MAP 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire.
PC 2 - Année 2016
EXERCICE 1 -Saturation et détection
Soit X une v.a. exponentielle de paramètre1, eta, εdes réels positifs.
1. Déterminer les fonctions de répartition deY = min(X, a) et deZ =X1{X>ε}. 2. Y etZ ont-elles une densité ?
3. CalculerE[Y].
EXERCICE 2 - De nouvelles lois.
1. Déterminer la densité de eX oùX est uneN(0,1)(on appelle cette loi la loi log-normale).
2. Soit R de densitéx7→ 12exp(−|x|). Quelle est la loi de|R|? 3. Si T suit la loi exponentielle de paramètre1, quelle est la loi de√
T?
EXERCICE 3 -Une formule utile
Soit X une variable aléatoire positive, démontrer que
E(X) = Z +∞
0
P(X≥t)dt.
Indication. On peut intervertir espérance et intégrale : pour toute fonction positive f :R×I → R+, on a R
IE[f(Y, t)]dt=ER
If(Y, t)dt .
EXERCICE 4 -Temps d'arrêt. Une personne décide de vendre sa maison au premier acheteur qui fera une ore supérieure à seuros. On suppose que les ores sont indépendantes et toutes de même fonction de répartition F.
1. Soit K≥1le nombre d'ores nécessaires pour vendre la maison, quelle est la loi de K? 2. Déterminer la loi du prix de vente X∈[s,+∞) de la maison.
EXERCICE 5 -Convergence du minimum
Soient X1, X2, . . . des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur[0,1]. On note Mn= min{X1, X2, . . . , Xn}.
1. Déterminer la fonction de répartition de Mn, en déduire sa densité et E[Mn].
2. Démontrer à l'aide du Lemme de Borel-Cantelli que, presque-sûrement, la suite (Mn) converge vers zéro.
3. Trouver une suite antelle que pour tout t≥0
P(anMn≤t)n→+∞→ P(E≤t), où E est une exponentielle de paramètre 1.
4. Bonus : Quelle est la loi de Nn, la deuxième plus petite valeur des Xi?
EXERCICE 6 - Loi normale. SoitX de loiN(0,1), eta, b des constantes.
1. Quelle est la loi de aX+b?
2. Montrer que pour touta >0 on aP(X≥a)≤ exp(−a2/2) a√
2π . 3. Soit t∈R, calculer E[etX].
EXERCICE 7 -Projection orthogonale
Soit X etY deux variables aléatoires de carré intégrable. On dit que X, Y sont orthogonales si E[XY] = 0.
1. SoitE1 l'espace vectoriel des variables aléatoires constantes, quelle est la projection ortho- gonale de X surE1?
2. Soit E2 l'espace vectoriel engendré par Y (l'ensemble des v.a. {aY, a ∈ R}) quelle est la projection orthogonale de X surE2?
EXERCICE 8 -Détruquer une pièce
On dispose d'une pièce truquée qui renvoie "pile" avec une probabilitépet on souhaite s'en servir pour générer un pile ou face équilibré. John von Neumann1 a imaginé l'algorithme suivant :
Lancer la pièce
Lancer la pièce Lancer la pièce pile
face pile
face
face pile
Renvoyer
“face”
Renvoyer
“pile”
DEBUT
FIN
FIN
On note T ∈ {2,4,6, . . .} la variable aléatoire donnée par le nombre de lancers nécessaires pour que l'algorithme se termine, etR∈ {"pile","face"}le résultat de l'algorithme.
1. Que valentT etR si on obtient comme premiers tiragesP P P P F F P P P F F P? 2. Démontrer que pour tout k≥1,
P(T = 2k) = p2+ (1−p)2k−1
2p(1−p),
en déduire que l'algorithme se termine presque-sûrement : P(T <+∞) = 1.
3. Démontrer que l'algorithme renvoie bien "pile" ou "face" avec même probabilité, c'est-à- dire que P(R="Pile") = 1/2.
4. (*) Démontrer que E[T] = p(1−p)1 . Imaginer une variante de l'algorithme de von Neumann pour réduire E[T].
1Mathématicien et physicien américano-hongrois (1903-1957).
