ECE1 TD - Variables aléatoires à densité - EXERCICE1 -
Déterminer si les fonctions suivantes sont des densités de probabilité.
Si oui, déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire associée à cette densité.
1. g(t)=
(0 si t<0 4t e−2t si t>0 2. f(t)= ae−ax
(1+e−ax)2, aveca∈R∗+
3. u(t)=
0 sit<0
3 2e−t/2¡
1−e−t/2¢2
sit>0
- EXERCICE2 -
Dans chaque cas, déterminer le réelapour que les fonctions ci-dessous soient des densités de probabilité.
• f(t)=
0 sit∉]1; 2]
pa
t−1 sit∈]1; 2] • h(t)=
0 si t<1 alnt
t3 si t>1 - EXERCICE3 -
Déterminer si les fonctions suivantes sont les fonctions de répartition d’une variable à densité.
Si oui, en donner une densité.
1. F(x)=
0 si x<2 1− 9
3x si x>2 2. ∀x∈R, F(x)= 1
1+e−x
3. F(x)=
0 si x<0
1−
³ 1+x
2
´2
e−x si x>0
- EXERCICE4 -
On considère une variable aléatoireYdont une densitéf est définie par :f(x)=
4
3(1−x)1/3 si 06x61
0 sinon
1. Déterminer la fonction de répartitionFde la variableY. Construire sa représentation graphique.
2. Calculer les probabilités : P([0, 775<Y61, 2]) et P[Y<0,775]([Y>0, 5]).
- EXERCICE5 -
Calculer, si elles existent, l’espérance et la variance de la variableXdont une densité est :
1. g(t)=
(0 si t<0
4t e−2t si t>0 2. h(t)=
0 si t<1 4 lnt
t3 si t>1 - EXERCICE6 -
SoitXune variable aléatoire dont une densitéfest définie par :
f(x)=
(e−|x| si −ln 26x6ln 2
0 sinon
1. Déterminer la fonction de répartitionFdeX. 2. On poseY= |X|.
(a) Déterminer la fonction de répartitionFYdeY.
(b) Montrer queYest une variable à densité et donner une densité deY. 3. On poseZ=eXet on noteFZla fonction de répartition deZ.
(a) ExprimerFZà l’aide deFX.
(b) Montrer sans expliciterFZqueZest une variable aléatoire à densité puis donner une densité deZ.
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- EXERCICE7 -
SoitXune variable aléatoire dont une densitéfXest définie par :
f(x)=
1
2x2 six6−1 oux>1
0 sinon
On noteFXla fonction de répartition deX.
1. On poseY=X2et on noteFY la fonction de répartition deY. (a) ExprimerFYà l’aide deFX.
(b) Montrer sans expliciterFY queYest une variable aléatoire à densité puis donner une densité deY. 2. On poseZ=ln (|X|) et on noteFZla fonction de répartition deZ.
(a) ExprimerFZà l’aide deFX.
(b) Montrer sans expliciterFZqueZest une variable aléatoire à densité puis donner une densité deZ. - EXERCICE8 -
SoitXune variable aléatoire de densitéf. On noteFsa fonction de répartition.
On considère la variable aléatoireY=a X+baveca6=0. On noteGsa fonction de répartition.
1. ExprimerGà l’aide deF. On distinguera les casa<0 eta>0.
2. Montrer queYest une variable à densité et donner une densité deY. - EXERCICE9 -
On définit surRla fonctionfpar :f(x)=
1 xp
2x six>2
0 sinon.
1. Montrer que Z+∞
2
1 xp
xdxconverge et donner sa valeur.
2. Montrer quefest une fonction de densité.
3. SoitXune variable dontf est une densité. Déterminer la fonction de répartition deX. 4. Xadmet-elle une espérance ?
On considère trois variablesX1,X2,X3indépendantes et toutes de même loi queX. 5. On poseU=inf(X1,X2,X3) et on admet queUest une variable aléatoire.
(a) Déterminer la fonction de répartitionGdeU.
(b) Montrer queUest une variable à densité, et donner une densité deU. (c) Montrer queUadmet une espérance et la calculer.
6. On poseV=sup(X1,X2,X3) et on admet queV est une variable aléatoire.
(a) Déterminer la fonction de répartitionHdeV.
(b) Montrer queVest une variable à densité, et donner une densité deV. (c) La variableV admet-elle une espérance ?
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