• Aucun résultat trouvé

Performance of Multiple TCP Flows: an Analytical Approach

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Performance of Multiple TCP Flows: an Analytical Approach"

Copied!
28
0
0

Texte intégral

(1)

HAL Id: inria-00070589

https://hal.inria.fr/inria-00070589

Submitted on 19 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub-

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

Performance of Multiple TCP Flows: an Analytical Approach

Cédric Adjih, Philippe Jacquet, Georgios Rodolakis, Nikita Vvendenskaya

To cite this version:

Cédric Adjih, Philippe Jacquet, Georgios Rodolakis, Nikita Vvendenskaya. Performance of Multi- ple TCP Flows: an Analytical Approach. [Research Report] RR-5417, INRIA. 2005, pp.24. �inria- 00070589�

(2)

ISRN INRIA/RR--5417--FR+ENG

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

Thème 1

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Performance of Multiple TCP Flows: an Analytical Approach

Cédric Adjih — Philippe Jacquet — Georgios Rodolakis — Nikita Vvendenskaya

N° 5417

Décembre 2004

(3)
(4)

.51167

839;:<>=@?BAC:EDF=@GHJI G=@KL=@MMONBPRQS?UTWVNYXZH,[\NU]S<>^R=@]R_a`b]c:6]RKdQSeW=@_UHfb=LeW=@XgQih jRNUk6:NUk_>eEQZlWQ

mnpoFq3rasutwvyxFz{rF|Y}~br€(z{Zz‚€ƒo4q„rFz

…‡†{ˆŠ‰‹r4€Œ(ސSrF†ƒ‘4ˆYq

v|ŠpSˆ;†‚€’r †{r>‘ƒnprF†ƒ‘“npr$”S•–Š—Es˜\tw™uxF‘rFqšp†ƒr›Šœ;œŠ—t›Š—3E|YžYrFz

Ÿb 6¡F¢4£¤p¥Y¢Y¦¨§

r1z‹€ƒ}E’i€ƒnprbSrF†‚©ªˆ;†{qa|Y”E‘rCˆŠ©(z{r4«Yr4†“|Ь,m(­,…®‘ˆ;”p”prF‘€{ޝˆY”Ez°z{}pšZ‰‹r>‘€ƒrF’±€{ˆB€ƒnpršSˆŠ€{²

€ƒ¬rF”prF‘“³ˆŠ©O|bz‚¬¯ˆ´µ”pr4€¶´,ˆ;†{³R·R|Y‘4‘4rFzƒz‚r>’«Uޏ|b|bz‚ޝ”pžY¬¯r°¹U}pr4}pr°´yŽº€ƒnBnEސž;nBšp}€u»E”EŽº€ƒr3‘4|YE|Y‘ސ€‹Y¼u½(z{ސ”Ež

€ƒnprq„rF|Š”p²@»ErF¬¯’3q„r4€{npˆ’pˆY¬¯ˆYžY°|Š”E’3¾E}pޏ’a|Špp†ƒˆg~Zޝqa|€ƒŽˆ;”W·Š´,ryr>z‹€“|Ššp¬¯Ž¸z‚na|;z‚Zq„€ƒˆŠ€{ޏ‘†{r>z‚}E¬º€“zJˆY”3€ƒnpr

¹U}prF}pr¬¯r4”EžŠ€{na’ޏz‹€ƒ†{ޝšp}€ƒŽˆ;”„|Y”E’€ƒnpry´yޝ”E’ˆ´&z‚ޝ¿4r’ޝz‚€{†ƒŽ¯šp}€{ޝˆY”c¼ § ryE†{ˆ«Yr,€ƒnE|€J€ƒnpr’ސÀSrF†{rF”E‘ryšSr²

€‹´,r4rF”„€{npr(šp}ÀRr4†‘4|ŠE|;‘ސ€‹°|Š”E’3€ƒnpr(|;‘€{}E|Y¬E¹U}prF}pr¬rF”pžŠ€ƒn„€{r4”Á’pzJ€ƒˆ šSr(r~SˆY”prF”;€ƒŽ¯|Y¬¬¯°’ޏz‚€{†ƒŽšp}p€{rF’W¼

Â|Yz{rF’aˆY”C€{npr>z‚ru†ƒrFz{}p¬€ƒzF·U´,rÃ|Š”E|Y¬Z¿4r€{nErÃ|Š}p€{ˆ‘4ˆY†ƒ†{r4¬¸|€{ޝˆY”3©ª}E”E‘€{ޝˆ;”bˆŠ©|z{ސ”EžY¬¯rum(­,…Ä‘4ˆY”p”pr>‘€{ޝˆY”c·

|Y”E’±´,r1z{npˆg´Å€ƒnE|€„z{r4«YrF†ƒ|Y¬,m(­,…®‘ˆ;”p”prF‘€{ޝˆY”Ez°´yŽº€ƒn¨nprF|g«ZÆ€ƒ|Yސ¬¯rF’džƒˆY}p”E’È€ƒ†{ޝÄ’r4¬¸|>zž;r4”pr4†“|€ƒr

€ƒ†ƒ|ŠÉa‘ôyސ€{n¬¯ˆY”pž3€{rF†{q5’rFSr4”E’rF”E‘ޝrFzF¼

Ê\ËUÌRÍ{Î°Ï £gÐ6¡;¦ m(­,…·E|Yz{Zq„€{ˆY€{ޏ‘4zF·Zq„r>|Š”²L»Er4¬¸’Ñ·¬¯ˆY”Ež°€ƒr4†ƒq5’r4Sr4”Á’r4”E‘4ސr>z4·pnpr>|>«Za€“|ŠŽ¯¬¯z

ÒpӓԪÕLÖ×ӓØÙØÚ(ÛLÜ>Ýg݊ÞÔßÕ@à‹á âÚÃãWäpäpåRæÔ@ӓç4Õ6èé“êëè>ì¶êªèèèíî

(5)

12331

¡ ¦ ˆY}Ezx4€{}E’ޝˆY”Áz¬r>zSr4†{©ªˆY†ƒqa|Š”E‘r>z6’ryp¬¯}Ez‚ޝr4}p†“zJ‘ˆ;”p”pr~ޝˆY”Ezm(­,…±z‚ˆ;}pq„ޝz{rFzJ|Š}°ž;ˆY}p¬¯ˆŠ€

’x€ƒ†ƒ|Y”pžY¬¯r4q„r4”U€’}p”†ƒxFz{rF|Y}C¬¯r4”;€’rFzƒz{r4†{«ZŽSE|Y†}p”pru»E¬¯r ’|€{€{rF”;€{r ’rÞY†“|Š”Á’ru‘F|ŠE|Y‘4Žº€ƒxY¼‡”}p€{ޝ¬Ž²

zƒ|Š”U€¬¸|q„x€ƒnpˆ’r|;z‚Zq„€ƒˆŠ€ƒŽ¯¹U}pr,’}3‘ƒnE|Yq„q„ˆYr4””EˆY}Ezx€“|Ššp¬¯Ž¯zƒz{ˆY”Ez’rFz†ƒxFz{}p¬€ƒ|Š€ƒz|;z‚Zq„€{ˆY€{ޏ¹U}prFz

z{}p†J¬¸| ’ޝz‚€{†ƒŽ¯šp}€{ޝˆY”a’r¬¸|쯈Y”pž;}pr4}p†‡’ry¬¯|u»Á¬r’|€‚€ƒr4”U€{ryr€O’r>z6€“|ŠŽ¯¬¬¯rFz‡’r©ªrF”€ƒ†{r¹U}E|Š”Á’°¬ry”pˆYqšp†ƒr

’}€ƒŽ¬¯Ž¯zƒ|€ƒr4}p†“zJ‘†ƒˆYސ€Jp†{ˆ;SˆY†{€{ޝˆY”p”Er4¬¯¬rFq3rF”;€Ã¬¸| ‘4|ŠÁ|Y‘ސ€{xy’ry¬¯|u»E¬¯r’|Š€‚€ƒr4”;€ƒrY¼ ˆY}Ázq„ˆY”;€ƒ†{ˆ;”Ez¹U}pr

¬¸|¹;}Á|Š”;€ƒŽº€ƒx(’prp¬¸|Y‘4rFz‡¬Ž¯šp†ƒrFzO’p|Š”Áz‡¬r(šp}ÀRr4†’|€‚€ƒr4”U€{ruz{}pŽº€,}p”pr(¬¯ˆYŽEr4~ZSˆ;”pr4”U€{ޝr4¬¯¬r;¼ ˆ;}Ez‡x4«Š|Ь¯}pˆY”Áz

¬|Y}€{ˆp‘ˆY†ƒ†{xF¬¯|€ƒŽˆY”’}p”pr ‘4ˆY”p”pr4~ސˆ;”m(­,…&r4€y”pˆY}Ezq„ˆY”U€{†ƒˆY”Ez¹U}pr p¬}Áz‚ޝr4}p†“z‘4ˆY”p”pr4~ސˆ;”EzÁrF}p«Yr4”U€

ž;x4”px4†ƒr4†y’r ¬¯ˆY”pž;}prFzy’x4SrF”E’p|Š”Á‘rFz¹;}Á|Š”E’¬¸|„’ޏz‹€ƒ†{ޝšp}€ƒŽˆ;”’rFz’xF¬¯|Yޝzy|3}p”Er ¹U}prF}pr ¬¯ˆY}E†ƒ’r;¼

Ï ¢F¡ Í ¥ ¡ ¦ m(­,…·‘4ˆYq„SˆY†{€{rFq„r4”;€1|Yz{Uq„€ƒˆŠ€ƒŽ¯¹U}pr;·y‘“nE|Yq3 q„ˆgYrF”W·y¬¯ˆY”EžY}prFzb’px4Sr4”E’E|Š”E‘4rFzF·

¹U}prF}prFz¬¯ˆY}E†ƒ’r>z

(6)

* +

3c6 O

mnpr’Z”E|Yq„ޝ‘ ´yސ”E’pˆg´-šÁ|Yz{rF’1p†ƒˆŠ€ƒˆ‘ˆ;¬Wm(­,…-,¯s.6ޝz´yޏ’r4¬¯}Ez{rF’ˆg«YrF†€ƒnpr0/¶”U€{r4†ƒ”pr4€F¼mnpr†ƒrF|;z‚ˆ;”

ˆY©R€ƒnprÃz‚}E‘F‘r>z{zOˆŠ©cm(­,…¨Ž¯z,q„|Yސ”E¬„šE|Yz{rF’aˆY”Cސ€ƒz,npސž;nb’Z”E|Šq„ޏ‘y€{nE|Š€,qa|Y³YrFzOŽº€|Ššp¬¯r€{ˆ3|Y’p|Y€,Žº€“z‚rF¬º©

€ƒˆa|Š”ZC³Zސ”Á’ˆY©6”pr€‹´,ˆY†ƒ³b‘4|YE|Y‘4Žº€‹Y·Z©ª†ƒˆYq5|°©ªr4´ šEŽº€“z€{ˆaz{r4«YrF†ƒ|Y¬RžYޝž;|ŠšEŽº€“zSr4†z{rF‘4ˆY”E’W¼

m(­,…#nE|Yz„†ƒrF‘rFސ«Yr>’Äz‚Sr>‘ޏ|Ьy|Š€‚€ƒr4”;€ƒŽˆ;”z‚ޝ”E‘4r1ސ€ƒz„©ªˆY†ƒq}p¬¯|Š€{ޝˆY”&|;z„|Š”&ޝ”;€{rF†{”pr4€Cz‚€ƒ|Y”E’p|І“’Ѽ1/¶”

E|Y†‚€ƒŽ¯‘4}p¬¸|І>·Yސ€ƒz,Sr4†{©ªˆY†ƒqa|Š”E‘4rynE|;zOšSr4r4”C€{npru†ƒrFz{rF|Y†ƒ‘“n3©ªˆ‘}Ez,ˆŠ©cz{r4«Yr4†“|ЬEž;r4”pr4†“|€ƒŽ¯ˆY”Ez‡ˆŠ©W†{r>z‚r>|І“‘ƒnEr4†ƒz4¼

mnprBpޝˆY”Er4r4†CE|YSr4†2,ٛ3.Ã|Š”E|Y¬Z¿FrF’¨€ƒnprBSr4†{©ªˆY†ƒqa|Š”E‘4rˆŠ©m(­,… ސ”€ƒnpr z{SrF‘ސ»Á‘B‘4|Yz{r\ˆŠ© |Çz‚ޝ”pžY¬¯r

m(­,… ‘ˆY”E”prF‘€ƒŽ¯ˆY”iˆ;”È|\z‚ޝ”pž;¬ra†{ˆ;}€{rF†‘ˆY”p”ErF‘€ƒrF’Æ€{ˆB|Y”iޝ”»E”pސ€ƒrC‘F|ŠE|;‘ސ€¶Æ‘“nE|Š”p”prF¬‡´yސ€{nÇ|»p~r>’

ޝ”E’r4SrF”E’rF”;€,r4†ƒ†{ˆ;††“|€{r

p¼(4BˆY†ƒr†ƒrF‘rF”;€ƒ¬;·;Â|Y‘F‘r4¬¯¬¯Žr4€,|ЬL¼5,)3.S|Y”E|Ь¯Z¿4rF’„| z‚ޝ”pžY¬¯rm(­,…Ç‘ˆ;”p”prF‘€{ޝˆY”

¾Eˆ´ €{†“|g«Yr4¬¯¬Ž¯”pži€{np†ƒˆY}pž;n|Èz{rF¹U}pr4”E‘4rˆŠ©Ã»E”pސ€{r ‘4|YE|Y‘4Žº€‹Ç†ƒˆY}€ƒr4†“z4¼ mnprB|Š”E|Y¬z{ޝz„ޝzaޝ”;€ƒr4†ƒrFz‚€{ޝ”pž

šSrF‘F|Š}Ez{r ސ€1†ƒr4¬¯Žr>zbˆY”|Y” r4~ZE¬Ž¸‘ސ€©ªˆY†ƒq}p¬¸|€ƒŽˆ;” ˆY© €ƒnprƏp†ƒˆYšp¬¯r4qޝ”76ªqa|~Ñ·p¬¯}Ez8b|Y¬ž;r4šp†“|p¼®mnpr

p†ƒˆYšp¬¯r4q ˆŠ©z‚rF«Yr4†“|Ь6‘4ˆY”p”pr>‘€ƒŽˆ;”Ez4·Ñr4«Yr4” €{ˆ|z{ޝ”pžY¬¯r°†{ˆ;}€{rF†F·RnE|;zuˆ;”p¬\šSr4rF”iz‚ޝq}p¬¸|€{r>’Ñ·Ñ´yސ€{n €ƒnpr

”pˆY€ƒ|Yšp¬r r4~p‘r4€ƒŽˆ;”1ˆŠ©9,—:.L·p´ynpޏ‘“n1ޏz4·pnpˆ´,r4«YrF†F·¬Ž¯q„Žº€ƒrF’€ƒˆ„«Yr4†ƒbz‚Sr>‘ސ»Á‘ÏpnÁ|Yz{rFzˆŠ©€ƒnpr p†{ˆY€{ˆ‘4ˆY¬L¼

mnpr„|ŠŽ¯q ˆY©O€{npޏz E|ŠSr4† ޏzu€{ˆ1ޝ”U«Yr>z‹€ƒŽžU|€ƒr°«Zޝ|1|Š”E|Y¬¯;€ƒŽ¯‘°q3r4€{npˆp’pzu€ƒnpr3q}E¬º€ƒŽº²¶‘ˆ;”p”prF‘€{ޝˆY”i‘4|;z‚r

´ynprF†{r

N m(­,…Å‘ˆY”E”prF‘€ƒŽ¯ˆY”Ez3‘4ˆZr~ޏz‹€3ˆ;”Ç€ƒnprzƒ|Šq„rb»Á”pŽº€ƒr‘F|ŠE|;‘ސ€¶±†{ˆ;}€{rF†F·O‘ˆ;”p”pr>‘€{r>’±€ƒˆÈ|B»p²

”pސ€{r„‘4|YE|Y‘ސ€‹1”pr4€¶´,ˆ;†{³R¼ ‡~U€ƒr4”E’pސ”pž€{npr„|Ь¯†{r>|Y’’ސÉa‘4}p¬€ z{ޝ”pžY¬¯r°‘ˆ;”p”prF‘€{ޝˆY” ‘F|Yz{r€{ˆb€{npr3q}p¬€{ސ²

‘4ˆY”p”pr>‘€{ޝˆY”‘F|Yz{ruz{r4rFqazO€{ˆ3šSrÈY}€ˆŠ©†{r>|Y‘ƒnbˆŠ©c€{nprÏp†ƒrFz{r4”U€q}p¬€{ސ²¶¹;}Er4}pr4ޝ”pž°€{ˆˆY¬¯šSˆ>~„©ªˆY†|Y”br~p|;‘€

|Y”E|Ь¯U€{ޏ‘3Sr4†{©ªˆY†ƒqa|Š”E‘4r„r~p†ƒrFzƒz‚ޝˆY”W¼Œˆ´,r4«YrF†F·|Y”E|Ь¯z‚ޏz ޏz qa|Y’praSˆ;zƒz‚ޝšp¬¯r„šSr>‘4|Y}Ez‚ra´,rb‘ˆY”Áz‚ޏ’r4†

€ƒnprÃ|;z‚Zq„€{ˆY€{ޏ‘(‘F|Yz{r(´ynpr4†ƒr

N ޏz,¬¯|Y†{ž;rY¼;/¶”E’r4r>’Ñ·U€{nErÑF|Ь¸‘}p¬¸|€ƒŽˆ;”aˆY©Ñ€ƒnprÃz‚€{r>|Y’az‚€ƒ|Š€{r>z‡€ƒ}p†{”Áz,ˆY}€

€ƒˆ„šSr q}Á‘ƒn\z{ސq„p¬¯r4†‘4ˆYq„E|Y†{r>’a€ƒˆ3€ƒnprz‚ޝ”pž;¬r ‘ˆ;”p”prF‘€{ޝˆY”‘4|;z‚r;¼

…‡†ƒ|;‘€ƒŽ¯‘F|Ь¯¬;·´,r ޝ”U«Yr>z‹€ƒŽ¯ž;|€ƒru€ƒnpr‘F|Yz{rôynprF†{r

N }Ez{r4†ƒzy|;‘4‘r>z{z

N z{r4†ƒ«Yr4†“z,}E”E’r4†(m(­,…9< /¶…·E|Y”E’

€ƒnpr šSˆY€‚€ƒ¬rF”prF‘“³bޏz|„†{ˆ;}€{rF†y´yŽº€ƒn\|3»E”pސ€{ršp}ÀRr4†u|Š”E’|az‚¬¯ˆ´ ”pr€‹´,ˆY†ƒ³Cޝ”;€ƒr4†{©ß|Y‘4rY¼Omnpr”pr€‹´,ˆY†ƒ³bޝz

’ޝ«Zޝ’prF’1ސ”U€{ˆ3€‹´,ˆC|ІƒrF|Yz>=

?

|3¬¯ˆ‘4|Y¬R¬¯ˆZˆ;´yސ€{n†{rF¬¯|Š€{ޝ«Yr4¬¯a¬¯ˆ´ z{Sr4r>’@6뀃r4¬¯r4pnpˆ;”pr ¬Ž¯”prY·E‘F|Ššp¬¯r mBA·DC(™EFG8

?

|3šE|;‘ƒ³ZšSˆ;”prôyސ€{nnpޝžYn€ƒnp†{ˆ;}pžYnEp}€06CJm4±·E™ § ™H4I8

mnpr(}Ez{r4†“zO|Іƒr¬¯ˆ‘4|Š€{rF’aˆY”a€{npru¬ˆp‘4|ЬÁ¬ˆˆYC|Š”Á’3€ƒnprÃz‚rF†{«YrF†ƒz‡|Y†{r¬¯ˆ‘F|€{r>’„ˆY”a€{npr(©ß|Yz‚€,šE|;‘ƒ³ZšSˆ;”prY¼

JE}p†‚€ƒnpr4†ƒq„ˆY†ƒrY·U€ƒnpr4†ƒr ޏzy|3†ƒˆY}p€{r4†|€y€{npr šSˆY†“’rF†šSr€‹´,r4rF”€ƒnpr ¬¯ˆ‘4|Š¬Ñ¬¯ˆZˆY|Š”E’b€ƒnpr ©ß|Yz‚€yšE|;‘ƒ³ZšSˆ;”prY¼

§ r |Yzƒz‚}pq„r1€{nÁ|€b|Y¬¬}Ez{r4†“za|Іƒr’pˆg´y”p¬¯ˆ;|;’ޝ”pžÆ»E¬¯rFzaˆŠ© ޝ”»E”pސ€{r z‚ޝ¿4r;¼ § rB|Y†{rޝ”;€{rF†{r>z‹€ƒrF’&ސ”

|Y”E|Ь¯Z¿4ޝ”pžC€{npraz‹€ƒrF|;’\z‚€ƒ|Š€{r3ˆŠ©OrF«Yr4†ƒ\‘ˆ;”p”prF‘€{ޝˆY”W¼ § ra|Ь¸z‚ˆ1|Yzƒz‚}pq„r€ƒnE|€Ã€ƒnpr3†ƒˆY}p”E’\€ƒ†{ޝi’r4¬¸|g

šSr€‹´,rFr4”\z‚rF†{«YrF†y|Š”E’}Ez{r4†yޏz¬¸|ІƒžYr;¼

K }p†up†ƒŽ¯q„|Y†{´,ˆY†ƒ³zˆ;”\€ƒnpr°€{ˆYEޝ‘°|Y†{rޝ”L,ٖ·M .d¼ mnpr°†ƒr4qa|ŠŽ¯”E’rF†uˆŠ©‡€{npr3E|YSr4†uޏzuˆ;†{žU|Š”pޝ¿4r>’

|;z,©ªˆ;¬¬¯ˆ´z4¼

/¶”NEZrF‘€ƒŽˆ;”b›·;´,ržYޝ«Yr| z{npˆ;†‚€‡p†ƒrFz{r4”U€ƒ|Š€{ޝˆY”„ˆŠ©Wm(­,…Ç|Š”Á’3´,r(’r>z{‘4†{ޝšSr€{nEr(‘ˆ;”;€ƒŽ”Z}pˆY}Ez‡q„ˆ’rF¬@·

ޝ”1´ynEޝ‘“n€ƒnpr ´yސ”Á’ˆg´-|Y”E’šp}ÀRr4†(z{ސ¿FrFzy|Y†{rƃrF|Y¬R”Z}pqšSr4†“z4¼

EZrF‘€ƒŽ¯ˆY”2)aޝzu’r4«YˆY€{r>’€ƒˆa€{npr°|Y”E|Ь¯z‚ޏzyˆŠ©€{nEr‘4ˆY”;€ƒŽ”Z}pˆY}Ázq3ˆp’r4¬L·Á´yŽº€ƒn\ޝ”;€ƒr4†ƒp†ƒr€ƒ|Š€{ޝˆY”ޝ”€ƒnpr

‘F|Yz{rˆY©S¬¸|ІƒžYr†{ˆ;}p”E’€ƒ†{ޝa’r4¬¸|>zF¼G/¶”„E|І{€{ޏ‘}E¬¯|Y†F·Š´,rz{npˆg´¨€ƒnE|€‡€{npr†{rFq„|Yސ”Eސ”pž z{E|Y‘4rސ”„€{npršp}ÀRr4†

€ƒr4”E’pzy€{ˆašSr r~Sˆ;”pr4”;€ƒŽ¯|Y¬¯¬’ޝz‚€{†ƒŽ¯šp}€{r>’1´yސ€{n…ˆYޏz{z{ˆY”1E|Y†ƒ|Yq3r4€{rF†

a·p´ynprF” N → ∞¼ § r’r4”EˆŠ€{r

T €ƒnpr3šp}ÀRr4† z{r4†ƒ«Zޝ‘4r€{ޝq„r„‘ˆY†ƒ†ƒrFz{ÁˆY”Á’ސ”Eža€{ˆ1rF|Y‘“nƑˆY”E”prF‘€{ޝˆY”W¼

§

nEr4”

T |Y”E’ N €{rF”E’ šSˆŠ€ƒnB€{ˆ

ޝ”»E”pސ€‹Y·Ñ€{nEr3´yސ”Á’ˆg´®z‚ޝ¿4r„’ޝz‚€{†ƒŽ¯šp}€{ޝˆY”ƆƒrFzƒ‘4|Ь¯rF’\šZ

T−1/2 €{rF”E’pzÀ{ˆ|‘ˆ;”;€{ޝ”U}EˆY}Ez ’ޝz‚€ƒ†{ޝšp}€ƒŽˆ;”

(7)

g(y), ž;ސ«YrF”BšU J6ޝžY}p†ƒrbs;¼ /¶”L,ט .L·R€{npr„z{|Yq3r°¬Ž¯q„Žº€ƒŽ”pž©ª}p”E‘€ƒŽˆ;” nE|;z(šSrFr4” r~Z€ƒ†ƒ|;‘€{r>’\ސ”B€ƒnpr°q„ˆY†ƒr

ž;r4”pr4†“|ЬW|Špp†ƒˆ;|;‘ƒnˆŠ©m(­,… ‘ˆ;”;€{†ƒˆY¬Ñ´yސ€{n\z‚ޏ’r‘ˆY”U€{†ƒˆY¬R€{†“|ÉC‘ |Yzޝ”€ƒnprv p†ƒˆŠ€ƒˆ‘ˆ;¬@¼

/¶”@EZrF‘€ƒŽ¯ˆY”&%'%Á·R´,r°p†ƒrFz{r4”;€ |b’pޝzƒ‘†ƒr€ƒrq„ˆ’r4¬6ˆY©‡q}p¬€ƒŽp¬¯r„m(­,… ‘4ˆY”p”pr>‘€{ޝˆY”Áz4·S´ynEޝ‘“nB©ªˆY¬¯¬ˆ´z

€ƒnpr ‘4ˆY”;€ƒŽ”Z}pˆY}Ázq3ˆ’pr4¬L¼ § rÀ{nEr4”}Áz‚ru€ƒnpru©ß|;‘€€ƒnE|€€{npr †ƒr4qa|ŠŽ¯”pޝ”pž3z‚E|;‘ruޝ”b€ƒnprÚE}ÀSrF†€ƒr4”E’pz€{ˆ

šSrr~Sˆ;”pr4”;€ƒŽ¯|Y¬¯¬’pޝz‚€{†ƒŽ¯šp}€{r>’°Ž”3ˆY†“’rF†€{ˆ ’r4†ƒŽ¯«Yr|Ãz{ސq„p¬¯Žº»ÁrF’°q„ˆ’r4¬ˆY©S|Ãz{ސ”EžY¬¯rm(­,…È‘ˆ;”p”prF‘€{ޝˆY”

´yސ€{n°»p~rF’E|;‘ƒ³Yr4€6¬¯ˆ;zƒzE†{ˆ;šE|Ššpޝ¬¯Žº€‹Y¼G/¶”°E|Y†‚€ƒŽ¯‘4}p¬¯|Y†F·´,r‘“nE|І“|Y‘€ƒr4†ƒŽ¯¿4r‡€{npry|Š}p€{ˆ‘4ˆY†ƒ†{r4¬¸|€{ޝˆY” ©ª}p”E‘€ƒŽˆ;”

ˆY©S|Ãz{ސ”EžY¬¯rm(­,…È‘ˆ;”p”prF‘€{ޝˆY”°«Zޏ|Ã|Š”3rFz‚€{ޝq„|Š€{rˆŠ©Á€{npryz{rF‘4ˆY”E’rFސž;r4”U«Š|Ь¯}prˆŠ©E€ƒnpr4B|Y†{³Yˆ«Ã€ƒ†ƒ|Y”Ez‚ސ€{ޝˆ;”

qa|€ƒ†{ސ~Ѽ

/¶” EZrF‘€{ޝˆY”–·O´,r1ޝ”U«Yr>z‹€ƒŽžU|€{r€{npr\|Š}€ƒˆ‘ˆ;†{†{rF¬¯|€ƒŽˆY”±©ª}p”Á‘€{ޝˆY”&ˆŠ©Ãz{r4«Yr4†“|Ьޝ”E’r4SrF”E’r4”U€Cm(­,…

‘4ˆY”p”pr>‘€{ޝˆY”Áz°´yސ€{n&npr>|>«ZÈ€“|ŠŽ¯¬r>’¨†{ˆ;}p”E’Z²L€{†ƒŽ¯Ä’r4¬¸|>zF¼ § r\|Y†{ž;}prb€{nE|Š€„nErF|>«ZÈ€“|ŠŽ¯¬r>’¨†{ˆ;}p”E’Ç€{†ƒŽ¯

’rF¬¯|gz†ƒrFz{}p¬€yޝ”1npr>|>«Za€“|ŠŽ¯¬r>’b€{†“|ÉC‘ |Š}€ƒˆ‘ˆ;†{†ƒr4¬¸|g€ƒŽˆ;”W¼

C,€C€ƒnprBr4”E’ˆŠ© rF|;‘ƒn z‚r>‘€ƒŽˆ;”&´,rBp†ƒrFz{r4”;€b|±‘4ˆYq„E|ІƒŽ¸z‚ˆY”ÄšSr4€¶´r4r4” |Š”E|Y¬U€ƒŽ¯‘\|Š”E’z{ޝq}p¬¯|Š€{r>’

†ƒrFz{}p¬€ƒzF¼

( 71 Å"$ 1yO/ 6„Ç

“6)

y

)+*", -/.103246587 49:5;

/¶”±m(­,…·WÁ|Y‘“³Yr€ƒz|Іƒr°€ƒ†ƒ|Y”Ez‚q„ސ€‚€ƒrF’iސ”±z{rF¹U}pr4”Á‘ra|Y”E’Æq}Ez‚€šSrC|;‘ƒ³Z”pˆ´y¬r>’žYr>’BšZB€ƒnprar4”E’²L}Ez{r4†>¼

C0E|;‘ƒ³;r€„ޏza‘ˆ;”Ez‚ޏ’r4†ƒrF’Ç€{ˆÈšSr¬ˆUz‹€a´ynpr4”Ä€ƒnpr\|Y‘“³Z”pˆ´y¬r>’žYrFq3rF”;€a’ˆZrFz„”pˆŠ€C|Іƒ†ƒŽ«Yr´yސ€{npޝ”Ä€ƒnpr

r>z‹€ƒŽqa|€ƒrF’†ƒˆY}E”E’C€ƒ†ƒŽ’pr4¬¸|>;¼ CµE|Y‘“³Yr€y¬¯ˆ;zƒzޝz‘ˆ;”Ez‚ޏ’rF†{r>’|Yzy|„‘ˆ;”pžYr>z‹€ƒŽˆ;”brF«Yr4”U€F¼

/¶”ƈ;†ƒ’rF†u€{ˆ\‘ˆYSr3´yސ€{nƀƒnpr„†{ˆ;}p”E’B€{†ƒŽ¯i’r4¬¸|gY·cz‚rF«Yr4†“|Ь6E|;‘ƒ³Yr4€ƒz |Іƒr€ƒ†ƒ|Y”Ez{q3ސ€‚€ƒrF’ÆŽ”È|Y’«Š|Š”E‘4r

´yސ€{npˆ;}€´|ŠŽ€{ޝ”pž±©ªˆY†|Y‘“³Z”pˆ´y¬r>’žYrFq3rF”;€>¼-mnprÆz‚r4€bˆŠ© }p”Á|Y‘“³U”Eˆg´y¬¯rF’ž;rF’&E|Y‘“³Yr€“zaޏzb‘F|Ь¯¬r>’Ä€ƒnpr

´yޝ”E’ˆ´-|Š”E’ސ€ƒzz{ސ¿Fr «|Y†{ޝrFzޝ”1ˆ;†ƒ’rF†€{ˆanE|Š”E’p¬r‘ˆY”EžYrFz‚€{ޝˆY”c¼

6ߎ8´ynprF””pˆÄE|;‘ƒ³Yr4€Ž¸z¬¯ˆ;z‚€1ސ”-|Ç´yޝ”E’ˆ´ 6@z‚}Á‘4‘r>z{z‚©ª}p¬ ´yސ”E’pˆg´ 8·€{nErƔpr4~Z€1´yޝ”E’ˆ´ z{ސ¿FrƎ¯z

ޝ”E‘†ƒr4q„r4”U€{r>’šZBs }E”pŽº€ =

W W + 1¼

6ªŽ¯Ž8´ynprF” |ďE|Y‘“³Yr€¬ˆUz{zˆ‘F‘}p†“z 6ª©ß|ŠŽ¯¬r>’´yސ”E’pˆg´ 8·uE|Y‘“³Yr€†{r4€{†“|Š”Ez{q„ޝzƒz‚ޝˆY”z‹€“|І{€ƒzb©ª†{ˆ;q€{npޏz

E|;‘ƒ³Yr4€F·šE}€´yސ€{n\|3´yޝ”E’ˆ´ z{ޝ¿4r nE|Y¬«Yr>’ =

W ← bW/2c¼

/¶”1€ƒnpr’r4€ƒ|Yސ¬¯rF’\m(­,… z{SrF‘ސ»Á‘F|€{ޝˆY”c·€ƒnpr4†ƒr ޏz(|Ь¸z‚ˆ„€{nEr’rFzƒ‘†ƒŽ¯€{ޝˆY”ˆY©Jz{r4¬©ë²d‘¬¯ˆ‘“³Zސ”pžC|Š”E’\z‚¬¯ˆ´

z‚€ƒ|Y†‚€>¼Jmnpr ¬¸|€{€{rF†©ªrF|Š€{}p†ƒr qa|гYrFzym(­,…q„ˆY†ƒrƃrF|;‘€{ޝ«Yrί””pr€‹´,ˆY†ƒ³b‘ˆ;”E’ސ€{ޝˆY”‘“nE|Š”pž;rFzF¼

< Ë =Í ¥Ï ¥>8?A@CB mnprz‚rF†{«YrF†z‚Z”E‘“np†ƒˆY”pޝ¿4r>z €{nprb€{†“|Š”Ez{q„ޝzƒz‚ޝˆY”ÈˆŠ©Žº€“z”pr4´ E|Y‘“³Yr€“z´yŽº€ƒn±€{npr|;‘²

³Z”pˆ´y¬r>’žYrFq„r4”;€ †{r4€{}p†ƒ”EzF·R¬¯rF|Y’pސ”pž€{ˆ|2'D> FE ˆY©OE|;‘ƒ³Yr4€u€ƒ†ƒ|Y”Ez‚q„ޏz{z{ޝˆY”EzF¼ …|;‘ƒ³;r€ƒz ‘F|Š” šSr

|;‘ƒ³Z”pˆ´y¬r>’žYr>’Cޝ”1šÁ|€ƒ‘“nW¼

< ÏÎ ¡4¢>¤£g¢ /¶”3€{npr':& ' 6pnE|;z‚r€{npry´yޝ”E’ˆ´&z‚ޝ¿4ry’ˆ;}pšp¬¯rFzJ|Š€JrF|;‘ƒn°©ª}p¬¯¬Ez{}E‘4‘4rFzƒz‹©ª}p¬p´yސ”E’pˆg´ ·

}p”U€{ޝ¬Wސ€†{r>|Y‘“nprFzy|3p†{r>’r»E”ErF’b€ƒnp†{r>z‚nEˆY¬¸’Ѽ

(8)

)+*) -

5!2'9 2 25

JEˆY† €{nprCzƒ|гYr3ˆY©|Š”E|Y¬U€{ޏ‘3’pr4†ƒŽ«Š|€{ޝˆY”Áz4·W´,raz{ސq„p¬¯Ž©ë €{nprCm(­,…µq„ˆ’r4¬L¼ § rC’r4”pˆY€{r

B €{npr„»E”EŽº€ƒr

‘F|ŠE|Y‘4Žº€‹CˆŠ©€ƒnpr †ƒˆY}€ƒr4†>·|Š”Á’

T €{npr šE}ÀSrF†(z‚rF†{«Zޏ‘ru€ƒŽq„r‘ˆ;†{†ƒrFz{SˆY”E’ޝ”pž€ƒˆ„rF|;‘ƒn‘4ˆY”p”pr>‘€{ޝˆY”c¼

Ë ¥ Ï @Ñ¢?@ Ï Ï Ð Ë Î ?ߢ  ¤¢>¥ ¢4£¤ @6¡ ?ß¡>¡? Ï @

§ r‘4|Y¬¬

R(t)€{npr‘4}p†{†ƒr4”U€(|>«Š|ŠŽ¯¬¯|Yšp¬¯rƃˆZˆ;q*ޝ”1€ƒnpršp}ÀRr4†Ã|€y€ƒŽq„r

t¼ § r|;z{z{}pq„r €{nE|Š€€{npršE}ÀSrF†

‘4ˆY”;€“|ŠŽ¯”Ez‘ˆ;”;€{ޝ”U}EˆY}Ez’E|€ƒ| 6ª¾E}pޏ’Ç|ŠpE†{ˆg~ސqa|€ƒŽ¯ˆY”D8· ¯·

R(t) ޝz°|\Sˆ;z{ސ€{ޝ«Yra†ƒrF|Y¬‡”Z}pqšSr4†>¼Bmnpr

šp}ÀRr4†(z{r4†ƒ«Zޝ‘4rƓ|€{r ޏz

µ >0¼

mnpr3‘}p†ƒ†{rF”;€u´yޝ”E’ˆ´ z‚ޝ¿4r3|€ z‚rF†{«YrF†

i ޝzÒr4”EˆŠ€{r>’

Wi(t)·R´ynpޏ‘ƒn ޏzÃ|Ь¸z‚ˆ|C†{r>|Ь”U}EqšSr4†>¼ § r

‘4ˆY”Ez{ޝ’rF†€ƒnpr ©ªˆY¬¯¬ˆ´yޝ”pž„z{ޝq3E¬Ž»ErF’1q„ˆ’r ˆY©6ˆYSrF†ƒ|Š€{ޝˆY” =

?

mnprz{r4†ƒ«Yr4†€{†“|Š”Ez{q„Žº€“zy|Ь¯¬ÑE|;‘ƒ³Yr4€ƒzޝ”€ƒnpr ´yސ”Á’ˆg´-|Š€€{nErz{|Yq3rÀƒŽq„r

?

mnprušE|Y‘“³ZšSˆY”pr(nE|Yz,|Y”aޝ”»E”EŽº€ƒrÃz‚SrFrF’C|Y”E’C‘4|YE|Y‘ސ€‹Y·Z|Š”E’C|Y¬¬ÁE|;‘ƒ³;r€ƒzOޝ”a€ƒnpru´yސ”Á’ˆg´ |Іƒ†ƒŽ«Yr

ޝ”1šÁ|€ƒ‘“n1ޝ”1€{npr šp}ÀRr4†

?

mnpr,r4”E’Z²d}Ez{r4†6z‚rF”E’pzcˆY”ErO|;‘ƒ³Z”pˆ´y¬¯rF’žYrFq„r4”;€W€ƒˆ€{nprz‚rF†{«YrF†Ñ©ªˆ;†6|Ь¯¬;E|Y‘“³Yr€“zW†ƒrF‘4r4ޝ«YrF’ ‘ˆ;†{†ƒrF‘€{¬¯

ޝ”€ƒnpr šE|€“‘ƒn

?

mnprF†{r ޏz”Eˆaz‚¬¯ˆ´ z‹€“|І{€ypnE|Yz{rY¼

­,ˆY”Ez{rF¹U}pr4”U€{¬¯Y·p|Š©ë€{rF†y´yޝ”E’ˆ´ €ƒ†ƒ|Y”Ez{q3ޏzƒz‚ޝˆY”ˆŠ©z{r4†ƒ«Yr4†

i=

6ߎ8 /d©O€{npr„‘}p†ƒ†ƒr4”;€Ã´yޝ”E’ˆ´ z{ޝ¿4r

Wi(t)R(t)·S€ƒnpr4” R(t)šSr>‘ˆYq„r>z

R(t)Wi(t) |Y”E’ Wi(t)

šSr>‘ˆYq„rFz

Wi(t) + 1

6ªŽ¯Ž8rF¬¯z{rY·pŽº©

Wi(t)> R(t)·€{nprF” R(t)šÁr>‘ˆ;q3r>zyœp·p|Y”E’

Wi(t)šSr>‘ˆ;q3r>z

Wi(t)/2¼

ËBË "!OÏ @ Ë @R¢?ߤ,£ Ï @ТF£ ?! Ð Ë Ì

§ rqa|гYr|„©ª}p†‚€ƒnpr4†u|Ypp†ƒˆ>~ޝqa|€{ޝˆY”1šZ1|;z{z{}pq„ސ”Ež„€{nE|Š€€{nEr†ƒˆY}p”E’1€{†ƒŽB’rF¬¯|gz|Y†{r †“|Š”E’ˆ;q5|Y”E’

ŽL¼ŽL¼’Ñ·g©ªˆY¬¯¬ˆ´yސ”Ež(|Š”r~SˆY”Er4”;€ƒŽ¯|Y¬U’ޝz‚€{†ƒŽ¯šp}€{ޝˆY”ˆY©pq3r>|Š”

N/λ¼(EZޝ”E‘rO€{nEr,z{r4†ƒ«Yr4†“zR€{†“|Š”Áz‚q„ސ€6|y´yޝ”E’ˆ´

|Š©ë€{r4†(rF|Y‘“n†{ˆ;}p”E’€{†ƒŽB’r4¬¸|>;·€ƒnpr´yޝ”E’ˆ´ šÁ|€ƒ‘“nprFz(|Іƒ†{ޝ«YrÀ{ˆ„€ƒnpršp}ÀRr4†u|;‘4‘ˆ;†ƒ’ޝ”pž3€{ˆC|„…ˆYޏzƒz‚ˆ;”

p†ƒˆ‘r>z{zˆY©‡†ƒ|Š€{r

λ >0¼Ã™(}pr€ƒˆC€ƒnpr°q3rFq„ˆY†ƒU¬¯rFzƒzp†ƒˆYSr4†{€‹ˆŠ©J€ƒnpr°…6ˆ;ޝzƒz{ˆY”\p†ƒˆ‘4rFzƒz4·E€{npr3z{z‹€ƒr4q z‚€ƒ|Š€{r |Š€€{ޝq„r

t ‘4|Y”1šÁr ©ª}p¬¯¬1‘“nE|І“|Y‘€ƒr4†ƒŽ¿FrF’CšZbŽº€“zy†{rFE|І{€{ސ€{ޝˆY”b©ª}p”Á‘€{ޝˆY”

W(y, t)=

W(y, t) =6ª”U}EqšSr4†ˆY©z‚rF†{«YrF†ƒz|€€ƒŽ¯q3r

t´yސ€{n´yޝ”E’ˆ´-z‚ޝ¿4r

y8 × 1 N

´yސ€{n

W(0, t) = 1¼

mnprBr~SˆY”prF”;€ƒŽ¯|Y¬†{ˆ;}p”E’Ä€ƒ†{ޝq„ˆ’pr4¬(ޝzb‘4ˆY”U«YrF”pޝr4”;€C©ªˆY†|±¹U}pޏ‘ƒ³&|Y”E|Ь¯z‚ޏz„šp}€Ž€bޝzCnpޝžYnE¬

}p”p†ƒrF|Y¬Ž¸z‚€{ޏ‘мJmnEr p†ƒˆYE|Yž;|€ƒŽˆ;”’r4¬¸|gb‘ˆ;”;€“|ŠŽ¯”Ez€{npr šp}pÀSrF†(’r4¬¸|>br~Sr4†ƒŽ¯r4”E‘r>’bšZC€{npr ¬¸|Yz‚€yE|;‘ƒ³Yr4€

ˆY©6€{npr´yޝ”E’ˆ´ ·# cr4~p|Y‘€ƒ¬

B−R(t) µ

·E´ynEޝ‘“nޏz”pˆŠ€(r~SrF‘€{r>’€{ˆC«|Y†{bq}E‘ƒnW¼9/¶”©ß|Y‘€F·Eސ€(´yޝ¬¬cšSr

p†ƒˆ«Yr4”b€{nÁ|€y€{npr šE}ÀSrF†(’r4¬¸|gCޝz‘¬¯ˆ;z{ru€ƒˆ

B µ

¼

(9)

Ÿ£ Ë ¤?@¡4¢?ߥ Ï Ð Ë Î ?ߢ

Ð Ð Ë Ì ! 6¡°£¤ @6Ð Ï ! £ Ï ¥ Ë ¡F¡?@ BÆ¢? Ë

/¶”1€{npޏzyq„ˆ’r4¬W´,r|Yzƒz‚}pq„rÀ{nE|Š€y€{npr p†ƒˆYE|Yž;|€ƒŽˆY”1’r4¬¸|>bnE|Yz€‹´,ˆC‘ˆYq„SˆY”Er4”;€“z=

sY¼C-»p~rF’1šp}ÀRr4†(’rF¬¯|g

N T =Bµ

›¼Cµ†“|Š”E’ˆ;q*r~SˆY”prF”;€{ޏ|Y¬W’r4¬¸|>bˆŠ©6q„rF|Y”

N λ

·E|Yzƒz{}pq„rF’b€{ˆ„šSr q}E‘“nz{qa|Ь¯¬¯r4†€ƒnE|Š”

N T¼

JpˆY†c€ƒnpr,‘4ˆY”Z«Yr4”pޝr4”E‘4r‡ˆY©Z€ƒnpr,p†ƒrFz{r4”;€“|€ƒŽˆ;”W·>´,r,‘F|Ь¯¬Y€{nEr,z{qa|Ь¯¬;r~SˆY”prF”;€ƒŽ¯|Y¬;’pr4¬¸|>u€ƒnpr U>S'S'E

4·Ušp}€,ސ€‘4|Y”ašSrJ‰‹}Ez‚€|‘4ˆYq„SˆY”prF”;€OˆY©R€{nEr(p†{ˆ;E|ŠžU|€{ޝˆY”„’rF¬¯|g;·Š©ªˆ;†Or~p|Šq„p¬¯r(z{ˆYq„ršp}ÀRr4†O€{ޝq„r

ޝ”€ƒnpr npޝžYnz{Sr4rF’1E|І{€yˆŠ©€ƒnpr ”pr€‹´,ˆ;†{³R¼

/¶” €ƒnpޏzq„ˆ’rF¬@·g€{nErz‚rF†{«YrF†ƒzc|Y†{rOr4ސ€ƒnpr4†€{†“|Š”Áz‚q„ސ€‚€{ޝ”pžÁ·gޝ”»p~rF’p†ƒˆYE|Yž;|€{ޝˆY”’r4¬¸|gÃˆ;†Ž”†“|Š”Á’ˆYq

p†ƒˆ‘r>z{z{ޝ”pž3’rF¬¯|gY¼ § r ³YrFr4€ƒnpr †{rFE|І{€{ސ€{ޝˆY”b©ª}p”E‘€{ޝˆY”

W(y, t)šE}€´yސ€{n\|„’ސÀSrF†{rF”;€q„rF|Y”pސ”EžQ=

W(y, t) = 6ª”U}EqšSr4†ˆŠ©z{r4†ƒ«Yr4†“zސ”p†ƒˆ‘r>z{z{ސ”Ež3|€y€{ޝq3r

t ´yŽº€ƒn1´yޝ”E’ˆ´-z{ސ¿Fr

y8 × 1 N

/¶”\€ƒnpޏzÑ4|;z‚r

W(0, t)<1¼ /¶”E’pr4rF’Ñ·W¹;}Á|Š”;€ƒŽº€‹

W(0, t)ޏzurF¹U}E|Ь€{ˆb€{npr°E†{ˆ;Áˆ;†‚€ƒŽ¯ˆY”ˆY©Oz{r4†ƒ«Yr4†“z

ޝ”1E†{ˆ‘4rFzƒz‚ޝ”pž3|Š€€ƒŽq„r

t¼‡mnpr|>«YrF†ƒ|YžYru«|Ь¯}pr ˆŠ©

W(0, t)´yސ€{n†{r>z‚Sr>‘€€{ˆ

t ޝzyrF¹U}E|Y¬R€{ˆ

1 λT+1

¼

mnpޝz3q„ˆ’rF¬Ž¸z3q}E‘ƒnÄq„ˆ;†{r†{r>|Ь¯Ž¯z‚€{ޏ‘a€ƒnE|Š”¨€{nEr1p†{rF«Zސˆ;}Ezˆ;”pr1|Š”Á’¨‘4|Y”¨šSrb€ƒ†{r>|€{r>’¨|Yz°´,rF¬¬L¼

Œ(ˆg´,rF«Yr4†>·S´,r°´yޝ¬¬6»E†“z‹€ÃnE|Y”E’¬¯r€{nEr°}p”p†ƒrF|Y¬Ž¸z‚€{ޏ‘q„ˆ’rF¬@·R´ynEޝ‘“n ´yޝ¬¬žYޝ«Yr€ƒnpr°©ªˆY}p”E’p|Š€{ޝˆY”EzuˆY©OˆY}p†

©ª†“|Šq„r4´ˆY†ƒ³S¼

. 2„)) ¨71°6„)5 #"$

y

/¶”È€{npޏzz‚r>‘€ƒŽˆ;”W·´,raE†{r>z‚rF”;€ˆ;}p†|Y”E|Ь¯z‚ޏz ˆŠ©€ƒnprb‘ˆ;”;€ƒŽ”Z}pˆY}Ezm(­,…µq„ˆ’pr4¬‡Ž¯”È€{npra€‹´,ˆB‘F|Yz{rFz ˆY©

r4~ZSˆ;”pr4”U€{ޏ|Ь†ƒˆY}E”E’Ç€{†ƒŽ’rF¬¯|gÇ‘F|Yz{r|Š”E’Ç»E~Zr>’&’r4¬¸|>Çp¬¯}Ez„r~Sˆ;”pr4”U€{ޏ|ЬE†{ˆ‘4rFzƒz‚ޝ”pž €{ޝq„rY¼ § r

p†ƒrFz{r4”U€€ƒnprq„rF|Š”\»Er4¬¸’B|ŠpE†{ˆU|Y‘“n€ƒnE|€O‰‹}Ez‚€{ސ»Er>z€ƒnpr°|Yz{Zq3p€{ˆŠ€ƒŽ¸‘’r4†ƒŽ«Š|€ƒŽˆ;”Ez4¼

§

r€{nEr4” ’ޏzƒ‘}Ezƒz

€ƒnprz‚z‚€{rFq zšSr4nE|g«ZޝˆY†Ž¯”€ƒnpr‘4|Yz{r ˆŠ©6¬¸|ІƒžYrÆ{ˆ;}p”E’b€{†ƒŽ\’r4¬¸|>;¼

+*", 2 92 '5 5 7 9 '9:2

§ rC’r4”pˆY€{r

R(x, t) = P(R(t) > x) |Š”E’ w(y, t) =∂y W(y, t)·" ‡€{nEra’pr4”Ez{Žº€‹B©ª}p”E‘€{ޝˆY”ȈY©

´yޝ”E’ˆ´ z‚ޝ¿4r>z4¼;/¶”bˆY€{nprF†,´,ˆY†“’pzF·

w(y, t) = N1 PN

i=1δ(yWi(t))·Z´ynprF†{r

δŽ¯zO€{nErÙ(ޝ†ƒ|;‘y©ª}p”E‘€{ޝˆY”W¼ /¶” €ƒnpr3q„ˆ’rF¬´yŽº€ƒnƏp†ƒˆ‘r>z{z{ސ”Eža€ƒŽq„r;·W¹U}E|Y”;€ƒŽº€‹

w(y, t) ޏzÃrF¹U}E|Ь6€{ˆ€{nEr3´yޝ”E’ˆ´$z{ސ¿Fr3’rF”Ez‚ސ€‹\ˆY©

z{r4†ƒ«Yr4†“z€ƒnE|€Ã|Іƒr ޝ”Bp†{ˆp‘rFzƒz{ސ”pžCz‹€“|€ƒr|€€ƒŽ¯q3r

t¼ § r°z‚nÁ|Ь¯¬cސq„q„rF’pޝ|Š€{r4¬¯1ˆY}p€{¬¯Ž”pr€‹´,ˆCޝq„SˆY†{€ƒ|Š”U€

Sˆ;ސ”U€ƒz>=

sY¼ymnpr¹U}E|Š”U€{ސ€¶

R(x, t) |;’p’†ƒrFzƒz‚r>z|3E†{ˆ;šE|Ššpޝ¬¯Žº€‹b’ޏz‹€ƒ†{ޝšp}€ƒŽˆ;”W¼

›¼ymnprC¹U}E|Š”U€{ސ€¶

W(y, t) |Y’p’†ƒrFzƒz{rFz |z‹€“|€ƒr3©ª}p”E‘€{ޝˆY”ÈˆŠ©€{nprCz{z‹€ƒr4q |Š”E’ ίz : |

p†ƒˆYšÁ|Ššpޝ¬Ž€‹b’ޝz‚€{†ƒŽ¯šp}€{ޝˆY”c¼

mnpr4†ƒr©ªˆY†ƒrY·S¹U}E|Y”;€ƒŽº€ƒŽr>z

R(x, t) |Š”Á’ W(y, t) |Іƒr”pˆŠ€ z‚}pÉa‘4ސrF”;€u€ƒˆ’rFzƒ‘†ƒŽšSr€ƒnpr°p†{ˆ;šE|Ššpޝ¬¯Ž¯z‚€{ޏ‘

šSr4nÁ|>«ZޝˆY†6ˆŠ©E€{npryz‚z‚€{r4q¼6mnpry‘ˆYq„p¬¯r€ƒrp†{ˆ;šE|Ššpޝ¬¯Ž¯z‚€{ޏ‘,’rFzƒ‘†ƒŽ¯€{ޝˆY”ˆY©p€ƒnprz{z‹€ƒr4q z{npˆY}E¬¯’šSržYޝ«Yr4”

šZa©ª}E”E‘€ƒŽˆ;”

ρ(x, f, t) =P(R(t)> x, W(y, t) =f(y))·p´ynpr4†ƒr

f ޏz|3Sˆ;z{Žº€ƒŽ«Yréª}p”E‘€{ޝˆY”W¼

(10)

+*) 95 ; 9 2; 9 '7 9 92

C€»E†ƒz‚€>·Z´,r ‘4ˆY”Ez{ޝ’pr4†,€{nEr |Y}~ސ¬¯Ž¸|Іƒ„z{z‹€ƒr4q ´ynprF†{ru€{nEr ’ޏz‚€{†ƒŽšp}p€{ޝˆY”ˆŠ©

W ޝz»p~rF’|Š”Á’b’pˆZrFz”pˆŠ€

‘“nE|Š”pž;r ´yސ€{n

R(t)¼,mnpޏzyޏzy”pˆY€y€{npr†ƒrF|Y¬Wz{Zz‚€{rFq5z{ސ”Á‘r

R(t) |Š”E’ W(t)|Y†{r |;‘€ƒ}E|Ь¯¬’rFSr4”E’rF”;€>¼ mnprF†{r4©ªˆY†ƒrY·Eޝ”\€{npޏzu|Y}~ސ¬¯Ž¯|Y†{1z‚z‚€{rFq1·S´,r°’r4”pˆY€{r

R(t)˜ |Š”Á’ w˜ €ƒnpr°|g«|Yސ¬¸|Ššp¬¯r †ƒˆZˆYq5ޝ”€ƒnpršp}pÀSrF†

|Y”E’&€ƒnprB»E~Zr>’ ´yސ”E’pˆg´ z‚ޝ¿4rƒr4”Ez{ސ€¶;·†{r>z‚Sr>‘€{ޝ«YrF¬;¼ § rƑ4|Y¬¬(€{nEޝzq„ˆ’r4¬(€ƒnpr J6ސ~rF’ § ޝ”E’ˆ´

™uޝz‚€{†ƒŽ¯šp}€{ޝˆY” 6J § ™8q„ˆ’rF¬@¼

±¤

25$ #5 S : :GQ::@

R(x, t) =˜ P( ˜R(t)> x) '

R(x, t)˜

dt =µR(x, t)˜

∂x λR(x, t) +˜ λ Z

0

R(x˜ +y, t) ˜w(y, t)dy, 6‚s 8

£ ÏWÏ =ƒ¦ /¶”±|ŠšEz{r4”E‘4r„ˆŠ©´yޝ”E’ˆ´$€{†“|Š”Ez{q„ޝzƒz{ސˆ;”Ez4·c¹U}E|Y”;€ƒŽº€‹

R(t) ސ”E‘4†{r>|Yz{rFz |€†ƒ|Š€{r

µ¼ § ސ”E’pˆg´

šE|Š€ƒ‘“nprFz|Іƒr(†ƒrF‘rFސ«Yr>’C|€†ƒ|Š€{r

λ¼ § nprF”1|´yސ”Á’ˆg´ ˆY©z‚ޝ¿4r

y 6ª´ynEޝ‘“nˆ‘4‘4}p†“z,|Y‘F‘ˆY†“’ޝ”pž €ƒˆ3’rF”Ez‚ސ€‹

©ª}p”E‘€{ޝˆY”

˜

w(y)8ޝzy†ƒrF‘rFސ«Yr>’bšSr€‹´,rFr4”

t |Š”E’ t+dt·€¶´ˆa‘4|;z‚r>z|ІƒrÏSˆUz{z{ސšE¬r = sY¼ R(t)˜ > y·€{nprF” R(t˜ +dt) = ˜R(t)y¼

›¼ R(t)˜ y·€{nprF” R(t˜ +dt) = 0.

ˆŠ€ƒŽ¯‘4r€{nÁ|€F·Zސ”C€{nprÃ|ŠšSˆ«YrY·;´r(ސq„p¬¯Ž¸‘ސ€{¬¯a|Yzƒz‚}Eq3r€{nE|Š€

R(t)˜ ޏzO”pˆŠ€šSˆY}p”E’prF’Ñ· Á€ƒnpr(šE}ÀSrF†

ޏz”prF«Yr4†yrFq3p€¶;¼‡m†ƒ|Y”Ez‚¬¸|€ƒŽ”Ež©ªˆ;†{qa|Ь¯¬¯aޝ”;€ƒˆaz‚€{ˆp‘ƒnE|;z‹€ƒŽ¯‘ÃrF¹U}E|€ƒŽ¯ˆY”Ez¬r>|Y’pz€ƒˆ 6‹s38¼

§ r|Yzƒz{}pq„rÔpˆ´€{nE|Š€y€{nE|Š€

E[esW˜]<©ªˆ;†z‚ˆ;q„r

s >0¼

Ï £ Ï @¤£

Ì 1HQ$ H 'N3'S'N5:

E[ ˜W] > µ/λ% !5N' $# ' ' D

R(t)˜ ' 5: Q "& 5::

˜

a > 0 limt→∞P( ˜R(t) > x) = exp(˜ax)

:U

˜

a ':' ' HQS : Q::S&"I: B !N:"I5

λ(1 [ea˜W˜]) =µ˜a 6@› 8

: HQ : E S U 0'S $#' 0' S3'

maxω{µωλ( [eωW˜]1)}

£ ÏWÏ =ƒ¦ ­,ˆ;”Ez‚ޏ’rF†y|Š”1ޝ”pސ€{ޏ|Ьc’ޏz‚€{†ƒŽšp}p€{ޝˆY”z{}E‘“n€{nÁ|€

[esR(0)˜ ]< A ©ªˆY†z{ˆYq„r

A >0¼

§ r’r4”pˆY€{ršU

R(ω) €{nEr Fc|Yp¬¸|Y‘rC€ƒ†ƒ|Y”Ez‹©ªˆ;†{q

[e−ωR(t)˜ ]¼ JE†{ˆ;q 6‹s 8·‡´,ržYr4€°šZ F|Šp¬¸|Y‘4r

€ƒ†ƒ|Y”Ez‹©ªˆ;†{q=

∂tR(ω, t) =µωR(ω, t) +λR(ω, t)( [eωW˜]1). 6) 8

mnpr4†ƒr©ªˆY†ƒru€ƒnprz‹€“|€{ޝˆ;”E|ІƒC’ޝz‚€{†ƒŽ¯šp}€{ޝˆY”ޝzy…6ˆ;ޝzƒz‚ˆ;”ˆY©6†ƒ|Š€{r

˜

a >0 z{}E‘ƒn1€{nE|Š€

λ(1 [ea˜W˜]) =µ˜a 6ª— 8

(11)

+* 79 ; 9 2; 587 F95

mnpr ³Yr4†ƒ”pr4¬ÑˆY©6ˆY}p†y†ƒrFz{}p¬€ƒzޏzޝ”€ƒnpr ©ªˆY¬¯¬¯ˆg´yޝ”pž°€ƒnpr4ˆ;†{rFq¼

ËZÏ £ Ë HQ ' #3' & Q D # I&C5

N → ∞ ' 3'S'LHQ

limN→∞W(y,0) = ˜W(y): λR W˜(y)dy > µ '9 ' limN→∞W(y, N t) =Ry

0 w(x, t)dx

'QHQ

∂tw(y, t) = λea(t)(y1)w(y1, t) + 2λ(1e2a(t)y)w(2y, t)λw(y), 6@– 8

w(y,0) = W˜0(y) 6M 8

&CQU

a(t) ' HQ0 D E :H ' :@

λ(

Z

(1e−a(t)y))w(y, t)dy=µa(t). 6L˜:8

$ HQ U

R(t) ' 5 D:G Q U a(t/N)

<8> Ë ¢>¥

Ï = ! £ ÏWÏ =ƒ¦ mnpr p†ƒˆZˆY©ˆŠ©€ƒnpr4ˆY†ƒr4q s p†{ˆp‘r4r>’pzޝ”€ƒnp†ƒr4r z‚€{rFEz=

6ߎ8

∂W(y, t)/∂t=O(λ/N)¼

6ªŽ¯Ž8

R(t)ޏzr4~ZSˆ;”pr4”U€{ޏ|Š¬ÑˆY©6†ƒ|Š€{r

a(t/N)¼

6ªŽ¯Ž¯Ž8

∂W(y, t)/∂y€ƒr4”E’pz€ƒˆ„šSr rF¹U}E|ЬR€ƒˆ

1 N

P

iwi(y, t)¼

…6ˆYޝ”;€ 6ªŽ8ޏz°žYޝ«Yr4”ÇšZi€{npr©ß|Y‘€°€ƒnE|€>·‡’p}p†{ޝ”pžÆ|Y”Ui€{ޝq„rޝ”;€{rF†{«Š|Ь,ˆY©¬¯r4”pžY€{n

∆t·‡|Š”Ä|>«YrF†ƒ|YžYr

ˆY© λ∆t z‚r4†ƒ«Yr4†“z€ƒ†ƒ|Y”Ez‚q„ސ€F·‡¬¯rF|;’ޝ”pž €{ˆÈ| q„ˆ’pŽº»Á‘F|€ƒŽˆ;”LjY©(ˆ;†ƒ’rF†

O(λ∆t/N) ˆY©€{nEr1†{rFE|І{€{ސ€{ޝˆ;”

©ª}p”E‘€{ޝˆY”

W(y, t)¼

…6ˆYޝ”;€ 6ªŽ¯Ž8J‘ˆYq„r>z©ª†ƒˆYq €{npr©ß|;‘€J€{nÁ|€F·;´ynpr4”

N ސ”Á‘†ƒrF|Yz{rFzF·

R(t)´yޝ¬¬E‘4ˆY”U«YrF†{ž;rO€ƒˆÃ€{nEryr~SˆY”prF”²

€ƒŽ¯|Y¬Jz‹€ƒrF|;’Bz‹€“|€ƒr°ˆY©OÁ|І“|Šq„r€ƒr4†

a(t/N) 6ß|Yzί” €ƒnprJ § ™ q3ˆp’r4¬8u¹U}pޏ‘ƒ³YrF†u€{nÁ|Š”

W(y, t) ´,ˆY}E¬¯’

z{ސž;”pސ»Á‘4|Y”;€{¬¯‘ƒnE|Y”pžYr;¼GJEˆY†r~p|Šq„p¬¯rY·Š´ynpr4”

a(t/N)ޏz6ž;ސ«YrF”šUN6L˜ 8|Š€6€{ޝq„r

t·€ƒnpr,©ª}E”E‘€ƒŽˆ;”

R(x, t)

nE|;z€{ޝq„r €{ˆC‘ˆY”Z«Yr4†ƒžYru€{ˆ

exp(a(t/N)x)ސ”1€{nEr ސ”U€{r4†ƒ«|Y¬

[t, t+ ∆t

N]·Á’}p†ƒŽ”pž„´ynpޏ‘“n

W(y, t)

†ƒr4qa|ŠŽ¯”Ez}p”E‘“nE|Š”pž;rF’1|€

±O(λ∆t/

N)·©ªˆY† ∆t»p~rF’Ѽ

…6ˆYޝ”;€N6ªŽ¯ŽŽ8 ‘ˆYq„r>zu©ª†{ˆ;q Sˆ;ސ”U€ 6ªŽ¯Ž8·c”E|Šq„r4¬¯\€{nE|Š€|€|Š”U\€{ޝq„r

R(t) ޏzÃr4~SˆY”prF”;€{ޏ|ЬJˆŠ©,E|Y†ƒ|в q„r€ƒr4†

a(t/N)·Ñ´ynprF” N €{rF”E’pzu€{ˆ1ސ”»Á”pŽº€‹Y¼0JEˆY†u€{nEr3zƒ|Šq„r°†{r>|Yz{ˆY”EzF·S¹U}E|Y”;€{ސ€ƒŽr>z

R(t)€{r4”E’B€ƒˆšSr

ޝ”E’r4SrF”E’rF”;€°šSr€‹´,r4rF”±rF|;‘ƒni€ƒ†ƒ|Y”Ez‚q„ޏz{z{ޝˆY”Æ€{ޝq„rCˆY©y|ž;ސ«YrF”±z‚rF†{«YrF†F¼mnprF†{r4©ªˆY†ƒrY·c©ªˆY†|Y”ÈŽ¸z‚ˆ;¬¯|Š€{r>’

z{r4†ƒ«Yr4†>·Y€{nErÏp†{ˆ;šE|ŠšEސ¬¯Žº€‹a’rF”Ez‚ސ€‹

wi(y, t)ˆY©c´yސ”Á’ˆg´z{ޝ¿4rÒޏz‹€ƒ†{ޝšp}€ƒŽ¯ˆY”b«|Y†{ޝrFz|Y‘4‘4ˆY†“’ސ”Ež €{ˆ6@– 8·Zސ©

|Š€»E†“z‹€yˆ;†ƒ’pr4†´,r ސž;”pˆY†ƒrꀓzyސq„E|;‘€ˆY”¹U}E|Š”U€{ސ€¶

a(t)¼

mnpr°q„rF|Y”²@»Ár4¬¸’\q„r4€{npˆ’ˆ;¬¯ˆYžY 6@z‚rFrEZrF‘€{ޝˆY” —Á¼s©ªˆY†u€{nEr3’pޝzƒ‘†ƒr€ƒr°z{r€{€{ޝ”pž 8‡‰‹}Ez‚€{ސ»ErFzu€ƒnpޝzu»E†“z‚€

ˆ;†ƒ’rF†6|ŠEp†{ˆg~ސqa|Š€{ޝˆY”´ynpr4”

N → ∞|Š”E’¬r>|Y’pz€{ˆD=

W(y, t) = 1N1 P

i

Ry

0 wi(x, t)dx+O(1 N)¼

(12)

Ï £ Ï @¤£ Ì Q

N → ∞ 5'S $# ': HQ & :& 'S ' I'H5 S

w(y) &C ':' ' HQ Q::

w(y) =e−a(y−1)w(y1) + 2(1e−2ay)w(2y), 6 8

:

Z

w(y)dy= 1 6 8

&CQU

a ' HQ0 : DE H30'

R(1eay)w(y)dy

a =µ

λ

6‹sFœ 8

/¶”b€ƒnpr †ƒrF|Ь¯Ž¸z‹€ƒŽ¯‘uq3ˆp’r4¬L·Z€{npr †ƒˆY}E”E’C€{†ƒŽ’r4¬¸|gaˆŠ©6rF|Y‘“n1z‚rF†{«YrF†Ž¸z|3‘4ˆY”Ez‚€ƒ|Y”;€y’rF¬¯|g

N T p¬¯}Ezy|

p†ƒˆ‘r>z{z{ޝ”pž€ƒŽq„r r~Sˆ;”pr4”U€{ޏ|Ь¯¬b’pޝz‚€{†ƒŽšE}€{r>’´yސ€{nE|Y†ƒ|Yq„r€{rF†

λ/N 6뀃npr4†ƒr©ªˆ;†{r |Š”|g«YrF†ƒ|YžYru†{ˆ;}p”E’

€ƒ†{ޝ„’rF¬¯|grF¹U}E|Ь€{ˆ

N T+N/λ8¼mnpޏzJސ”U€{†ƒˆ’}E‘4rFzJ|u€‹´yޏz‹€‡Ž¯”3€{npr’pŽºÀRr4†ƒr4”U€{ޏ|ЬprF¹U}E|Š€{ޝˆY”6@– 86´ynpޝ‘“n qa|гYr>zސ€(|3†ƒr€“|І“’rF’brF¹U}E|Š€{ޝˆY” =

∂tw(y, t) = λea(tT)(y1)w(y1, tT)

+2λ(1e2a(tT)y)w(2y, tT)λw(y, t), 6‹sYs38

+* 7 5 7 2 '7 9 5

?@6Ð ÏZÎ ¡? Ë ¡F¢F¤¢?Ï @¤p£ Ì Ð ?ß¡F¢4£ ?ß  ¢?Ï @

K

}p†O|Yސq®Ž¸zJ€{ˆr~p¬¯ˆYސ€J€ƒnpr†ƒrFz{}p¬º€“zJˆYšp€ƒ|ŠŽ¯”pr>’3ސ”„€ƒnprp†ƒr4«Zސˆ;}Ez‡z‚r>‘€{ޝˆY”„ޝ”„€{npru‘4|Yz{ry´ynpr4”„€{nEr†{ˆ;}p”E’

€ƒ†{ޝ\’rF¬¯|gbޏzy¬¸|ІƒžYr6¯·S´ynprF”

T ˆY† 1/λŽ¸z¬¯|Y†{ž;r 8¼"/¶”1€ƒnpޝz(‘F|Yz{rY·E¹U}E|Y”;€{ސ€‹

a€ƒnE|€u‘“nE|І“|Y‘€{r4†ƒŽ¯¿4rFz

€ƒnpr …6ˆ;ޝzƒz‚ˆ;”E|Y†ƒ|Yq3r4€{rF†ˆŠ©

R(t) 6뀃npr šp}ÀRr4†y©ª†ƒr4rz‚E|;‘r 8,ޏzz‚qa|Ь¯¬L¼

§ r|Y†{r ޝ”;€{rF†{r>z‹€ƒrF’1ސ”1€ƒnprz‚€ƒ|€ƒŽ¯ˆY”E|Y†{a}E”E‘ˆY”Á’Žº€ƒŽˆ;”E|Ьc’ޏz‹€ƒ†{ޝšp}€ƒŽˆ;”1ˆY©€ƒnpr ´yޝ”E’ˆ´-z‚ޝ¿4r>z4¼ /d€(ޝz

ޝ”;€ƒr4†ƒrFz‚€{ޝ”pž3€{ˆa‘4ˆY”Ez{ޏ’r4†€{npr‘F|Yz{rôynpr4†ƒr

a0¼

ËZÏ £ Ë Q

a0 5 & & ' ' w(y) ' ' '

lima→0w(y/ a)/

a=g(y) 6‚s>› 8

&CQU

g(y) = r2

π Y

k0

(14k21)1X

n0

anexp(4ny2/2) , 6‚s>) 8

&

an

' '# FE HQ D # :0 D#

P

n≥nanxn=Q

k≥0(14−kx)

!

a= (1 +O( a))λ

µg(2) 6‚s4— 8

&

g(2) =q

2 π

Q

k0 1−4−k−1

1−4k21 1.309833

Références

Documents relatifs

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France) Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334