Mécanique Quantique

Mécanique Quantique

Cours 14/03

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Rappelles:

• Opérateurs comme matrices

• Valeurs et vecteurs propres

• Produits scalaires

• Resultats de mesures

• La relation de fermeture

• Le spin

• le spin ½

Opérateurs comme matrices

Transformation (avec un opérateur) :

T |↵i = | i

0 BB BB

@

t₁₁ t₁₂ t₁₃ . . . t_1N t₂₁ t₂₂ . . .

t₃₁ . . . . . .

. . . . . .

t_N1 . . . t_{N N}

1 CC CC A

0 BB BB

@

a₁ a₂ a₃ . . . a_N

1 CC CC A =

0 BB BB

@

b₁ b₂ b₃ . . . b_N

1 CC CC A

Produits scalaires

- Si ⇒ est “normalisé”

- Si ⇒ et sont “orthogonaux”

h ↵ | i = a

b

+ a

b

+ a

b

+ · · · + a

b

(hf|gi)^⇤ = hg|fi

hf|fi = 1 f(x)

hg|fi = 0 _f(x) g(x)

Conjugués hermitiens ou Adjoints

Définition de “l’adjoint”, , d’un opérateur, :

Si , l’opérateur est dit “hermitien”

Les observables sont toujours des opérateurs hermitiens

A^† A

h'₂|A^†|'₁i = (h'₁|A|'₂i)^⇤

Q^† = Q Q

Valeurs et vecteurs propres

- L’ensemble de tous les vecteurs propres d’un opérateur est un ensemble complet - Le nombre de vecteurs propres donne la dimensionalité de l’espace d’Hilbert

- Tous les vecteurs dans l’espace de Hilbert peut être exprimé comme superposition de ces vecteurs propres

- Les seuls résultats possibles dans une vraie mesure sont les valeurs propres

Projecteurs

se représente comme une matrice carré

L’opérateur est un “projecteur”

|aihb|

|aihb| = 0 BB BB

@ a₁ a₂ a₃ . . . a_N

1 CC CC

A(b₁⇤, b₂⇤, b₃⇤, . . . , b_N⇤)

= 0 BB BB

@

a₁b₁⇤ a₁b₂⇤ a₁b₃⇤ . . . a₁b_N⇤ a₂b₁⇤ a₂b₂⇤ . . .

a₃b₁⇤ . . . . . .

. . . . . .

a_Nb₁⇤ . . . a_Nb_N⇤

1 CC CC A

P_a = |aiha|

La relation de fermeture

Considérons le vecteur d’état:

Par convention d’écriture:

“La relation de fermeture de la base”

(aussi appelée la relation de clôture)

| i =

XN

i=1

ci|fii =

XN

i=1

hfi| i|fii =

XN

i=1

|fiihfi| i =

XN

i=1

|fiihfi|

!

| i

XN

i=1

|f_iihf_i| = I

L’espace de Hilbert

Supposons que je peux trouver un ensemble de solutions avec lesquelles je peux écrire tous les solutions possibles comme une superposition:

L’ensemble des constituent “une base” pour tout les états possibles.

n(x)

n(x)

(x) =

XN

1

c_{n n}(x)

Spin ½

Il existe deux types principaux des moments angulaires:

- : Moment angulaire orbital

- : Spin - un corps qui tourne autour son axe principal

Un électron n'a pas d'extension spatiale, mais il a un spin quand même!

L ~

S ~

Comportement d’un système de spin ½

- La valeur absolue du spin est toujours la même

- C'est un vecteur, avec trois composantes spatiales;

, , ; représentées par des opérateurs

- C'est impossible de connaître les trois composantes spatiales du spin au même temps

- La mesure de la projection du spin sur un axe (n'importe lequel) donnerait toujours:

* soit : "spin-haut"

* soit : "spin-bas"

S_z

S_y

S_x

+~ 2

~ 2

Espace d’Hilbert d’un spin ½

Par convention, les vecteur propres de sont choisi comme base:

et

H

S_z {|+i^z , | i^z} S_z |+i^z = ~

2 |+i^z S_z | i^z = ~

2 | i^z

| i^z =

✓ 0 1

◆

|+i^z =

✓ 1 0

◆

S_z = ~ 2

✓ 1 0

0 1

◆