Map 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire.
PC 3 - Année 2015
EXERCICE 1 -Saturation et détection
SoitX une v.a. exponentielle de paramètre 1, eta, εdes réels positifs.
1. Déterminer les fonctions de répartition deY = min(X, a) et de Z =X1X>ε. 2. Y etZ ont-elles une densité ?
3. CalculerE[Y].
EXERCICE 2 -De nouvelles lois.
1. Calculer la densité deeX oùX est uneN(0,1)(on appelle cette loi la loi log-normale).
2. SoitR de densitéfR(x) = λ2 exp(−λ|x|). Quelle est la loi de S=|R|? 3. SiT suit la loi exponentielle de paramètre1, quelle est la loi de√
T?
EXERCICE 3 -Loi normale. Soit X de loiN(0,1). 1. Quelle est la loi deaX+b?
2. Montrer que pour touta >0 on aP(X ≥a)≤ exp(−a2/2) a√
2π .
3. Soitt∈R, calculerE[etX]. (On pourra utilisertx−x22 =−(x−t)2 2 +t22.)
EXERCICE 4 -Une loi max-stable
SoientX1, X2, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes et ayant toutes la loi de Fréchet : pour touttdansR,
P(Xi ≤t) =
( exp −t12
si t >0, 0 sinon.
1. Démontrer queE[Xi]<+∞.
On noteMn= max{X1, . . . , Xn}la plus grande valeur parmi les npremiersXi. 2. Déterminer la fonction de répartition deMn, et trouver le nombreantel queMn
an suit également la loi de Fréchet.
EXERCICE 5 -SoitX etY deux variables aléatoires de carré intégrable dans un espace (Ω,A,P). On dit queX, Y sont orthogonales si E[XY] = 0.
1. SoitE1l'espace vectoriel des variables aléatoires constantes, quelle est la projection orthogonale de X sur E1?
2. Soit E2 l'espace vectoriel engendré par Y (l'ensemble des v.a. {aY, a∈ R}) quelle est la pro- jection orthogonale de X surE2?
Rappelons queπ(X) est la projection orthogonale deX surE si et seulement si π(X)∈ E et si pour toutE∈ E,X−π(X)⊥E.
EXERCICE 6 -Inégalité de Paley-Zygmund
SoitX une variable aléatoire positive telle que 0<E[X2]<+∞ etθ∈]0,1[une constante.
1. Vérier que
X≤θE[X] +X1{X>θE[X]}. 2. Démontrer l'inégalité de Paley-Zygmund :
P(X > θE[X])≥(1−θ)2E[X]2 E[X2].
EXERCICE 7 -Médiane
SoitX une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F. Montrer que : 1. SiX est à valeurs positives etk≥0 alors
E(Xk+1) = (k+ 1) Z ∞
0
tk(1−F(t))dt.
2. Pour tout réela, on a
E(|X−a|) = Z a
−∞
F(x)dx+ Z ∞
a
(1−F(x))dx.
3. On suppose maintenant queF est continue. Pour quelle(s) valeur(s)ala quantité E(|X−a|) est-elle minimale ?
EXERCICE 8 -Détruquer une pièce
On dispose d'une pièce truquée qui renvoie "pile" avec une probabilitép et on souhaite s'en servir pour générer un pile ou face équilibré. John von Neumann1 a imaginé l'algorithme suivant :
Lancer la pièce
Lancer la pièce Lancer la pièce pile
face pile
face
face pile
Renvoyer
“face”
Renvoyer
“pile”
DEBUT
FIN
FIN
On note T la variable aléatoire donnée par le nombre de lancers nécessaires pour que l'algorithme se termine, etR∈ {"pile","face"} le résultat de l'algorithme.
1. Que valentT etR si on obtient comme premiers tiragesP P P P F F P P P F F P? 2. Démontrer que pour toutk≥1,
P(T = 2k) = p2+ (1−p)2k−1
2p(1−p),
en déduire que l'algorithme se termine presque-sûrement : P(T <+∞) = 1.
3. Démontrer que l'algorithme renvoie bien "pile" ou "face" avec même probabilité, c'est-à-dire que P(R="Pile") = 1/2.
4. Démontrer queE[T] = p(1−p)1 .
5. (*) Imaginer une variante de l'algorithme de von Neumann pour réduireE[T].
1Mathématicien et physicien américano-hongrois (1903-1957).
