2 Des fonctions unitaires sur les semi-groupes

(1)

Expos´e IV.

Sur quelques op´erateurs unitaires de multiplication

(Laurent Lafforgue, IHES, 8 juillet 2014)

1 Des fonctions unitaires sur les tores quotients

On considère toujours le groupe réductif G quasi-déployé sur F, muni de la paire de Borel (T, B), du caractère detG :G→Gmet d’une représentation de transfert

ρ:GboΓF →GLr(C).

On suppose que ΓF agit sur l’espace C^r de ρ par permutation de sesr vecteurs de base, et on note E la F-algèbre séparable de degrérqui correspond à l’action de ΓF sur{1,2, . . . , r}.

Le toreTE = Res_E/FGmadmet pour dual

Tb_E=Tb_r= (C^×)^r

muni de l’action de Γ_F par permutation, si bien que le morphisme Γ_F-´equivariant ρT :Tb→Tbr= (C^×)^r=TbE

est dual d’un morphisme

ρ^∨_T :TE →T qui s’inscrit dans une suite exacte de tores surF

1→Tρ→TE→T →1. On a encore introduit l’espace lin´eaire

T_E = Res_E/FA¹ qui est une vari´et´e torique affine lisse de toreT_E.

On pose : D´efinition IV.1.–

Dans la situation ci-dessus, on note T la variété torique affine normale de tore T associée au cône convexe saturé X^∨

T de X_T^∨ engendr´e par les composantes ρⁱ_T ∈ X

Tb = X_T^∨, 1 ≤ i ≤ r, du morphisme ρT :Tb→Tbr= (C^×)^r.

De mani`ere ´equivalente, T est le quotient deTE par l’action du sous-tore Tρ deTE.

(2)

Remarques :

(i) La variété toriqueT est définie sur F car la famille desρⁱ_T, 1≤i≤r, est stable par l’action de ΓF, donc aussi le cône saturéX_T^∨ deX_T^∨ qu’ils engendrent.

Comme la famille desρⁱ_T est ´egalement stable par l’action du groupe de WeylW_G de G, l’action de W_G surT se prolonge en une action sur T.

(ii) L’équivalence des deux définitions deT provient de ce qu’un caractère arbitraire χ:T →G^m

se prolonge en un morphisme ´equivariant

χ:T →A¹ si et seulement si

hχ, ρⁱ_Ti ≥0, 1≤i≤r , c’est-`a-dire si et seulement si le caract`ere

χ◦ρ^∨_T :TE→T →Gm

se prolonge en un morphisme

χ◦ρ^∨_T :TE→A¹.

On noteX_T ⊂X_T le cˆone satur´e dual deX^∨

T ⊂X_T^∨ compos´e des caract`eres χ:T →Gm

qui se prolongent en un morphisme ´equivariant

χ:T →A¹. On a :

Lemme IV.2.–

Pour tout caractère χ∈X_T ⊂XT, notonsEχ le corps, extension finie séparable deF, qui correspond à l’orbite finie deχ sous l’action du groupe de Galois ΓF.

Alors :

(i) Pour tout tel χ, on a un morphisme de tores sur F induit par χet ses transform´es par ΓF

χF :T →Res_E_χ_/FGm, et il se prolonge en un morphisme ´equivariant

χ_F :T →Res_E_χ_/FA¹ de vari´et´es toriques surF.

(ii) Si χdécrit un ensemble fini de générateurs du cône saturéX_T ⊂XT, alors le morphisme produit Y

χ

χF :T →Y

χ

Res_E_χ_/FA¹

est une immersion ferm´ee.

(3)

Siχest un caract`ere deX_T ⊂XT, on dispose donc en toute placexde l’application ´equivariante induite χ_F :T(F_x)→(Res_E_χ_/FA¹)(F_x) =E_χ⊗F F_x=E_χ,x.

On dispose d’autre part du morphisme de trace

Tr :Eχ,x=Eχ⊗F Fx→Fx, de la composante

ψ_x:F_x→U(1)⊂C^× du caract`ere

ψ:AF/F →U(1)⊂C^×, et des endomorphismes lin´eaires

Eχ,x → Eχ,x

ax 7→ cx·ax

de multiplication par des élémentscx∈Eχ,x=Eχ⊗FFx. Cela permet de poser la définition suivante :

D´efinition IV.3.–

Pour tout caract`ere χ ∈X_T ⊂X_T et pour toute place x∈ |F|, on appellera χ-fonctions unitaires sur T(F_x),

1I_χ,c_x:T(F_x)→U(1)⊂C^×, les fonctions

T(Fx)3t7→ψx(Tr (cx·χF(t))) indexées par les éléments cx∈Fχ,x=Eχ⊗FFx.

Autrement dit, ce sont les fonctions compos´ees T(Fx)−−−−→^χ^F Eχ,x

c_x·•

−−−−→Eχ,x

−−−−→Tr Fx ψx

−−−−→U(1)⊂C^×.

On a :

Proposition IV.4.–

Soitxune place ultram´etrique de F.

Alors les op´erateurs de multiplication par les χ-fonctions unitaires

1I_χ,c_x:T(F_x)→U(1)⊂C^×, χ∈X_T, c_x∈E_χ,x, pr´eservent l’espace desρT-fonctions surT(Fx).

Remarque :

R´eciproquement, on pourrait montrer que pour touteρT-fonction non nulle fx:T(Fx)→C

et siχdécrit une famille de générateurs du cône saturéX_T, alors l’espace desρ_T-fonctions surT(F_x) est le plus petit espace de fonctions

T(Fx)→C qui :

(4)

• contient la fonctionfx,

• est stable par les translations,

• est stable par laρ_T-transformation de Fourier et son inverse,

• est stable par les op´erateurs de multiplication par les χ-fonctions unitaires 1I_χ,c_x : T(F_x) → U(1), c_x∈E_χ,x.

D´emonstration de la proposition :

Par définition, lesρT-fonctions surT(Fx) sont les combinaisons linéaires de translatées par des éléments deT(Fx) de fonctions images directes

ϕx= (ϕ^∨_T)∗fx= Z

(ρ^∨_T)⁻¹(•)

dtρ·fx(tρ) de fonctions localement constantes `a support compact

f_x:T_E(F_x) =E⊗_F F_x=E_x→C. Or, comme chaque

χ_F :T(F_x)→E_χ,x est ´equivariant, l’ensemble desχ-fonctions unitaires

1Iχ,c_x:T(Fx)→U(1) est stable par translation par les ´el´ements deT(F_x).

Il suffit donc de prouver que si

ϕx= (ρ^∨_T)∗fx

est l’image directe d’une fonction localement constante `a support compact f_x:T_E(F_x)→C,

alors les produitsϕx·1Iχ,cx sont encore desρT-fonctions. Mais ceci r´esulte de ce que ϕx·1Iχ,c_x= (ρ^∨_T)_∗ (fx·(1Iχ,c_x◦ρ^∨_T))

o`u la fonction compos´ee

1Iχ,c_x◦ρ^∨_T :TE(Fx)

ρ^∨_T

−−−−→T(Fx)

1I_χ,cx

−−−−→U(1)

est localement constante et le produitf_x·(1I_χ,c_x◦ρ^∨_T) est localement constant `a support compact.

Considérons maintenant les transformées de Fourier1I[χ,c_x des fonctions unitaires 1Iχ,c_x surT(Fx). Elles sont définies en le sens suivant :

Pour toute fonction mesurable born´ee

ϕx:T(Fx)→C,

saρT-transformée de Fourierϕbx est bien définie en tant que forme linéaire fx7→ϕbx(fx)

(5)

sur l’espace des fonctions de carré intégrable fx dont la ρT-transformée de Fourier fbx est intégrable sur T(Fx).

Elle est caract´eris´ee par la formule

ϕbx(fx) = Z

T(Fx)

dt·ϕx(t)·fbx(t) pour toute fonctionfx de carré intégrable et intégrable surT(Fx).

Remarque : Si

1Ix:T(Fx)→C

est une fonction continue `a support compact qui vaut 1 dans un voisinage du point 0∈T(Fx), on a

ϕbx(fx) = lim

a7→0

Z

G(F_x)

dρg·

V

(ϕ_x·1I_x(a· •)) (g)·fx(g)

pour toute fonctionfxcomme dans l’´enonc´e.

On a : Lemme IV.6.–

Considérons un caractère χ ∈ X_T, une place arbitraire x ∈ |F|, un élément cx ∈ Eχ,x, la χ-fonction unitaire

1Iχ,c_x :T(Fx)→U(1)⊂C

et saρT-transform´ee de Fourier1I[χ,c_x au sens ci-dessus, et enfin la fonction unitaire compos´ee 1Iχ,c_x◦ρ^∨_T :TE(Fx) =Ex→T(Fx)→U(1)⊂C^×

et saρ_E-transform´ee de Fourier

V

(1Iχ,c_x◦ρ^∨_T) . Alors :

(i) La forme lin´eaire

V

(1Iχ,c_x◦ρ^∨_T) est invariante par l’action du sous-tore Tρ(Fx) deTE(Fx).

(ii) Pour toute fonction de carré intégrablefxsurTE(Fx)dont laρE-transformée de Fourier est intégrable et dont l’image directe par ρT

(ρ^∨_T)∗fx= Z

(ρ^∨_T)⁻¹(•)

dtρ·fx(tρ)

est bien définie et de carré intégrable surT(F_x), laρ_T-transformée de Fourier de celle-ci est intégrable et on a

1I[_χ,c_x((ρ^∨_T)_∗f_x) =

V

(1I_χ,c_x◦ρ^∨_T) (f_x).

(6)

Remarque :

La propriété (ii) ne détermine la distribution 1I[χ,c_x que sur l’image de TE(Fx) dans T(Fx) qui est un sous-groupe ouvert. Cette image estT(Fx) tout entier siT et TE sont déployés, mais pas en général.

Cependant, pour toutt∈T(Fx), on a

1I^t_χ,c_x(•) = 1Iχ,c_x(•t) = 1I_χ,χ_F_(t)·c_x(•) et par cons´equent

|detG(t)|⁻¹_x ·

1I[_χ,c_x^t⁻¹

=

V

1I_χ,χ_F_(t)·c_x.

Ainsi, la restriction de la distribution1I[χ,c_x `a

t·Im (ρ^∨_T :T_E(F_x)→T(F_x))

s’identifie `a la restriction de la distribution

V

1I_χ,χ_F_(t)·c_x `a

Im (ρ^∨_T) multipli´ee par le facteur

|detG(t)|x.

On s’intéresse aux supports des distributions1I[χ,c_x. Rappelons d’abord le résultat général suivant sur les orbites des variétés toriques affines normales :

Lemme IV.7.–

Considérons la variété torique affine normale T de toreT sur le corpsF. Alors :

(i) Les orbites géométriques de T muni de l’action de T sont en nombre fini et naturellement indexées par les faces C du cône convexe polyédral saturé X_T ⊂X_T qui définit T. On les note T_C. Chaque orbite T_C est un sous-schéma localement fermé deT qui est défini sur toute extension F⁰ deF dont le groupe de Galois Γ_F⁰ respecte la faceC deX_T.

(ii) Toute orbite TC deT possède un unique “point base” en lequel tout caractère χ∈X_T prend la valeur 1 siχ est élément de la faceC et la valeur0sinon. Ce point base1Cest défini sur tout corpsF⁰ ⊃F sur lequel TC est définie, avec alors

T_C(F⁰) =T(F⁰)·1_C.

La dimension de l’orbite TC est ´egale `a celle de la face correspondanteC deX_T.

(iii) Une orbite TC est contenue dans l’adh´erenceTC⁰ d’une orbite TC⁰ si et seulement siC est contenue dans C⁰ et donc est une face de celle-ci.

Prouvons maintenant : Proposition IV.8.–

On considère un caractère χ∈X_T ⊂XT, une place x∈ |F|, un élément cx∈Eχ,x=Eχ⊗F Fx et une faceC deX_T telle que :

(7)

• C est d´efinie sur Fx,

• C contient l’ensemble des imagesσ(χ)deχ par un élément σ∈Γ_F telles que la coordonnée correspondante de c_xne soit pas nulle.

Alors, considérant les fonctions de carré intégrable

fx:T(Fx)→C dont laρT-transform´ee de Fourier est int´egrable, on a

1I[_χ,c_x(f_x) = 0

d`es que f_x est support´ee par une partie compacte deT(F_x) qui ne rencontre pas la strateT_C(F_x).

D´emonstration :

Pour tout élémentt∈T(Fx), on peut considérer la fonction unitaire 1I_χ,χ_F_(t)·c_x◦ρ^∨_T = 1I_χ◦ρ^∨

T,χF(t)·cx

surTE(Fx) =Ex=E⊗FFx. Elle est associée au caractère χ◦ρ^∨_T :T_E→T →A¹. D’après le lemme IV.6 et la remarque qui le suit, on a

support 1I[χ,c_x

= [

t∈T(Fx)/Im(ρ^∨_T)

t·(ρ^∨_T)_∗



support

^V

1I_χ◦ρ^∨

T,χ_F(t)·cx



.

D’autre part,X_T est par définition le dual du cône convexe polyédral deX_T^∨engendré par lesρⁱ_T ∈X_T^∨= X_T, 1≤i≤r.

Notons I le sous-ensemble de {1,2, . . . , r} constitu´e des indices i tels que hχ⁰, ρⁱ_Ti = 0, ∀χ⁰ ∈ C. Ce sous-ensemble est stable par l’action de ΓF_x et il d´efinit Cau sens que

C=

χ⁰∈X_T | hχ⁰, ρⁱ_Ti= 0, ∀i∈I . Pour toutχ⁰∈C, le caract`ere compos´e

χ⁰◦ρ^∨_T :TE→T →A¹ est un monˆome de la forme

Z₁^m¹. . . Z_r^m^r, avec

m1, m2, . . . , mr∈N et

mi = 0, ∀i∈I . Donc les fonctions unitaires

1I_χ◦ρ^∨

T,χ_F(t)·cx :TE(Fx)→U(1)⊂C

ne dépendent que des coordonnéesZ_i deT_E(F_x) d’indicesi /∈I, et leurs transformées de Fourier surT_E(F_x)

V

1I_χ◦ρ^∨

T,χ_F(t)·cx

(8)

sont supportées par le sous-espace défini par les équations Zi= 0, ∀i∈I .

D’o`u la conclusion.

Enfin, nous souvenant que lesψ_x,x∈ |F|, sont les composantes d’un caract`ere global ψ=Y

x

ψ_x:AF →AF/F →U(1)⊂C^×,

on peut compléter la définition IV.3 par la définition globale suivante : Définition IV.9.–

Pour tout caract`ere χ∈X_T ⊂XT, on appelleraχ-fonctions unitaires sur T(AF) 1Iχ,c:T(AF)→U(1)⊂C^×,

les fonctions

T(AF)3t7→ψ(Tr (c·χF(t))) indexées par les éléments c= (cx)_x∈|F_|∈AE_χ =Eχ⊗FAF = `Q

x∈|F|

Eχ,x. Autrement dit, ce sont les fonctions compos´ees

T(AF)

χ_F

−−−−→Eχ⊗FAF

−−−−→c·• Eχ⊗FAF

−−−−→Tr AF ψ

−−−−→U(1)⊂C^×.

Remarque :

Comme le caractère ψ vaut 1 sur les éléments du sous-groupe discret F de AF et que le morphisme Tr :Eχ⊗FAF →AF envoieEχ dansF, on voit que sic∈Eχ, la fonction unitaire

1Iχ,c :T(AF)→U(1)⊂C^×

prend la valeur 1 en tous les points deT(F).

La remarque qui suit cette d´efinition rend vraisemblable le r´esultat suivant : Proposition IV.10.–

Pour tout caract`ere χ∈X_T, les op´erateurs de multiplication par lesχ-fonctions unitaires 1I_χ,c= Y

x∈|F|

1I_χ,c_x :T(AF)→U(1)⊂C^×, c= (c_x)_x∈|F|∈AE_χ0

vérifient les propriétés suivantes :

(i) Ils stabilisent l’espace des ρT-fonctions globales surT(AF).

(ii) Lorsque c∈Eχ, ils laissent invariante la fonctionnelle de Poisson f 7→“ X

γ∈T(F)

f(γ)”

sur l’espace desρT-fonctions globalesf sur T(AF).

(9)

D´emonstration :

(i) On sait déjà que l’opérateur de multiplication par 1Iχ,c_x respecte l’espace desρT-fonctions surT(Fx) en toute place x∈ |F|.

En effet, en les places ultramétriques, c’est le contenu de la proposition IV.4. Et, en les places ar- chimédiennes, l’espace desρT-fonctions est redéfini pour que cela soit vrai.

On conclut en remarquant que, en presque toute place ultram´etriquexnon ramifi´ee pourT et ρT, la fonction 1I_χ,c_x vaut 1 sur le support T(O_x) de la ρ_T-fonction standard en cette place.

(ii) Cela r´esulte du lemme suivant : Lemme IV.11.–

Pour touteρ-fonction f sur T(A), on peut ´ecrire

“ X

γ∈T(F)

f(γ)”= X

γ∈T(F)

f(γ) + X

k≥1 C1,C2,...,Ck

X

γ∈T_Ck(F)

fC₁,C₂,...,C_k(γ)

o`u :

• les C1, C2, . . . , Ck décrivent les chaˆınes de faces définies sur F du cône convexe polyédralC0 =X_T telles que, pour 1≤i≤k,Ci est une face de codimension1deC_i−1,

• chaquefC₁,C₂,...,C_kest une fonction continue sur la strateTC_k(A)qui se d´eduit de la fonctionfC₁,C₂,...,Ck−1

sur TCk−1(A)par un certain op´erateur lin´eaire,

• pour tout point t ∈ TC_k(A), la valeur de la fonction fC₁,...,C_k en le point t ne d´epend que de la restriction de la fonction fC₁,...,Ck−1 `a des voisinages arbitrairement petits det dansTCk−1(A).

Principe de d´emonstration : On utilise le calcul de

“ X

γ∈T(F)

f(γ)”

`

a partir de la d´ecomposition spectrale de la fonction

T(F)\T(A)3t7→ X

γ∈T(F)

f(t·γ).

La formation des termesfC₁,C₂,...,C_k vient de calculs de r´esidus successifs.

Fin de la d´emonstration de la proposition IV.10(ii) :

SiF est un corps de fonctions, la fonction 1Iχ,c vaut 1 au voisinage de tout point rationnelγ∈T(F).

On déduit alors du lemme, en procédant par récurrence surk, que les fonctionsf_C₁_,...,C_ket (1I_χ,c·f)_C₁_,...,C_k co¨ıncident dans un voisinage suffisamment petit de tout point rationnelγ∈T_C_k(F).

SiF est un corps de nombres, on doit s’intéresser en plus à l’ordre du pôle des fonctions analytiques pour lesquelles un calcul de résidu en ce pôle définit l’opérateur

f_C₁_,C₂_,...,C_k−1 7→f_C₁_,C₂_,...,C_k.

NotonsI l’ensemble des indicesi, 1≤i≤r, tels que le cocaract`ere ρⁱ_T ∈X_T^∨ ne s’annule pas sur la face Ck−1 deX_T ⊂XT mais s’annule sur la faceCk⊂Ck−1.

Cet ensembleIest stable par l’action du groupe de Galois ΓF, et l’ordremdes pôles considérés est égal au nombre d’orbites de ΓF dansI.

(10)

Consid´erons la restriction deχ `a la strateTCk−1 deT.

Si cette restriction est 0, la fonction 1Iχ,c vaut uniform´ement 1 surTC_k−1(A) et l’op´erateur fC₁,...,Ck−1 7→fC₁,...,C_k

commute avec la multiplication par 1Iχ,c.

Si au contraire la restriction deχ`a T_C_k−1 n’est pas nulle, t·1C_k−1 7→χ(t·1C_k−1)

est un caract`ere du tore TC_k−1 quotient deT, et tous les entiershχ, ρⁱ_Ti,i∈I, sont ´egaux.

S’ils valent tous 0, la fonction 1I_χ,c ne dépend pas de la coordonnée qui définit T_C_k dansT_C_k−1, si bien que l’opérateur

fC₁,...,C_k−1 7→fC₁,...,C_k

Sinon, la fonction 1I_χ,c_x en chaque place xest le composé du caractère additifψ_x◦Tr et d’un caractère multiplicatif dont la dépendance en la coordonnéeZ qui définitT_C_k dansT_C_k−1 est de la forme

Z 7→Z^m⁰ avec m⁰ ≥m .

En les places ultramétriques, et comme dans le cas des corps de fonctions, la fonction 1Iχ,cx ne dépend plus de la coordonnée Z siZ devient assez petit.

En les places archimédiennes, le premier terme non constant dans le développement enZ de la fonction 1Iχ,c_x est d’ordre m⁰ qui est au moins égal à l’ordre m du pôle en lequel sont calculés les résidus. Donc l’opérateur

fC₁,...,Ck−1 7→fC₁,...,C_k

Comme 1Iχ,c(γ) = 1,∀γ∈T(F), cela termine la démonstration également dans le cas oùF est un corps de nombres.

2 Des fonctions unitaires sur les semi-groupes

On commence par la définition générale suivante : Définition IV.12.–

Etant donn´´ e un groupe réductifGsur un corps k, un semi-groupe Gde groupe Gest une variété affine intègre qui contientGcomme ouvert dense et telle que le morphisme de multiplicationG×G→Gse prolonge en

G×G→G .

On a les r´esultats classiques : Proposition IV.13.–

Soit un groupe réductif quasi-déployé sur un corpsk, muni d’une paire de Borel(T, B)définie surk.

(11)

(i) Se donner un semi-groupe géométriquement normalGde groupeGsur kéquivaut à se donner, dans le réseauXT des caractères deT, un cône polyédral saturéX_T stable par l’action du groupe de Weyl WG et par celle du groupe de GaloisΓk ou, ce qui revient au même, son cône dualX_T^∨ dans le réseau X_T^∨ des cocaractères deT.

(ii) Dans la correspondance de(i), la variété torique affine géométriquement normaleT de toreT qui est associée au cône polyédral saturé X_T s’identifie à l’adhérence schématique deT dans G.

(iii) Dans la correspondance de (i), et si NB et NBôp désignent les radicaux unipotents de B et de son sous-groupe de Borel opposé Bôp, alors le quotient

NB^op\G/NB=T⁺,

muni de l’action du toreT à gauche ou à droite, est la variété torique affine géométriquement normale associée au cône saturé

X_T+⊂X_T ⊂X_T

constitué des caractères de X_T qui sont dominants, c’est-à-dire vérifient les inégalités hχ, αi ≥0, ∀α∈∆B.

Revenons maintenant à notre groupe réductif quasi-déployé G sur le corps global F, avec sa paire de Borel (T, B) définie surF et la représentation de transfert

ρ:GboΓ_F →GL_r(C).

On suppose toujours que le groupe de Galois Γ_F agit sur l’espaceC^rdeρpar permutation de sesrvecteurs de base, si bien que l’homomorphisme Γ_F-´equivariant

ρ_T = (ρ¹_T, . . . , ρ^r_T) :T ,b →Tb_r= (C^×)^r=Tb_E est dual d’un homomorphisme de tores surF

ρ^∨_T :T_E→T . Comme la famille des caract`eresρⁱ_T ∈X

Tb=X_T^∨ est stable par la double action du groupe de WeylW_G et du groupe de Galois Γ_F, la proposition IV.13 permet de poser :

Dans la situation ci-dessus, on appelle “semi-groupe dual de la représentationρ” le semi-groupe géométri- quement normalGdu groupeGassocié au cône saturé

X_T ={χ∈XT | hχ, ρⁱ_Ti ≥0, ∀i∈ {1,2, . . . , r}}

deXT. Remarques :

(i) Cette définition avait déjà été introduite par Braverman et Kazhdan, en des termes différents mais

´

equivalents.

(ii) Ainsi, le cˆone X^∨

T ⊂X_T^∨ dual deX_T ⊂XT est par définition le cône saturé engendré par lesρⁱ_T ou, ce qui revient au même, par les orbites sousWG des plus hauts poids des facteurs irréductibles de

ρ:Gb→GLr(C).

(12)

Rappelons que, pour tout caractèreχ∈X_T ⊂XT, on a notéEχ le corps, extension finie séparable deF, qui correspond à l’orbite finie de χsous l’action du groupe de Galois ΓF. Cela s’applique en particulier aux

´el´ements de X_T+⊂X_T.

En rempla¸cantX_T parX_T+ dans l’´enonc´e du lemme IV.2, on obtient : Corollaire IV.15.–

(i) Pour tout χ∈X_T+ ⊂X_T ⊂XT, on a un morphisme de tores sur F induit par χ et ses transform´es par ΓF

χF :T →Res_E_χ_/FGm, et il se prolonge en un morphisme ´equivariant

χ_F :N_Bôp\G/N_B =T⁺→Res_E_χ_/FA¹ de variétés toriques surF.

(ii) Si χ décrit un ensemble fini de générateurs du cône saturé X_T+ ⊂X_T ⊂XT, alors le morphisme produit

Y

χ

χ_F :N_B^op\G/NB =T⁺→Y

χ

Res_E_χ_/FA¹

est une immersion ferm´ee.

Siχ est un caractère deX_T+, on dispose donc en toute placexde l’application équivariante induite N_Bôp(F_x)\G(F_x)/N_B(F_x)→T⁺(F_x)−−−→^χ^F (Res_E_χ_/FA¹)(F_x) =E_χ⊗_FF_x=E_χ,x.

Comme dans la d´efinition IV.3, on peut composer cette application avec le morphisme de trace Tr :Eχ,x→Fx,

le caract`ere

ψx:Fx→U(1)⊂C^× et n’importe quel endomorphisme lin´eaire de multiplication

Eχ,x → Eχ,x

ax 7→ cx·ax, aveccx∈Eχ,x, pour poser :

Pour tout caract`ereχ∈X_T+⊂X_T ⊂X_T, et pour toute placex∈ |F|, on appelleraχ-fonctions unitaires surT⁺(F_x)ouN_B^op(F_x)\G(Fx)/N_B(F_x)

1I^G_χ,c

x:N_B^op(F_x)\G(F_x)/N_B(F_x)→T⁺(F_x)→U(1)⊂C⁺, les fonctions

T⁺(Fx)3t7→ψx(Tr (cx·χF(t))) indexées par les éléments c_x∈E_χ,x=E_χ⊗FF_x.

(13)

Autrement dit, ce sont les fonctions compos´ees

T⁺(F_x)−−−−→^χ^F E_χ,x−−−−→^c^x^·• E_χ,x−−−−→^Tr F_x−−−−→^ψ^x U(1)⊂C^×.

Le tore maximalTdeGest déjà muni, en toute placex∈ |F|, d’un opérateur unitaire deρT-transformation de Fourier surT(Fx)

ϕx7→ϕbx= Z

T(F_x)

dt·k_x^ρ^T(t•)·ϕx(t) induit par laψ_x-transformation de Fourier lin´eaire surT_E(F_x) =E_x.

Supposant que Gest également muni, en toute placex, d’un opérateur unitaire deρ-transformation de Fourier compatible avec laρT-transformation de Fourier surT(Fx), on peut considérer les transformées de Fourier1I[^G_χ,c_x des fonctions unitaires 1I^G_χ,c_x surG(Fx). Elles sont définies au sens suivant :

Supposons dor´enavant que, pour toute placex∈ |F|,G(F_x)est muni d’un op´erateur deρ-transformation de Fourier

fx7→fbx= Z

G(Fx)

dρg·k_x^ρ(g•)fx(g) qui vérifie les deux propriétés suivantes :

(1) Il est compatible avec la ρ_T-transformation de Fourier sur T(F_x) au sens que, pour toute fonction continue `a support compact,

fx:G(Fx)→C, le produit

|detB(•)|^1/2_x ·fx,N_B:T(Fx)→C admet pourρT-transform´ee de Fourier le produit

|detB(•)|^1/2_x ·(fbx)N_B:T(Fx)→C. (2) On a kx^ρ(g) =k^ρ_x(−g),∀g∈G(F_x), et l’op´erateur

fx7→fbx

est unitaire au sens qu’il pr´eserve le produit hermitien (f1, f2)7→ hf1, f2i=

Z

G(F_x)

dρg·f1(g)·f2(g). Alors, pour toute fonction mesurable born´ee

ϕ_x:G(F_x)→C,

sa ρ-transformée de Fourier ϕcx est bien définie en tant que forme linéaire fx7→ϕcx(fx)

sur l’espace des fonctions de carré intégrable fx dont laρT-transformée de Fourier fbx est intégrable sur G(Fx).

(14)

Elle est caract´eris´ee par la formule

ϕc_x(f_x) = Z

G(F_x)

d_ρg·ϕ_x(g)·fb_x(g)

pour toute fonctionfxde carré intégrable surG(Fx)dont laρ-transformée de Fourierfbxest intégrable.

Pour tout caractère χ ∈ X_T+, toute place x ∈ |F| et tout élément c_x ∈ E_χ,x, on dispose donc de la distribution

1I[^G_χ,c_x

d´efinie comme laρ-transform´ee de Fourier de la fonction unitaire 1I^G_χ,c_x surG(Fx).

D’autre part, comme le caractèreχ ∈ X_T+ est élément de X_T ⊃ X_T+, on dispose aussi de la fonction unitaire 1Iχ,c_x surT(Fx)⊃T(Fx) et de saρT-transformée de Fourier la distribution1I[χ,c_x sur T(Fx).

Les deux distributions1I[^G_χ,c

x surG(F_x) et 1I[_χ,c_x surT(F_x) sont reli´ees de la mani`ere suivante : Lemme IV.18.–

Considérons comme ci-dessus un caractère χ∈X_T+, une placex∈ |F| et un élément cx deEχ,x. Alors :

(i) La distribution 1I[^G_χ,c

x est invariante à droite parN_Bôp(F_x)et invariante à gauche par N_B(F_x).

(ii) Si C est une face du cône X_T définie sur Fx et qui contient ceux des σ(χ), σ ∈ ΓF, tels que la coordonnée correspondante dec_xne soit pas nulle, et siT^C ⊂T désigne le sous-tore fixateur des points de la strate TC⊂T, la distribution 1I[^G_χ,c_x est également invariante par le sous-toreT^C(Fx)⊂T(Fx) agissant à droite ou à gauche.

(iii) Si fx et ϕx sont deux fonctions de carr´e int´egrable sur G(Fx)etT(Fx)respectivement, telles quefbx

et ϕbx sont int´egrables, et qui sont reli´ees par la formule

ϕbx(t) = Z

N_B^op(F_x)×NB(F_x)

dv·du·fbx(v·t·u)· |δB(t)|x· |detB(t)|x, t∈T(Fx), o`u la mesured_ρg deG(F_x)est ´ecrite sous la forme

d_ρg=|det_B(t)|_x· |δ_B(t)|_x·dt·dv·du , avec g=v·t·u , on a

1I[^G_χ,c_x(fx) =1I[χ,c_x(ϕx).

D´emonstration :

(i) r´esulte de ce que la fonction 1I^G_χ,c

x est invariante à gauche par N_Bôp(F_x) et invariante à droite par NB(Fx).

(ii) Le sous-tore T^C deT est l’intersection des noyaux des caractères éléments deC. Donc le sous-tore T^C(F_x) deT(F_x) laisse invariante la fonction 1I^G_χ,c

x:G(F_x)→U(1) et il transforme la forme lin´eaire fx7→

Z

G(F_x)

dρg·fx(g)·1I^G_χ,c_x(g) = 1I^G_χ,c_x(fx)

(15)

par le caract`ere

T^C(Fx)3t7→ |detρ(t)|⁻¹_x . Donc il laisse invariante la forme lin´eaire

fx7→1I[^G_χ,c_x(fx) = 1I^G_χ,c_x(fbx). (iii) r´esulte de ce que

1I[^G_χ,c_x(fx) = Z

G(Fx)

dρg·1I^G_χ,c_x(g)·fbx(g)

= Z

T(F_x)×N_B^op(F_x)×NB(F_x)

dt·dv·du· |detB(t)|x· |δB(t)|x·1Iχ,c_x(t)·fbx(v·t·u)

puisque 1I^G_χ,c_x(v·t·u) = 1Iχ,c_x(t) pour tousv∈N_B^op(Fx),u∈NB(Fx).

En ce qui concerne lesρ-transform´es de Fourier des op´erateurs de multiplication par les fonctions unitaires 1I^G_χ,c

x, on a :

Corollaire IV.19.–

Considérons encore un caractère χ∈X_T+, une placex∈ |F| et un élémentcx∈Eχ,x. Alors :

(i) Le ρ-transformé de Fourier de l’opérateur unitaire de multiplication par la fonction1I^G_χ,c_x sur G(Fx) est N_Bôp(Fx)-équivariant à droite et NB(Fx)-équivariant à gauche.

(ii) Soient f1 etf2 deux fonctions de carré intégrable sur G(Fx)reliées par la formule fb2=fb1·1I^G_χ,c_x.

Si les termes constants

ϕ₁ = |detB(•)|^1/2_x ·f_1,N_B ϕ2 = |detB(•)|^1/2_x ·f2,N_B

sont bien définis et de carré intégrable sur T(Fx), ils sont reliés par la formule ϕb₂=ϕb₁·1I_χ,c_x.

Int´eressons-nous maintenant aux supports des distributions 1I[^G_χ,c_x.

On a vu que siC est une face du côneX_T définie surFxet qui contient ceux desσ(χ),σ∈ΓF, tels que la coordonnée correspondante decx ne soit pas nulle, alors la distribution1I[χ,c_x est supportée par la strate TC(Fx) deT(Fx) au sens de la proposition IV.8.

Si χ∈X_T+ ⊂X_T, on se demande s’il ne pourrait pas arriver aussi que la distribution 1I[^G_χ,c

x sur G(F_x) soit support´ee dans la strate TC(Fx)⊂T(Fx)⊂G(Fx).

D’apr`es le lemme IV.18(i), une condition n´ecessaire pour cela est certainement que les points de la strate T_C,→T ,→G

(16)

soient invariants par l’action à droite deNBôp et par l’action à gauche deNB. Or on a le lemme suivant :

Lemme IV.20.–

SoitC une face du cône saturé X_T dont tous les éléments sont des caractères dominants.

Alors les points de la strate

TC,→T ,→G

sont invariants par l’action à droite deN_Bôp et par l’action à gauche deNB. Remarque :

Le cône saturéX_T compte nécessairement au moins une arête (c’est-à-dire une face de dimension 1) dont les éléments sont des caractères dominants.

D´emonstration :

L’assertion est géométrique donc, quitte à remplacerF par une extension finie, on peut supposer qu’il n’y a pas d’action de Γ_F, autrement dit que T et Gsont déployés.

Il suffit de démontrer que, pour toute racine positiveα∈Φ⁺_G, les points deTC,→T ,→Gsont invariants par l’action à gauche du sous-groupe additif U_α⊂N_B associé àαet invariants à droite parU_−α⊂N_Bop.

On note Tα la composante neutre du noyau de α: T →Gm. C’est un sous-tore de T de codimension 1. Son commutateur Gα dans G est un sous-groupe de Levy standard. On peut supposer que G = Gα, autrement dit queαet −αsont les seules racines deGet queUα=NB,U_−α=N_B^op.

Il existe une représentation injectiveG ,→GL_ddeGtelle queGs’identifie à l’adhérence schématique de G ,→GLd dansMd.

Comme G = Gα, le sous-groupe dérivé [G, G] = G^der = G^der_α est isomorphe à SL2 ou PGL2. La représentation G ,→ GL_d est somme directe de représentations G ,→ GL_k dont la restriction à G^der est irréductible, donc est isomorphe à la représentation sym^k−1 de SL₂ ou PGL₂.

On peut choisir pour l’espaceA^dde GLddes coordonnées affines qui soient compatibles avec la décomposi- tion de G ,→ GLd comme somme directe de représentations irréductibles, et telles que T, NB = Uα et N_Bôp=U−α s’envoient respectivement dansTd, Ndet N_dôp.

Pour tout facteur irréductible G ,→ GLk de G ,→ GLd, notons Xi,j, 1 ≤ i, j ≤ k les k² coordonnées affines deMk ⊃GLk. Ainsi, les coordonnées diagonalesXi,i, 1≤i≤k, définissent des caractères de T qui sont éléments du côneX_T.

Sik≥2, le caractèreX_k,k∈X_T ne peut pas être dominant. Par conséquent, les caractèresX_j,j, 2≤j≤k, ne peuvent pas être éléments de la face CdeX_T, et ils s’annulent nécessairement sur la strateT_C,→T.

Comme l’image de NB = Uα [resp. N_Bôp = U_−α] dans GLk est contenue dans Nk [resp. N_kôp], on en conclut comme voulu que les points de la strateTC sont invariants à gauche parNB et invariants à droite parN_Bôp.

Nous pouvons maintenant prouver : Proposition IV.21.–

On considère un caractère χ∈X_T ⊂XT, une place x∈ |F|, un élément cx∈Eχ,x=Eχ⊗F Fx et une faceC du cône polyédral X_T définie surFx et qui contient l’ensemble des imagesσ(χ)deχ par un élément σ∈ΓF telles que la coordonnée correspondante de cχ ne soit pas nulle.

Alors :

(17)

(i) La distribution 1I[^G_χ,c_x surG(Fx)est support´ee par

NB(Fx)·TC(Fx)·N_B^op(Fx)⊂G(Fx) au sens que, pour toute fonctionfx surG(Fx)telle que







•fx est de carré intégrable etfbx est intégrable,

•fx se prolonge en une fonction continue surG(Fx)support´ee par une partie compacte qui ne rencontre pasN_B(F_x)·T_C(F_x)·N_B^op(F_x),

on a n´ecessairement

1I[^G_χ,c

x(f_x) = 0.

(ii) En particulier, si tous les éléments de C sont des caractères dominants, la distribution 1I[^G_χ,c_x est supportée par

TC(Fx)⊂T(Fx)⊂G(Fx). D´emonstration :

(i) La distribution1I[^G_χ,c

x est une forme linéaire en les fonctions de carré intégrable fx:G(Fx)→C,

telle que

1I[^G_χ,c_x(fx)

≤ Z

G(Fx)

dρg· fbx(g)

, et qui est invariante à gauche parNB(Fx) et à droite parN_Bôp(Fx).

Or, pour toutef_xet toutv∈N_B^op(F_x), la fonction T(Fx)3t7→ |detB(t)|^1/2_x · |δB(t)|^−1/2_x ·

Z

NB(Fx)

du·fx(u·t·v)

admet pourρT-transform´ee de Fourier la fonction T(Fx)3t7→ |detB(t)|^1/2_x · |δB(t)|^1/2_x ·

Z

N_B(F_x)

du·fbx(v·t·u).

On en déduit que la forme linéaire1I[^G_χ,c_x se factorise à travers l’opérateur linéaire

f_x7→ϕ_x=

"

t7→ |detB(t)|^1/2_x · |δB(t)|^−1/2_x · Z

N_B(F_x)

du·f_x(u·t·v)

#

en une forme lin´eaire encore not´ee

ϕx7→1I[^G_χ,c_x(ϕx) sur l’espace des fonctions de carr´e int´egrable

ϕx:T(Fx)→C

avec

1I[^G_χ,c

x(ϕ_x)

≤ Z

T(F_x)

dt· |ϕb_x(t)| · |det_B(t)|^1/2_x · |δ_B(t)|^1/2_x .

(18)

De plus, le sous-toreT^C(Fx)⊂T(Fx) agit sur la forme lin´eaire ϕx7→1I[^G_χ,c_x(ϕx) par le caract`ere

T^C(Fx)3t7→ |detB(t)|^−1/2_x · |δB(t)|^1/2_x . On a :

Lemme IV.22.–

Les caractèresdetB·δB etdetB·δ⁻¹_B sont éléments du cône polyédralX_T. Démonstration du lemme :

CommeX_T est stable par l’action du groupe de WeylWG, il suffit de traiter le cas de detB·δ⁻¹_B . Pour tout poidsρⁱ_T qui est le plus haut poids d’un facteur irréductible de la représentation de transfert ρ:Gb→GLr(C), on a par définition du caractère detB

hdetB, ρⁱ_Ti=hδB, ρⁱ_Ti.

Comme detB est un caract`ere de Get δB est un caract`ere dominant, on a pour tout poids ρ^j_T qui est une image parWG d’un tel plus haut poidsρⁱ_T

hdet_B, ρ^j_Ti=hdet_B, ρⁱ_Ti=hδ_B, ρⁱ_Ti ≥ hδ_B, ρ^j_Ti.

Comme cesρ^j_T images parWG des plus hauts poidsρⁱ_T engendrent le cˆone satur´eX^∨

T dual deX_T, le lemme est d´emontr´e.

Suite de la d´emonstration de la proposition IV.21 :

Comme le caractère detB·δB est élément deX_T et donc aussi deT_E, il induit une fonction continue

|detB· δB(•)|^1/2_x :T_E(Fx)→T(Fx)→R+. La borne

ϕx7→

Z

T(F_x)

dt· |ϕbx(t)|_x· |detB(t)|^1/2_x · |δB(t)|^1/2_x a le sens d’une condition de r´egularit´e locale pour les fonctions

ϕx:T(Fx)→C ou pour les fonctions

ϕ⁰_x:T_E(F_x)→C si l’on compose la forme lin´eaire

ϕ_x7→1I[^G_χ,c

x(ϕ_x) avec l’op´erateur

ϕ⁰_x7→ϕ_x= Z

(ρ^∨_T)⁻¹(•)

dt_ρ·ϕ⁰_x(t_ρ). De plus, on a

1I[^G_χ,c_x(ϕx) =|detB(t)|^1/2_x · |δB(t)|^1/2_x ·1I[^G_χ,c_x(ϕx(t•))

(19)

pour toutt∈T^C(Fx).

En faisant tendret∈T^C(F_x) vers le point base de la strateT_C(F_x) dansT(F_x), on obtient que la forme lin´eaire

ϕx7→1I[^G_χ,c_x(ϕx) est support´ee par la strateTC(Fx) dansT(Fx).

Donc la distribution

fx7→1I[^G_χ,c_x(fx) est support´ee par

NB(Fx)·TC(Fx)·N_B^op(Fx)⊂G(Fx) ce qui est la conclusion de (i).

(ii) r´esulte de (i) et du lemme IV.20.

A partir de maintenant, supposons que l’op´` erateur deρ-transformation de Fourier surG(Fx) fx7→fbx=

Z

G(F_x)

dρg·fx(g)·k^ρ_x(g•)

est non seulement unitaire et compatible avec laρ_T-transformation de Fourier surT(F_x) mais qu’il “pr´eserve le toreT(F_x) par convolution” :

Cela signifie que pour toute fonction mesurable unitaire 1Ix:G(Fx)→U(1)⊂C^×

dont la transformée de Fourier1Icxest une distribution supportée parT(Fx)⊂G(Fx), et pour toutes fonctions continues et de carré intégrable

f1, f2:G(Fx)→C reli´ees par la formule

fb2=fb1·1Ix,

alors la restriction def₂ àT(F_x) ne dépend que de la restriction def₁ à T(F_x).

On a la cons´equence de la proposition IV.21 : Corollaire IV.23.–

On suppose comme ci-dessus que la ρ-transformation de Fourier sur G(Fx) pr´eserve le tore T(Fx)par convolution.

On considère un caractère χ ∈ X_T ⊂ X_T, une place x ∈ |F|, un élément c_x ∈ E_χ,x = E_χ ⊗F F_x et une face C du cône polyédralX_T définie surF_x et qui contient l’ensemble des σ(χ),σ ∈Γ_F, telles que la coordonnée correspondante dec_xne soit pas nulle.

On suppose enfin que la face C est constitu´ee de caract`eres dominants.

Alors, pour toutes fonctions continues et de carré intégrable f1, f2:G(Fx)→C reliées par la formule sur G(Fx)

fb2=fb1·1I^G_χ,c_x,