MAP 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire.
PC 1 - Année 2016
EXERCICE 1 -Marche aléatoire
On considère la marche aléatoire symétrique : soit(Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d. telle que
P(Xn= 1) =P(Xn=−1) = 1/2.
On noteSn=X1+· · ·+Xn.
- 20 - 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20 25 30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1. Déterminer P(S2n = 0). Donner un équivalent de cette probabilité lorsque n tend vers l'inni.
(On rappelle l'équivalent de Stirling n!∼(n/e)n√ 2πn).
2. Plus généralement, calculer P(S2n= 2j) etP(S2n= 2j+ 1)pour −n≤j≤n. 3. Quelle est la valeur la plus probable pourS2n?
EXERCICE 2 -limsup d'ensembles
SoitΩ un espace de probabilité, et(An)n≥1 une suite d'événements, on pose
lim sup
n→+∞
An= \
p≥1
[
n≥p
An
.
1. On prendΩ =R, et on pose
An= [−1/n; 3 + 1/n], Bn= [−2−(−1)n; 2 + (−1)n], Déterminer leslim sup des suites(An),(Bn).
2. On lance une innité de fois un dé équilibré, donnerΩ. SoitAn l'événement "len-ème dé tombe sur6", décrire en Français l'événement "lim supnAn".
EXERCICE 3 -Marche aléatoire : le cas biaisé
On considère maintenant une marche aléatoire biaisée : soit(Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires i.i.d. telle que
P(Xn= 1) =p= 1−P(Xn=−1), avec p∈(0,1). On note Sn=X1+· · ·+Xn.
1. Donner un équivalent deP(S2n= 0).
2. Que donne le Lemme de Borel-Cantelli lorsqu'on l'applique à la suite d'événements {S2n= 0}?
EXERCICE 4 -Séquence de pile/face
On lance une innité de fois une pièce équilibrée. Pourn≥1, on noteMnla longueur de la plus longue séquence de "piles" consécutifs durant lesnpremiers lancers. Par exemple :
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . tirage F P P F P P P F P . . . Mn 0 1 2 2 2 2 3 3 3 . . .
Le but de cet exercice est d'étudier le comportement asymptotique de la suite (Mn).
1. Démontrer que pour toutk≤n on aP(Mn≥k)≤(n−k+ 1)(1/2)k. 2. Démontrer que pour toutk≤n on aP(Mn< k)≤ 1−(1/2)kbn/kc
.
3. En déduire le comportement asymptotique de(Mn): trouver une suite de réels(an)tels que pour toutε >0
P
1−ε≤ Mn an
≤1 +ε
n→+∞
→ 0.
EXERCICE 5 -Sondage honnête
On cherche à faire un sondage pour savoir quelle proportion des élèves a triché à l'examen de MAP311.
Craignant que tous ne disent pas la vérité, on imagine le protocole suivant. Chaque élève doit s'isoler, lancer un dé équilibré et répondre ensuite à la question "Avez-vous triché ?". S'il a obtenu 6 il doit mentir, sinon il doit dire la vérité.
Une proportion p d'élèves a répondu "j'ai triché", à combien estimeriez-vous la proportion de tricheurs ?
EXERCICE 6 -Bonus : Détruquer une pièce
On dispose d'une pièce truquée qui renvoie "pile" avec une probabilitépet on souhaite s'en servir pour générer un pile ou face équilibré. John von Neumann1 a imaginé l'algorithme suivant :
Lancer la pièce
Lancer la pièce Lancer la pièce pile
face pile
face
face pile
Renvoyer
“face”
Renvoyer
“pile”
DEBUT
FIN
FIN
On note T ∈Nla variable aléatoire donnée par le nombre de lancers nécessaires pour que l'algorithme se termine, etR∈ {"pile","face"}le résultat de l'algorithme.
1. Que valentT etR si on obtient comme premiers tirages P P P P F F P P P F F P?
2. Pour toutk ≥1, calculerP(T =k). En déduire que l'algorithme se termine presque-sûrement : P(T <+∞) = 1.
3. Démontrer que l'algorithme renvoie bien "pile" ou "face" avec même probabilité, c'est-à-dire que P(R="Pile") = 1/2.
1Mathématicien et physicien américano-hongrois (1903-1957).
