ)| ≤ kfk et |e_−n(θ)| = 1pour tout θ, donc |cn(f)| ≤ kfk. La suite(|cn(f)|)_n∈Z est donc majorée, donc (cn(f))_n∈Z est bornée .

Question 2

• Soitf ∈C^∞_♯ etn∈Z.

L’applicationf est en particulier de classeC¹, de même queθ7→e^−inθ. D’après la formule d’intégration par parties :

cn(f^′) = 1 2π

h

(f(θ)e^−inθ)i2π 0 +in

Z _2π

0

f(θ)e_−n(θ) dθ

. Orf est 2π-périodique, donc le crochet est nul, d’où c_n(f^′) =inc_n(f).

• On en déduit par récurrence immédiate que, pour tout n∈Z et toutk∈N, cn f^(k)

= (in)^kcn(f) . Par conséquent, d’après la questionQ.1., pour toutn∈Zet toutk∈N,

f^(k)

≥ |n|^k|c_n(f)|, puis : pour toutn∈Z\ {0},|cn(f)| ≤

f^(k)

|n|^k . Question 3

• Soitx∈R. Pour toutn∈N^∗, |dnen(x)|=|dn|. Or la série X

n≥1

dn converge absolument, ainsi la série X

n≥1

dnen(x) est également absolument convergente, donc convergente.

C’est la même chose pour la sérieX

n≥1

d_−ne_−n(x).

Finalement X

d_ne_n converge simplement surR.

• D’après ce qui précède, pour tout n∈N^∗,kdnenk=|dn|. Or en est 2π-périodique, donckdnenk^R∞ =

|dn|. Ainsi, la série de fonctions X

n≥1

dnen est normalement donc uniformément convergente surR. En outre chaque dnenest continue.

Par conséquent, la fonction

+∞

X

n=1

dnen est continue sur R. C’est la même chose pour

+∞

X

n=1

d_−ne_−n. Enfin d₀e₀ est continue, donc hest continue .

• Toutes les fonctions en, oùn∈Z, sont 2π-périodiques, donch l’est aussi.

Finalement h∈C⁰

♯ .

• Déterminons enfin les coefficients de Fourier deh. Soitp∈Z. Pour toutn∈N^∗,dnene_−p est continue sur [0,2π], et kdnene−pk =|dn|. Ainsi la série de fonctions X

n≥1

dnene−p converge normalement donc uniformément sur[0,2π].

Par conséquent, par intégration terme à terme d’une série de fonctions uniformément convergente sur un segment, la sérieX

n≥1

Z

[0,2π]

dnene_−p converge et 1 2π

Z

[0,2π]

+∞

X

n=1

dnene_−p

!

= 1 2π

+∞

X

n=1

Z

[0,2π]

dnene_−p. C’est la même chose pour justifier que 1

2π Z

[0,2π]

+∞

X

n=1

d_−ne_−ne_−p

!

= 1 2π

+∞

X

n=1

Z

[0,2π]

d_−ne_−ne_−p.

On peut donc conclure que 1 2π

Z

[0,2π]

h= 1 2π

+∞

X

n=−∞

Z

[0,2π]

d_ne_ne_−p. Enfin 1

2π Z

[0,2π]

e₀ = 1, et sik est un entier relatif non nul, 1 2π

Z

[0,2π]

ek= e^2ikπ−1 2ikπ = 0.

Finalement : pour toutp∈Z,cp(h) =dp . Question 3’ Considérons f ∈ C⁰

♯ dont la série de Fourier X

n

cn(f)en converge absolument. D’après la question Q.3., la somme h=X

n∈Z

cn(f)en de cette série de Fourier est dans C⁰

♯ et ses coefficients de Fourier sont les c_n(f). D’après la propriété (INJ) admise, les fonctionsf eth admettant les mêmes coefficients de Fourier, elles sont de fait égales.

Il s’ensuit que f est bien développable en série de Fourier . Question 4

M. Cochet.L’hypothèse est alambiquée. Elle signifie seulement que pour toutk, on a APCR|dn| ≤ C_k

|n|^k, ce qui s’interprète par : pour tout k,|dn|=O

1

|n|^k

. On peut de fait la réécrire de la façon suivante : on remplace C_k par C_k^′ = max{|d_1−Nk|, . . . ,|d_Nk−1|, C_k}, ce qui permet de s’affranchir de N_k. L’hypothèse est donc désormais : pour tout k,|d_n| ≤ C_k

|n|^k .

• Soitℓ∈N. Pour tout n∈N^∗,en^(ℓ)= (in)^ℓen etkenk∞= 1, donc dne^(ℓ)n

∞=|dn|n^ℓ. Or par hypothèse |dn| ≤ Cℓ+2

n^ℓ+2, donc dne^(ℓ)n

∞ ≤ Cℓ+2

n² . Or la série X

n≥1

Cℓ+2

n² est convergente, donc par comparaison de séries à termes positifs X

n≥1

dne^(ℓ)_n

∞, i.e. la série de fonctions X

n≥1

dne^(ℓ)_n est normalement convergente.

C’est la même chose pour la série de fonctionsX

n≥1

d_−ne^(ℓ)_−n. Finalement la série de fonctions X

n∈Z

d_ne^(ℓ)_n converge normalement sur R.

• Démontrons que, pour toutℓ∈N, la fonction

+∞

X

n=1

dnenest de classeC^ℓ et de dérivéeℓ-ième

+∞

X

n=1

dne^(ℓ)_n .

⋆ Chaque fonction d_ne_n est de classeC^ℓ surR.

⋆ La série X

n≥1

dnen converge simplement d’après la question Q.3..

⋆ D’après le début de cette question, la série X

n≥1

dne^(ℓ)_n converge normalement donc uniformément surR.

D’après le théorème de dérivation terme à terme, la fonction

+∞

X

n=1

dnen est de classe C^ℓ, de dérivée

+∞

X

n=1

dne^(ℓ)_n . Par ailleurs cette fonction est2π-périodique comme somme de fonctions qui le sont. Fina- lement

+∞

X

n=1

dnen appartient àC^∞

♯ . Il en est de même pour

+∞

X

n=1

d−ne−n. Finalement X

n∈Z

d_ne_n appartient à C^∞

♯ .

Question 5

À noter que la définition de l’énoncé impose à un opérateur différentiel d’être non nul (à cause de l’exis- tence de l’entier K), et que, si l’on n’autorise pas les bk à être des complexes quelconques, le sens réciproque est faux.

• SoitB un opérateur différentiel, etK son ordre. Il existe donc des complexesb₀, . . . ,bK, avecbK 6= 0, tels que, pour toutf ∈C^∞_♯ : Bf =

K

X

k=0

bkf^(k). Alors, d’après la questionQ.2.: pour toutf ∈C^∞

♯ et toutn∈Z, cn(Bf) =

K

X

k=0

bk(in)^k

!

cn(f) = P(n)cn(f), où P =

K

X

k=0

i^kbkX^k.

CommebK 6= 0, il vienti^kbK 6= 0, donc le polynôme P est bien de degré K .

• SoitAun endomorphisme deC^∞_♯ pour lequel existe un polynôme complexe de degréK,P =

K

X

k=0

akX^k, de sorte que, pour tout f ∈C^∞

♯ , et pour toutn∈Z,cn(Af) =P(n)cn(f).

La méthode consiste à construire un opérateur différentiel dont on va montrer qu’il est égal àA.

On pose, pour tout k∈[[0, K]],bk= a_k

i^k,¹ et on définitB surC^∞

♯ par Bf =

K

X

k=0

bkf^(k). L’applicationB est donc un opérateur différentiel d’ordre K, et, pour toutf ∈C^∞

♯ et toutn∈Z, cn(Bf) =

K

X

k=0

bk(in)^k

!

cn(f) = P(n)cn(f) = cn(Af).

Ainsi, si f ∈ C^∞

♯ , les fonctions Bf etAf sont deux éléments de C^∞

♯ , donc de C⁰

♯, et (cn(Bf))_n∈Z = (cn(Af))_n∈Z. D’après la remarque(INJ), il vientBf =Af.

Finalement A est un opérateur différentiel d’ordre K de C^∞_♯ . II. Équation de la chaleur généralisée.

Question 6

Pour toutn∈Z\ {0}, il vient|ρ(|n|)c_n(f)| ≤ |n|^ℓ|c_n(f)|. Mais, avec les notations de la question Q.2., pour toutn∈Z\ {0} et toutk∈N, on a la majoration|cn(f)| ≤ C_k+ℓ

|n|^k+ℓ. On en déduit que |ρ(|n|)cn(f)| ≤ C_k+ℓ

|n|^k . On peut donc appliquer la question Q.4. : la série de fonctions X

n∈Z

ρ(|n|)c_n(f)e_n converge normalement et sa somme appartient à C^∞

♯ . Question 7

On va à nouveau se servir de la questionQ.4.. Pour tout n∈Z^∗, on atρ(|n|)≥t|n|donc par croissance de l’exponentielle et d’après la questionQ.1.:

e^−tρ(|n|)c_n(f)

≤e^−t|n|kfk.

Maist >0, donc par croissances comparées, pour toutk∈N, la quantitén^ke^−t|n|tend vers0quandn→+∞ et quandn→ −∞. On en déduit que la suite |n|^ke^−t|n|kfk

n∈Z est bornée.

Les conditions d’application de la questionQ.4.sont donc réunies, d’où : pour tout t >0,X

n∈Z

e^−tρ(|n|)cn(f)en converge normalement, et sa somme appartient àC^∞

♯ .

1. Voilà pourquoi il faut remplacer «b_kréels » par «b_kcomplexes ».

Question 8

Soitaun réel strictement positif. Appliquons le théorème de dérivation terme à terme d’une série de fonctions, pour prouver que la fonctiont7→

+∞

X

n=−∞

e^−tρ(|n|)cn(f)e^inx est de classe C^∞ sur [a,+∞[.

• Pour tout n∈Z,ϕn définie sur [a,+∞[par ϕn(t) =e^−tρ(|n|)cn(f)e^inx est de classe C^∞ sur[a,+∞[.

• La série de fonctions X

n∈Z

ϕ_n converge simplement surR, puisque elle converge absolument.

En effet|ϕn(t)| ≤e^−t|n|× kfk∞, avec X

e^−t|n| qui converge cart >0.

• Pour tout m∈N, la série de fonctions X

n∈Z

ϕ^(m)_n converge-t–elle normalement ? Il vientϕ^(m)n (t) = (−ρ(|n|))^me^−tρ(|n|)c_n(f)e^inx, donc

|ϕ^(m)_n (t)| = ρ(|n|)^me^−tρ(|n|)|c_n(f)| ≤ |n|^ℓme^−a|n|kfk∞

puis ϕ^(m)n

∞ ≤ |n|^ℓme^−a|n|kfk∞. Or par croissances comparées n²× |n|^ℓme^−a|n|kfk∞ est de limite nulle quand|n| →+∞, d’où la convergence deX

|n|^ℓme^−a|n|kfk∞ puis la convergence normale sur [a,+∞[de X

ϕ^(m)_n .

D’après le théorème de dérivation terme à terme : t7→

+∞

X

n=0

e^−tρ(|n|)cn(f)e^inx est de classeC^∞sur[a,+∞[, et on peut la dériver terme à terme. De même pour la sérieX

n≥1

ϕ_−n.

Or ceci est vrai pour tout a >0, et tout réel strictement positif est intérieur à une demi-droite [a,+∞[, avec a >0, donc : t7→

+∞

X

n=−∞

e^−tρ(|n|)c_n(f)e^inx est de classeC^∞ sur]0,+∞[. Question 9

Soitf ∈C⁰

♯.

D’une part, on a vu à la question Q.8. précédente que la fonction t7→ Qt(f)(x) =

+∞

X

n=−∞

e^−tρ(|n|)cn(f)e^inx

est de classe C¹ sur ]0,+∞[, et que sa dérivée est t 7→ ∂

∂tQt(f)(x) =

+∞

X

n=−∞

−ρ(|n|)e^−tρ(|n|)cn(f)e^inx. Par ailleurs les coefficients de Fourier de Qt(f) sont lese^−tρ(|n|)cn(f).

D’autre part on a vu à la question Q.7. que l’opérateur Q_t est défini sur C⁰

♯ et prend ses valeurs dansC^∞

♯ . En outre A est défini surC^∞

♯ . Il est donc licite d’écrireA(Qt(f))(x).

Par définition de l’opérateur A : A(Q_t(f)) (x) =

+∞

X

n=−∞

ρ(|n|)

c_n(Q_t(f)) e_n =

+∞

X

n=−∞

ρ(|n|)e^−tρ(|n|)c_n(f)e^inx.

Ainsi, la fonctionΦ définie surR×]0,+∞[par Φ (x, t) =Qt(f)(x) vérifie :

∀(x, t)∈R×]0,+∞[, ∂Φ

∂t (x, t) = −A(Q_t(f)) (x) . Question 10

Soitu etg deux éléments deC^∞

♯ . Par définition (A+αI)u=

+∞

X

n=−∞

(ρ(|n|) +α)cn(u)en. Mais on a vu que les séries X

n∈Z

|ρ(|n|)cn(u)| et X

n∈Z

|cn(u)| convergeaient, donc, d’après la question Q.3., la suite des coefficients de Fourier de (A+αI)u est ((ρ(|n|) +α)cn(u))_n∈Z. Procédons par analyse/synthèse pour déterminer l’existence et l’unicité du u recherché.

• Supposons (A+αI)u = g. Alors, pour tout n ∈ Z, (ρ(|n|) +α)c_n(u) = c_n(g). Or ρ(|n|) ∈ R₊, et α /∈R₋, donc ρ(|n|) +α6= 0, d’oùc_n(u) = cn(g)

ρ(|n|) +α. Mais u∈C^∞

♯ , donc d’après la question Q.3’.u est la somme de sa série de Fourier. Par conséquent u=

+∞

X

n=−∞

cn(g)

ρ(|n|) +αen. Ceci nous donne l’unicité deu.

• Soit maintenant u défini par u = X

n∈Z

c_n(g)

ρ(|n|) +αe_n. Or g ∈ C^∞

♯ , donc pour tout k ∈ N et tout n∈Z\ {0} on a|cn(g)| ≤ kgk

|n|^k. Ainsi pour|n|>|α|+ 1, il vient

|cn(g)|

ρ(|n|) +α ≤ kgk

(|n| − |α|)|n|^k ≤ kgk

|n|^k. On peut appliquer la questionQ.4.: la fonctionu=

+∞

X

n=−∞

cn(g)

ρ(|n|) +αenest un élément deC^∞

♯ . D’après la question Q.3., la suite de ses coefficients de Fourier est

cn(g) ρ(|n|) +α

n∈Z

. On en déduit que

(A+αI)u = t

+∞

X

n=−∞

(ρ(|n|) +α)cn(u)en =

+∞

X

n=−∞

cn(g)en.

Enfing∈C^∞

♯ , donc g est la somme de sa série de Fourier (questionQ.3’.), puis (A+αI)u=g.

Finalement, on a montré que : A+αI est un automorphisme deC^∞

♯ . Question 11

Soitx∈Rfixé.

Appliquons le théorème d’intégration terme à terme au membre de droite de la formule à obtenir. Pour ce faire, pour tout n ∈ Z, on définit la fonction hn sur ]0,+∞[ par hn(t) = e^−αte^−tρ(|n|)cn(g)e^inx. C’est une fonction continue sur]0,+∞[, de module majoré par t7→e(−ℜ(α)−|n|)t|cn(g)|.

• On aℜ(α) +|n|>0, donc cette fonction t7→e(−ℜ(α)−ρ(|n|))t|cn(g)| est intégrable sur]0,+∞[, et son intégrale y vaut |cn(g)|

ℜ(α) +ρ(|n|).

Par conséquent, la fonction hn est continue et intégrable sur]0,+∞[ avec : Z

]0,+∞[|hn| ≤ |c_n(g)|

ℜ(α) +|n| ≤ |cn(g)|.

• D’après la questionQ.7., la sérieX

h_n converge simplement.

• D’après le premier• et la questionQ.2., pour tout n≥1 : 0 ≤

Z

]0,+∞[|h_n| ≤ |c_n(g)|

ℜ(α) +n ≤ kgk n² .

Par conséquent, la sérieX

n≥1

Z

]0,+∞[|h_n|converge.

D’après le théorème d’intégration terme à terme (sur un invervalle quelconque), la fonction

+∞

X

n=1

hn est inté- grable sur]0,+∞[et son intégrale y vaut

+∞

X

n=1

Z

]0,+∞[

h_n. On procède de même avec

+∞

X

n=1

h_−n.

Finalement la fonction t7→e^−αtQ_t(g)(x) est intégrable sur]0,+∞[, et son intégrale y vaut

+∞

X

n=−∞

Z

]0,+∞[

hn =

+∞

X

n=−∞

Z _+∞

0

e^−αte^−tρ(|n|)cn(g)e^inxdt =

+∞

X

n=−∞

cn(g)

α+ρ(|n|)e^inx. En reprenant les résultats de la questionQ.10., on peut donc conclure que :

Z _+∞

0

e^−αtQt(g)(x)dt = (A+αI)⁻¹(x).

Question 12

• La construction de la questionQ.10. est possible dès que, pour toutn∈Z,α6=−ρ(|n|).

Dans chacun de ces cas, l’opérateur A+αI est un automorphisme de C^∞

♯ , donc est de noyau nul, donc −α n’est pas une valeur propre de A.

• Par ailleurs, pour toutN ∈N,e_N est non nul ses coefficients de Fourier sont donnés par(c_n(e_N))_n∈Z = (δn,N)_n∈Z, donc AeN =ρ(N)eN.

• Finalement : les valeurs propres deA sont les nombres ρ(n), où n∈N. III. Représentations intégrales.

Question 13 Sif ∈C^∞

♯ , alors d’après la questionQ.6. la fonction A¹(f) est définie et est un élement de C^∞

♯ . Il s’ensuit que A¹◦A¹

(f) est bien défini.

D’autre part, d’après la question Q.3., la suite des coefficients de Fourier de A¹(f) est(|n|cn(f))_n∈Z, d’où : A¹◦A¹

(f) =

+∞

X

n=−∞

|n||n|cn(f)en =

+∞

X

n=−∞

n²cn(f)en = A₂(f).

Question 14

• Avec P = X², pour tout f ∈ C^∞

♯ et tout n ∈ Z, cn A²(f)

= P(n)cn(f), donc, d’après la ques-

tionQ.5., l’opérateur différentiel A² est donné parf 7→ 1

i²f^′′=−f^′′.

• Examinons le cas de A¹. Si P est un polynôme pour lequel, pour tout f ∈ C^∞

♯ et tout n ∈ Z, cn A¹(f)

=P(n)cn(f), alors on obtient, en appliquant àf =en, que : pour toutn∈Z,P(n) =|n|. En particulier, les polynômes X etP coïncident en tous les entiers naturels, donc en une infinité de réels, d’où P =X.

Par ailleurs −X coïncide avec P en les opposés de tous les entiers naturels, donc en une infinité de réels, d’où P =−X.

On a obtenu deux résultats contradictoires, donc A¹ n’est pas un opérateur différentiel . Question 15

• SurC^∞

♯ , l’opposé du laplacien est l’opérateur différentiel f 7→ −f^′′: c’est A². OrA¹ est un opérateur deC^∞

♯ dont la carré est A² : A¹ est bien une racine carrée de l’opposé du laplacien deC^∞

♯ .

• Sif est un élément deC⁰

♯, et sit∈]0,+∞[, on sait que la fonction x7→Q²_t(f)(x)est élément deC^∞

♯ , et queA² Q²_t(f)

=− Q²_t(f)′′

.

Ainsi, le résultat de la question Q.9. nous indique que la fonction Φ définie sur R×]0,+∞[ par Φ (x, t) = Q_t(f)(x) est solution de l’équation aux dérivées partielles ∂Φ

∂t = ∂²Φ

∂x² : c’est bel et bien l’équation de la chaleur à une dimension . Comme on a obtenu cette conclusion en appliquant le ré- sultat de la questionQ.9.dans un cas particulier, on peut l’interpréter comme donnant des solutions d’un problème différentiel qui généralise l’équation de la chaleur .

Question 16

On fixey dansR,t∈]0,+∞[, etf ∈C^∞_♯ . On a déjà vu quef est la somme de sa série de Fourier, donc, pour toutx∈R :

f(y−x) t²+x² =

+∞

X

n=−∞

cn(f)e^in(y−x) t²+x² .

Afin d’appliquer le théorème d’intégration terme à terme, on définit, pour tout n∈Z, une fonction ϕn sur Rpar ϕ_n(x) = c_n(f)te^in(y−x)

t²+x² .

• Pour toutn∈Z,ϕnest continue, de module majoré parx7→ |cn(f)| ·t

t²+x² , qui est une fonction intégrable surR(de la variablex). Ainsiϕ_n est intégrable surR.

• Par construction la série X

ϕn converge simplement surR.

• Pour tout n∈Z, Z

R|ϕn| ≤ |cn(f)| Z _+∞

−∞

dx

t²+x² =Kt· |cn(f)|. Or les deux sériesX

n≥1

|cn(f)|etX

n≥1

|c_−n(f)|convergent puisquef ∈C^∞_♯ , donc les deux sériesX

n≥1

Z

R|ϕn| etX

n≥1

Z

R|ϕ_−n|convergent.

Le théorème d’intégration terme à terme (toujours en séparant les deux séries) s’applique donc : (∗)

Z _+∞

−∞

t

t²+x²f(y−x)dx =

+∞

X

n=−∞

c_n(f)e^iny Z _+∞

−∞

te^−inx t²+x²dx.

Pourn∈Zfixé, on calcule l’intégrale Z _+∞

−∞

te^−inx

t²+x²dx. La fonctionu7→tuest une bijectionC¹ deRvers lui- même et l’applicationx7→ te^−inx

t²+x² est continue et intégrable sur R, donc, d’après la formule de changement de variable :

Z _+∞

−∞

te^−inx t²+x²dx =

Z _+∞

−∞

e^−intu

t²+t²u²t²du = Z _+∞

−∞

e^−intu 1 +u²du.

Enfin, d’après le premier résultat admis : Z _+∞

−∞

e^−intu

1 +u²du=√ 2π

rπ

2e^−|n|t=πe^−|n|t. On remplace dans(∗): Z _+∞

−∞

t

t²+x²f(y−x)dx =

+∞

X

n=−∞

cn(f)e^inyπe^−|n|t,

d’où : Q¹_t(f) (y) = 1 π

Z _+∞

−∞

t

t²+x²f(y−x)dx . Le réel recherché est donc α= 1 π .

Exercice 2 — classique — d’après E3A MP 2009 Maths B

1. Posons an = (−1)ⁿ

3n+ 1, coefficient de la série entière X(−x)ⁿ

3n+ 1. Alors les an sont tous non nuls et

|a_n+1|

|a_n| = 3n+ 1 3n+ 4

n→+∞−→ 1, donc d’après la règle de d’Alembert pour les séries entières : R= 1 1 = 1. 2. (a) Sans détour :

Z 1 0

t³ⁿdt= 1 3n+ 1 .

(b) On fixe une bonne fois pour toutes x∈]−1,1[. Remarquons que

+∞

X

n=0

(−x)ⁿ 3n+ 1 =

+∞

X

n=0

(−x)ⁿ Z 1

0

t³ⁿdt =

+∞

X

n=0

Z 1 0

(−x)ⁿt³ⁿdt.

Pour t ∈ [0,1], posons fn(t) = (−x)ⁿt³ⁿ et appliquons le théorème d’intégration terme à terme d’une série de fonctions :

• Chaquef_nest continue par morceaux sur [0,1].

• La série P

fn converge simplement sur[0,1], et sa somme est f :t7→

+∞

X

n=0

(−xt³)ⁿ= 1 1 +xt³.

• Il vient Z ₁

0 |fn(t)|dt= Z ₁

0 |x|ⁿt³ⁿdt= |x|ⁿ

3n+ 1, qui est bien le terme général d’une série conver- gente puisque majoré par |x|ⁿ avec |x|<1.

Ainsi la série XZ ₁

0 |fn(t)|dt est convergente.

D’après le second théorème d’intégration terme à terme :

+∞

X

n=0

Z ₁

0

(−x)ⁿt³ⁿdt = Z ₁

0 +∞

X

n=0

(−x)ⁿt³ⁿdt

d’où :

∀x∈]−1,1[,

+∞

X

n=0

(−x)ⁿ 3n+ 1 =

Z ₁

0

dt 1 +xt³ .

Calculons cette intégrale à l’aide d’une décomposition en éléments simples. Comme le stipule l’énoncé, c’est calculatoire. Bien entendu six= 0 alors

+∞

X

n=0

(−0)ⁿ 3n+ 1 = 1.

Supposons désormais x6= 0 et posonsa=√³

x. Grâce à l’égalité1 +a³t³ = (1 +at)(1−at+a²t²) (factorisation dans R[t]), il vient :

1

1 +a³t³ = 1 3· 1

1 +at+1

3· −at+ 2

1−at+a²t² = 1 3· 1

1 +at+ 1

6a· 2a²t−a 1−at+a²t² +1

2· 1

(at−¹₂)²+³₄. Ensuite par intégration de cette quantité sur[0,1] nous obtenons pour toutx∈]−1,1[:

+∞

X

n=0

(−x)ⁿ

3n+ 1 = 1 3√³

x

"

ln 1 +√³ x

−1 2ln

1−√³

x+x³² +√

3 arctan

√3

3 (2a−1)

! +π

6

# .

3. La série X (−1)ⁿ

3n+ 1 satisfait les hypothèses du critère spécial des séries alternées (CSSA). Par consé- quent X (−1)ⁿ

3n+ 1 converge .

Plus généralement, pour x ∈ [0,1] la série X (−x)ⁿ

3n+ 1 est alternée et vérifie les hypothèses du CSSA.

Il s’ensuit que son reste Rn(x) est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé :|Rn(x)| ≤

(−x)ⁿ⁺¹ 3n+ 4

≤ 1

3n+ 4. On en déduit quekRnk^[0,1]∞ ≤ 1

3n+ 4, ce qui permet d’affirmer que le reste converge uniformément vers la fonction nulle.

Or chaque fonctionx7→ (−x)ⁿ

3n+ 1 est continue sur [0,1], d’où la continuité de la fonctionS :x7→

+∞

X

n=0

(−x)ⁿ

3n+ 1 sur[0,1].

4. La question 3. permet d’affirmer qu’il est licite de faire tendre x vers 1⁻ dans l’expression de la question 2., afin d’obtenir la somme demandée. Il vient alors sans détour :

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 3n+ 1 = 1

3ln 2 + 1 9π√

3 .