y ′ la fontion

Les trois parties de et exerie peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : Résolution d'une équation diérentielle

On onsidère l'équation diérentielle

(

^E

) : y ^′ − 2 y = x e ^x

où

y

^{est une fontion de la variable réelle}

x

^{, dénie et dérivable sur IR, et}

y ^′

^{la fontion}

dérivée de

y

^.

1°) Déterminer lessolutions déniessur IR de l'équation diérentielle

(

^E

⁰ )

^:

y ^′ − 2y = 0.

2°) Soit

g

^{la fontion déniesur IR par}

g (x) = (− x − 1) e ^x

^.

Démontrer que la fontion

g

^{est une solution} partiulière de l'équation diéren- tielle

(E)

^.

3°) En déduirel'ensemble des solutionsde l'équationdiérentielle

(E)

^.

4°)Déterminerlasolution

f

^{de l'équation}diérentielle

(E)

^{quivérielaonditioninitiale}

f (0) = 0

^.

Partie B : Étude loale d'une fontion

Soit

f

^{la fontion dénie sur IR par}

f (x) = e ^{2 x} − (x + 1) e ^x

^{. Sa ourbe} représentative

C

est donnée dans un repère orthogonal i-dessous.

O

C

1 1

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1°)a)Démontrer que pour tout réel

x

^,

f ^′ (x) = e ^x (2 e ^x − 2 − x)

^.

b) En déduire le oeient direteur

f ^′ (0)

^{de la tangente}

T

^{à la ourbe}

C

^{au point}

d'absisse 0.

Interpréter graphiquement e résultat.

2°)a) Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fontion

x 7→ e ^{2 x}

^.

b) Démontrer que ledéveloppementlimité, à l'ordre2, auvoisinage de 0, de la fon-

tion

f

^{est :}

f(x) = x ²

2 + x ² ε(x)

^ave

lim

x → 0 ε(x) = 0

^.

Partie C : Calul intégral

1°) On note

I = Z ⁰ , 3

− 0 , 3

x ² 2 dx

^.

Démontrer que

I = 0, 009

^.

2°) On note

J = Z ⁰ , 3

− 0 , 3

e ^{2 x} dx

^.

Démontrer que

J = 0, 5 e ^{0 , 6} − e ^{− 0 , 6}

.

3°) On note

K = Z ⁰ , 3

− 0 , 3

( x + 1) e ^x d x

^.

Démontrer, à l'aide d'uneintégration par parties, que

K = 0 , 3 e ^{0 , 3} + e ^{− 0 , 3}

.

4°) On note

L = Z ⁰ , 3

− 0 , 3

f (x)dx

^.

a)Déduire des questions préédentes lavaleur exate de

L

^.

b) Donner la valeur approhée de

L

^arrondieà

10 ^{− 5}

^.

) Vérierquelavaleurexate de

I

^{etlavaleurapprohéede}

L

^{obtenue àlaquestion}

préédente diérent de

4, 5 × 10 ^{− 4}

^.

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Les trois parties de et exerie sont indépendantes.

Une entreprise fabrique en grande série des pièes en bois. Ces pièes sont prévues pour

s'enastrer lesunes dans lesautres.

y x

Dans et exerie, les résultats approhés sont à arrondir à

10 ^{− 3}

.

Partie A : Loi normale

Une pièede e type est onforme lorsque saote

x

^{, exprimée en} millimètres,appartient à l'intervalle

[ 9 , 5 ; 10 , 5 ]

^{et lorsque sa ote}

y

^{appartient à l'intervalle}

[ 10 , 5 ; 11 , 5 ]

^.

1°)Onnote

X

^{lavariablealéatoirequi,àhaquepièede etypeprélevéeauhasarddans}

la produtiond'une journée, assoie sa ote

x

^{. On suppose que la variable aléatoire}

X

^{suit la loinormale de moyenne 10et d'éarttype0,21.}

Caluler

P (9, 5 ⁶ X 6 10, 5)

^.

2°)On note

Y

^{lavariablealéatoirequi,àhaque pièedee typeprélevée auhasarddans}

la produtiond'une journée, assoiesaote

y

^.

On admetque

P (10, 5 ⁶ Y 6 11, 5) = 0, 985

^.

On suppose queles variables aléatoires

X

^et

Y

^sont indépendantes.

On prélève une pièe au hasard dans la prodution d'une journée. Déterminer la

probabilité qu'elle soitonforme.

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On onsidère un stok importantde pièes.

On note

E

l'événement : une pièe prélevée au hasard dans le stok de pièes est défetueuse.

On suppose que

P (E) = 0, 03

^.

On prélève au hasard 50 pièes dans le stok de pièes pour vériation. Le stok est

assez importantpour quel'on puisseassimiler e prélèvement àun tirageave remise de

50pièes.

Ononsidèrelavariablealéatoire

Z

^qui,àtoutprélèvementainsidéni,assoielenombre de pièes de e prélèvement qui sontdéfetueuses.

1°) Justier que la variable aléatoire

Z

^{suit une loi binomiale dont on} déterminera les paramètres.

2°) Caluler

P (Z = 0)

^et

P (Z ⁶ 2)

^.

3°) On onsidère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire

Z

^{peut être}

approhée par une loide Poisson.

a)Déterminer leparamètre

λ

^{de ette loide Poisson.}

b) On désignepar

Z 1

^{une variablealéatoiresuivant laloide Poissonde paramètre}

λ

^,

où

λ

^{a lavaleur obtenue aua).}

EnutilisantetteloidePoisson,alulerlaprobabilitéque,dansuntelprélèvement

de 50 pièes,au plus deux pièes soient défetueuses.

Partie C : Intervalle de onane

Dans ette partie on onsidère une grande quantité de pièes devant être livrées à une

haîne d'hypermarhés. On onsidère un éhantillon de 100 pièes prélevées au hasard

dans ette livraison. La livraison est assez importante pour que l'on puisse assimiler e

tirage àun tirageave remise.

On onstate que96 pièes sont sans auun défaut.

1°) Donner une estimation pontuelle de la fréquene inonnue

p

^{des pièes de ette}

livraison qui sont sans auun défaut.

2°) Soit

F

^{la variable aléatoire qui, à tout éhantillon de 100 pièes prélevées auhasard}

et ave remise dans ette livraison, assoiela fréquene des pièes de et éhantillon

qui sont sans auun défaut. On suppose que

F

^{suit la loi normale de moyenne}

p

^et

d'éart type

r p(1 − p)

100

^{, où}

p

^{est la fréquene inonnue des pièes de la livraisonqui}

sont sans auun défaut.

Déterminerunintervallede onanedelafréquene

p

^{aveleoeientdeonane}

95 %.

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