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Integrators for highly oscillatory Hamiltonian systems:
an homogenization approach
Claude Le Bris, Frédéric Legoll
To cite this version:
Claude Le Bris, Frédéric Legoll. Integrators for highly oscillatory Hamiltonian systems: an
homog-enization approach. Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, American Institute of
Mathematical Sciences, 2010, 13 (2), pp.347-373. �inria-00165293v2�
a p p o r t
d e r e c h e r c h e
Thème NUM
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE
Integrators for highly oscillatory Hamiltonian
systems: an homogenization approach
Claude Le Bris — Frédéric Legoll
N° 6252
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2
, P
1
, P
2
) + εS
1
(t, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
)
+
&6L&)595A)51)5(0 62ε
k
\k ≥ 2,
V&)5)1&) W?01 16()τ
60τ =
tΩ
ε
,
?2A V&)5)1&) W32B16920(S
k
)
k≥0
?5)03@@90)A 19 Z)2π
@)569A6B62τ
Y;295A)519 (916^?1)1&60=20?1\H)130B9206A)51&)B?0)V&)2
V
0
A9)0291A)@)2A92
q
2
Y
?01 ?2A 0H9V ^?56?ZH)0 ?5)1&)2 A)B93@H)A ?2A 1&) 09H31692 19
D [ J 5)?A0
S
ε
= S
slow
(t, q
1
, P
1
) + ε ˜
S(τ, r
2
, P
2
),
V&)5)τ
60 A)2)A Z/ \S
slow
(t, q
1
, P
1
)
09H^)0 1&) X?(6H192[G?B9Z6 )73?1692∂
t
S
slow
= H
1
(q
1
+ ∂
P
1
S
slow
, P
1
),
S
slow
(0, q
1
, P
1
) = 0
I ?009B6?1)A 19 1&) X?(6H1926?2H
1
=
p
T
1
p
1
2
+ V
0
(q
1
)
\?2A˜
S(t, r
2
, P
2
) =
1
Ω
P
T
2
P
2
+ r
2
T
r
2
2
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2
T
r
2
1
cos τ
− 1
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2π
@)569A6B62τ
Y .9\62 1&6006(@H) B?0)\1&) )]?B1 09H31692 19 D [ J 60 B920601)21 V61& 935 =20?1 Y;21&)B?0)32A)5B9206A)5?16929W?B9201?21W?01W5)73)2B/\V)V6HH@5)0)211&5))^?56?210
9W935 015?1)L/Y = 2?135?H6A)?B920601062 ?@@H/62L 935?@@59?B&A65)B1H/927Y
D \1&?160 62 1&)956L62?H B995A62?1)0
(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
)
Y U)W9HH9V 1&60 6A)? 62 .)B1692 EY Y ;2 ^6)V 9W 1&)0B&)()09Z1?62)A 1&)5)\ 61601)(@162L 19 62159A3B) ? (9A6)A 0B&)()\016HH 62 1&)^?56?ZH)0
(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
)
\V&6B&602910/(@H)B16B Z)B?30)291A)56^)AW59( ? L)2)5?162LW32B1692 \Z31 &?@@)20 19 Z) ^)5/ )_B6)21 0)) .)B1692 EY EY = 1&65A 6A)? 60 19 501 @)5W95( ? B&?2L) 9W
^?56?ZH)0\ 09 ?0 19 ?2?H/16B?HH/ 621)L5?1) 1&) W?01 (91692\ ?2A 19 92H/ ?@@H/ 935 ?@@59?B&
62 ? 0)B92A 01?L)
0)) .)B1692 EYK
Y ;2 1&) 1&5)) B?0)0\ V) 9Z1?62 )_B6)21 ?HL9561&(0Y
%&) @5)0)21 0)B1692 60 A)A6B?1)A 19 1&) A)06L2 9W ?HH 1&)0) ?HL9561&(0Y U) 5)@951 92 1&)65
23()56B?H @)5W95(?2B)0 62 .)B1692 KY U) 29V 620)51 935 =20?1 62 D [ J ?2A )]@?2A 62 @9V)50 9W
ε
Y 59( 1&) 62616?H B92A61692 J \V) 9Z1?62∀k ≥ 0, S
k
(t = 0, τ = 0, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
) = 0.
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−2
?2Aε
−1
5)0@)B16^)H/5)?A∂S
0
∂P
2
= 0
?2A∂S
0
∂τ
= 0.
E %&) )73?1692 9W 95A)5ε
0
5)?A0∂
t
S
0
+ Ω∂
τ
S
1
=
P
T
1
P
1
2
+
P
T
2
P
2
2
+ V
0
(q
1
+ ∂
P
1
S
0
, 0) +
1
2
(r
2
+ Ω∂
P
2
S
1
)
2
,
KV&)5)?01&))73?1692 9W95A)5
ε
5)?A0∂
t
S
1
+Ω∂
τ
S
2
= Ω(r
2
+Ω∂
P
2
S
1
)
T
∂
P
2
S
2
+ (∇
1
V
0
)
T
∂
P
1
S
1
+
1
Ω
(∇
2
V
0
)
T
(r
2
+ Ω∂
P
2
S
1
) ,
V&)5)?HH A)56^?16^)09WV
0
?5) )^?H3?1)A ?1(q
1
+ ∂
P
1
S
0
, 0)
Y 35?6( 6029V 19 30) K?2A1&)@)569A6B61/9W
S
1
62
τ
6295A)519 L)1?BH90)A )73?169292
S
0
Y U61&931 ? W351&)5 ?@@59]6(?1692\61 60&9V)^)56(@9006ZH) ?11&6001?L)\W95 ? 5)?092
1&?1 60 (?A) BH)?5 62 >)(?5 Y 9HH9V62L )2L E \ V) 1&30 @)5W95( ?2 )]@?20692 V61& 5)0@)B1 19 1&) ^?56?ZH)
t
\W95t > 0
0(?HHY ,95) @5)B60)H/\ V) W351&)5 )]@?2A K ?2A 62 @9V)509Wt
\ ?2A 9Z1?62 ?2 )73?1692 W95 )?B& @9V)5 9Wε
?2At
Y %&) )73?1692 9W95A)5ε
0
t
0
5)?A0∂
t
S
0
(t = 0) + Ω∂
τ
S
1
(t = 0) =
P
T
1
P
1
2
+
P
T
2
P
2
2
+ V
0
(q
1
, 0) +
1
2
(r
2
+ Ω∂
P
2
S
1
(t = 0))
2
.
F)1 30 62159A3B)
A(τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
)
= ΩS
1
(t = 0, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
)
− τ
P
T
1
P
1
2
+ V
0
(q
1
, 0) − ∂
t
S
0
(t = 0, q
1
, r
2
, P
1
)
.
D %&) W32B1692S
0
A9)0 291 A)@)2A 92τ
?2AP
2
0)) E Y .9\ 1&) W32B1692A
0?160)0A(τ = 0, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
) = 0
?2A∂
τ
A =
P
T
2
P
2
2
+
1
2
r
2
+
∂A
∂P
2
2
.
J 95 ?2/ L6^)2q
1
?2AP
1
\V)5)B9L26)1&) X?(6H192[G?B9Z6 )73?1692 62 ^?56?ZH)0(τ, r
2
, P
2
)
?009B6?1)A 19 1&) &?5(926B 90B6HH?195 9W )2)5L/
(r
T
2
r
2
+ p
T
2
p
2
)/2
Y %&) ?2?H/16B?H )]@5)00692 9W03B& ? L)2)5?162L W32B1692 60 29V2\ ?2A 5)?A0A =
P
T
2
P
2
+ r
T
2
r
2
2
tan τ + P
2
T
r
2
1
cos τ
− 1
.
73?1692 0&9V01&?1A
602π
@)569A6B62τ
Y ;20)5162L 1&60 62 D \?2A 5)B?HH62L 1&?1S
1
60 ?H092π
@)569A6B 62τ
\ V) 9Z1?62∂
t
S
0
(t = 0) =
P
T
1
P
1
2
+ V
0
(q
1
, 0),
S
1
(t = 0) =
1
Ω
P
T
2
P
2
+ r
T
2
r
2
2
tan τ +
P
T
2
r
2
Ω
1
cos τ
− 1
,
EI V&)5)∂
t
S
0
?2AS
1
?5)Z91& )^?H3?1)A ?1(t = 0, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
)
Y *91)1&?1\62 ^6)V 9W ?2A E \V) &?^)1&?1S
0
(t = 0) = 0
Y%&)5) 60 29 (?:95 A6_B3H1/ 62 1&) 0)73)H 9W1&) 6A)216B?1692 @59B)A35)Y U) 1&30 5)W)5
1&) 5)?A)5 19 =@@)2A6] F W951&) A)1?6H0Y %&))73?169209Z1?62)A ?5)1&)W9HH9V62L
∂
2
S
0
∂t
2
(t = 0) = P
T
1
∇
1
V
0
(q
1
, 0),
E∂
3
S
0
∂t
3
(t = 0) = (∇
1
V
0
(q
1
, 0))
T
∇
1
V
0
(q
1
, 0) + P
1
T
∇
11
V
0
(q
1
, 0)P
1
,
EE∂
t
S
1
(t = 0) = ∂
tt
S
1
(t = 0) = 0,
EKS
2
(t = 0) =
1
Ω
2
(∇
2
V
0
(q
1
, 0))
T
P
2
cos τ
− P
2
+ (tan τ )r
2
,
E∂
t
S
2
(t = 0) =
−1
2Ω
2
(∇
2
V
0
(q
1
, 0))
T
∇
2
V
0
(q
1
, 0) −
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Ω
2
P
T
1
∇
12
V
0
(q
1
, 0)P
2
+
1
4Ω
2
cos
2
τ
P
T
2
∇
22
V
0
P
2
+ r
2
T
∇
22
V
0
r
2
+ 2 sin τ r
T
2
∇
22
V
0
P
2
.
EF
=HH 1&)W32B16920
S
k
?2A 1&)65 A)56^?16^)0?5))^?H3?1)A ?1
(t = 0, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
)
\ V&6H)V
0
?2A610A)56^?16^)0?5))^?H3?1)A?1(q
1
, 0)
Y %&))73?1692 EE60A)56^)A 62=@@)2A6]FYKY ;2
? 06(6H?5 V?/\V) 9Z1?62 1&) )]@5)00692 W95
∂
4
S
0
∂t
4
(t = 0)
\V&6B& 92H/ A)@)2A0 92
q
1
?2AP
1
Y a RQS
0
S
1
A(t, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
) =
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1
(t, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
)
− τ
P
T
1
P
1
2
+ V
0
(q
1
+ ∂
P
1
S
0
, 0) − S
0
(t, q
1
, r
2
, P
1
)
,
t
q
1
P
1
(τ, r
2
, P
2
)
(r
T
2
r
2
+ p
T
2
p
2
)/2
A
τ = 0
t = 0
t 6= 0
t
<9206A)562L E [ EF \V)A)B6A) 19 ?@@59]6(?1)S
ε
(h)
Z/f
S
ε
(h) := S
0
+ h∂
t
S
0
+
h
2
2
∂
tt
S
0
+ εS
1
+ ε
2
S
2
+ ε
2
h∂
t
S
2
,
ED V&)5) ?HH 1&) W32B16920S
k
?2A 1&)65 A)56^?16^)0 ?5) )^?H3?1)A ?1
(t = 0, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
)
Y U) 29V (916^?1) 1&) B&96B) ED?2A 1&) 1532B?16920 1&?1 V) A)B6A)19 (?)62 1&) 0)56)0
62 @9V)50 9W
ε
?2Ah
Y 6501\ 23()56B?H 1)010 V) @)5W95()A 0&9V 1&?1 V) 2))A 19 1?) 6219?BB9321 1&) &6L&[95A)5 1)5(
∂
t
S
2
62 1&) ?@@59]6(?1692Y %&60 V6HH Z) W351&)5 )]@H?62)A 62
>)(?5D Z)H9VY )130&)5)013A/1&) )5595Z)1V))2
S
ε
(h)
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S
ε
(h, q
1
, r
2
, P
2
, P
1
)
= S
0
(h, q
1
, r
2
, P
1
) + εS
1
(h, τ, q
1
, r
2
, P
2
, P
1
)
+ε
2
S
2
(h, τ, q
1
, r
2
, P
2
, P
1
) + ε
3
e
3
(ε, h, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
),
S
0
(h, q
1
, r
2
, P
1
)
= S
0
+ h∂
t
S
0
+
h
2
2
∂
tt
S
0
+
h
3
6
∂
3
S
0
∂t
3
+
h
4
24
∂
4
S
0
∂t
4
+h
5
e
0
(h, q
1
, r
2
, P
1
),
S
1
(h, τ, q
1
, r
2
, P
2
, P
1
)
= S
1
+ h∂
t
S
1
+
h
2
2
∂
tt
S
1
+ h
3
e
1
(h, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
),
S
2
(h, τ, q
1
, r
2
, P
2
, P
1
)
= S
2
+ h∂
t
S
2
+ h
2
e
2
(h, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
),
V61&τ = Ωh/ε
\ W95 09() )5595 W32B16920e
0
\e
1
\e
2
?2Ae
3
V&6B& ?5) 0(991& W32B16920 9W
1&)65 ?5L3()210Y X)2B)\V) 9Z1?62
V61&
E
ε
(h, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
) =
h
3
6
∂
3
S
0
∂t
3
(q
1
, P
1
) +
h
4
24
∂
4
S
0
∂t
4
(q
1
, P
1
) + h
5
e
0
(h, q
1
, r
2
, P
1
)
+
εh
3
e
1
(h, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
) + ε
2
h
2
e
2
(h, τ, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
)
+
ε
3
e
3
(ε, h, q
1
, r
2
, P
1
, P
2
).
%&)5) 60 29 5)(?62A)5 9W 95A)5
εh
?2Aεh
2
62 ^6)V 9W EK \ ?2A 5)B?HH 1&?1∂
3
S
0
∂t
3
?2A∂
4
S
0
∂t
4
A9 291 A)@)2A 92r
2
?2AP
2
Y ;2 ^6)V 9W F \V) &?^)Q
2
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2
+
∂S
ε
(h)
∂P
2
= q
2
+
∂f
S
ε
(h)
∂P
2
+
∂R
ε
∂P
2
.
U) 0))1&?1∂f
S
ε
(h)
∂P
2
60 ? 03( 9W1&5))1)5(09W5)0@)B16^)95A)5ε
\ε
2
?2Aε
2
h
\V&)5)?0∂R
ε
∂P
2
60 ? 03( 9W W935 1)5(09W5)0@)B16^) 95A)5h
5
\εh
3
\ε
2
h
2
?2Aε
3
Y U) 29V V9562 1&)5)L6()ε h
√
ε.
EJ*916B)1&?1 91&)5B&96B)09W5)L6() ?5)@9006ZH)Y %&)2\1&)W935 1)5(09W
∂R
ε
∂P
2
?5)2)LH6L6ZH)
B9(@?5)A 19 ?2/ 9W 1&) 1&5)) 1)5(0 9W
∂f
S
ε
(h)
∂P
2
Y %&) 0?() &9HA0 153) W95 1&) )73?1692 1&?1
A)2)0
P
2
Y 95 1&) 0H9V @9061692\V) &?^)Q
1
= q
1
+
∂f
S
ε
(h)
∂P
1
+
∂R
ε
∂P
1
.
%&)73?2161/∂R
ε
∂P
1
62BH3A)0 ?1)5( 9W95A)5h
3
\V&6B&60291 2)LH6L6ZH)B9(@?5)A19 1&)1)5(9W95A)5
ε
2
h
V&6B& ?@@)?5062∂f
S
ε
(h)
∂P
1
Y X9V)^)5\062B)V)))@?HH1&)1)5(0 1&?1 B9()W59(f
S
ε
(h)
W951&) W?01 ^?56?ZH)0\V)?H09 2))A 19 ))@ ?HH 9W1&)( W95 1&)0H9V ^?56?ZH)0\62 95A)5
W95 1&) 0B&)()19 Z) 0/(@H)B16BY %9 B92BH3A)92 1&60 @9621\V)&?^) 1&30 B&)B)A 1&?1 1&)
B&96B) ED 60 B920601)21 V61& 1&)5)L6() EJ Y U&)2 620)51)A 62 F \1&) ?@@59]6(?1692 ED @59^6A)0 ? 0/(@H)B16B0B&)()Y ;2 ^6)V 9W F \
p = P
h
+
∂f
S
ε
(h)
∂q
(q, P
h
),
Q
h
= q +
∂f
S
ε
(h)
∂P
(q, P
h
)
E A)2)0?0/(@H)B16B(?@e
Ψ
h
: (q, p) 7→ (Q
h
, P
h
)
Y %&)B955)0@92A62L0B&)()5)?A0
(q
n+1
, p
n+1
) =
e
Ψ
h
(q
n
, p
n
)
Y %&) 0B&)() 60 32W95132?1)H/ 6HH[A)2)A W9509() ^?H3)0 9W
E \1&) )73?1692 W95
P
2
1&) W?01 B9(@92)21 9WP
h
5)?A0p
2
= P
2
+
∂f
S
ε
(h)
∂q
2
= P
2
+
Ω
ε
∂f
S
ε
(h)
∂r
2
,
E V&6B& /6)HA0Id
f
+
εh tan τ
2Ω
∇
22
V
0
(q
1
, 0)
P
2
=
(cos τ )p
2
− (sin τ)r
2
−
ε
Ω
sin τ ∇
2
V
0
(q
1
, 0) −
εh
2Ω cos τ
∇
22
V
0
(q
1
, 0)r
2
,
V61&τ = Ωh/ε
?2Ar
2
= Ωq
2
/ε
\ ?2A V&)5)Id
f
60 1&) 6A)2161/ (?156] 9W 06)f × f
Y ;WId
f
+
εh tan τ
2Ω
∇
22
V
0
(q
1
, 0) = 0
\ 1&)2P
2
60 291 A)2)AY *91) 1&?1 1&60 A6_B3H1/ (?/ ?560)
)^)2 6W
V
0
A9)0291A)@)2A 92
q
1
62 1&?1 B?0)\1&)0H9V ?2AW?01 ^?56?ZH)0 ?5)291 B93@H)A
Y
;2 95A)519 B65B3(^)211&60 A6_B3H1/\V)?5)L962L19 0H6L&1H/(9A6W/ 1&))]@?20692
ED Y 95 1&60 @35@90)\ H)1 30 (9()21?56H/ ))@ ED \ 620)51 61 62 F \ 9Z1?62 E V&6B& (95) )]@H6B61H/ 5)?A0
p
2
= P
2
+
∂
∂r
2
[ΩS
1
(t = 0) + εΩS
2
(t = 0) + εhΩ∂
t
S
2
(t = 0)] .
+062L EI \ E ?2A EF \V) 2)]1 9Z1?62ΩS
1
(t = 0) +
εΩS
2
(t = 0) + εhΩ∂
t
S
2
(t = 0)
=
P
T
2
P
2
+ r
T
2
r
2
2
tan τ + P
2
T
r
2
1
cos τ
− 1
+
ε
Ω
(∇
2
V
0
(q
1
, 0))
T
P
2
cos τ
− P
2
+ (tan τ )r
2
−
2Ω
εh
(∇
2
V
0
(q
1
, 0))
2
−
εh
Ω
P
T
1
∇
12
V
0
(q
1
, 0)P
2
+
εh
4Ω cos
2
τ
P
T
2
∇
22
V
0
P
2
+ r
T
2
∇
22
V
0
r
2
+ 2 sin τ r
2
T
∇
22
V
0
P
2
.
%&) 56L&1[&?2A 06A) (?/ 29V Z) 5)?55?2L)AY %&) 1)5( 73?A5?16B 62
P
2
5)?A01
2
P
T
2
M P
2
\ V&)5)M = tan(τ Id
f
) +
εh
2Ω cos
2
τ
∇
22
V
0
=
tan
τ Id
f
+
εh
2Ω
∇
22
V
0
+ O(ε
2
h
2
)
=
tan
h
Ω
ε
Id
f
+
εh
2Ω
∇
22
V
0
+ O(ε
2
h
2
).
;1 601&30 2?135?H19 62159A3B)1&) (?156]
Ω
ε
(q
1
) =
Ω
ε
Id
f
+
ε
2Ω
∇
22
V
0
(q
1
, 0),
KI 1&) 2)V ^?56?ZH)0q
2
= q
2
+
ε
2
Ω
2
∇
2
V
0
(q
1
, 0), P
1
= P
1
−
ε
2
Ω
2
∇
12
V
0
(q
1
, 0)P
2
,
K ?2A 5)@H?B) ED Z/S
ε
symp1
(h) :=
h
V
0
(q
1
, 0) −
ε
2
2Ω
2
(∇
2
V
0
(q
1
, 0))
T
∇
2
V
0
(q
1
, 0) +
1
2
P
T
1
P
1
+
h
2
2
(∇
1
V
0
(q
1
, 0))
T
P
1
+
1
2
P
T
2
Ω
−1
ε
(q
1
) tan(hΩ
ε
(q
1
)) P
2
+
1
2
q
T
2
Ω
ε
(q
1
) tan(hΩ
ε
(q
1
)) q
2
+P
2
T
(cos
−1
(hΩ
ε
(q
1
)) − Id
f
) q
2
.
KE %&) A6)5)2B) Z)1V))2 KE ?2A ED 60 9W 95A)5O(ε
3
) + O(ε
2
h
2
)
\ 09 1&) 95A)5 9W 1&)?@@59]6(?1692 &?0 291 Z))2 (9A6)AY %&) (916^?1692 W95 62159A3B62L
q
2
60 1&?1 1&) H?01 1&5)) 1)5(0 9W KE 29V B955)0@92A 19 1&) L)2)5?162L W32B1692 9W ?2 &?5(926B 90B6HH?195 9W @3H0?1692Ω
ε
(q
1
)
\ 62 1&) ^?56?ZH)0(q
2
, P
2
)
Y U &)2V
0
A9)0 291 A)@)2A 92q
1
A)B93@H)A B?0)\V)9Z1?62 ? 0B&)() 92 1&) W?01 ^?56?ZH)0V&6B& 60 ?HV?/0 V)HH A)2)A\62 B9215?01 19
ED
Y %&60 @59@)51/ 035^6^)0 62 1&) B93@H)A 0613?1692Y ;2A))A\ 620)5162L
KE 62 F /6)HA0
?2 32B92A61692?HH/ V)HH[A)2)A 0/(@H)B16B 0B&)()
0)) =HL9561&( EY
Y U) A)291) 61 Z/
Ψ
symp1
h
(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
)
Y U)291)1&?11&60 0B&)()60)]@H6B61\3@ 19 1&) 62^)506929W1&)(?156]
Ω
ε
(q
1
)
V&6B& 60 ? @)5135Z?1692 9W 1&) 62^)516ZH) (?156]
Ω
ε
Id
f
\ ?2A 1&) 62^)50692 9W 1&)
(?156] 62 1&) H)W1[&?2A 06A) 9W
KD Y %&60 H?11)5 (?156] 60 ?HV?/0 ? @)5135Z?1692 9W 1&) 6A)2161/\?2A 1&30 62^)516ZH)W95
h
?2Aε
03_B6)21H/ 0(?HHY a RQcos(hΩ
ε
(q
1
)) = 0
H
HO
(q, p) =
1
2
(p
2
+ q
2
)
S
HO
(t, q, P ) =
P
2
2
+
q
2
2
tan t + P q
1
cos t
− 1
.
cos t = 0
t = 0
t ∈
i
−
π
2
,
π
2
h
q
p
t /
∈
π
2
+ πZ
Q(t; q, p)
P (t; q, p)
p = P (t; q, p) +
∂S
HO
∂q
(t, q, P (t; q, p)),
Q(t; q, p) = q +
∂S
HO
∂P
(t, q, P (t; q, p)).
KK
t 7→ (Q(t; q, p), P (t; q, p))
B921623930Ψ(t)
V&9H)R
Ψ(t)
H
HO
(q, p)
V&9H)R
i
−
π
2
,
π
2
h
S
HO
t
(Q(t), P (t))
B921623930 9Z0)5^)h ε
M eQP b aSPS Sa a
Ψ
symp1
h
(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
)
(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
) = (q
1
n
, q
n
2
, p
n
1
, p
n
2
)
q
2
= q
2
+
ε
2
Ω
2
∇
2
V
0
(q
1
, 0)
Ω
ε
(q
1
) =
Ω
ε
Id
f
+
ε
2Ω
∇
22
V
0
(q
1
, 0)
e
Q
2
=
cos(hΩ
ε
(q
1
)) q
2
+ Ω
ε
−1
(q
1
) sin(hΩ
ε
(q
1
)) p
2
,
KP
2
=
−Ω
ε
(q
1
) sin(hΩ
ε
(q
1
)) q
2
+ cos(hΩ
ε
(q
1
)) p
2
.
KFP
1
∈ R
s
Id
s
+
h
2
2
∇
11
V
0
−
ε
2
h
Ω
2
P
T
2
∇
112
V
0
P
1
= p
1
−
ε
2
Ω
2
∇
12
V
0
p
2
−h
∇
1
V
0
−
ε
2
Ω
2
∇
12
V
0
∇
2
V
0
+
h
2
ε
2
2Ω
2
P
T
2
∇
112
V
0
∇
1
V
0
− κ,
KDκ
∀1 ≤ j ≤ s,
κ
j
=
ε
2Ω
Z
h
0
x
2
(t)
T
∂∇
22
V
0
∂q
1j
Ω
ε
(q
1
) x
2
(t) dt,
KJx
2
(t) = cos(tΩ
ε
(q
1
)) q
2
+ Ω
−1
ε
(q
1
) sin(tΩ
ε
(q
1
)) p
2
V
0
(q
1
, 0)
P
1
= P
1
+
ε
2
Ω
2
∇
12
V
0
(q
1
, 0)P
2
Q
1
= q
1
+ hP
1
+
h
2
2
∇
1
V
0
(q
1
, 0).
Q
2
= e
Q
2
−
ε
2
Ω
2
∇
2
V
0
(q
1
, 0) −
ε
2
Ω
2
∇
12
V
0
(q
1
, 0)
hP
1
+
h
2
2
∇
1
V
0
(q
1
, 0)
.
q
1
n+1
, q
2
n+1
, p
n+1
1
, p
2
n+1
= (Q
1
, Q
2
, P
1
, P
2
).
a RQV
0
p
T
p
2
+ V (q)
a RQ
V
0
q
2
(q
2
, p
2
)
Ψ
symp1
h
%&) 0B&)()Ψ
symp1
h
(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
)
5)7365)01&) B9(@31?1692 9W 1&) (?156B)0sin(hΩ
ε
(q
1
))
?2Acos(hΩ
ε
(q
1
))
Y U&)2 1&) A6()20692
f
?009B6?1)A19 1&)W?01 A)L5))09WW5))A9( 600(?HH\03B& ? B9(@31?1692 60 )?0/Y 2 1&) 91&)5 &?2A\ 6W 1&) A6()20692
f
60 &6L&\ 1&)2 03B& ?B9(@31?1692 B?2 Z) )]@)206^)Y 951&) 5)01 9W.)B1692 EY
\V) ?003()1&?1
f
6062A))A H?5L)?2A 0&9V ? @9006ZH)(?22)519 ?@@59]6(?1)1&)0)(?156B)0\09 1&?11&)65)]?B1B9(@31?1692
60 291 2)B)00?5/Y .3@@90) 1&?1 V)&?^)1V9 ?@@59]6(?16920
s
a
ε
?2As
b
ε
9Wsin(hΩ
ε
(q
1
))
\?2A?2 ?@@59]6(?[ 1692c
ε
9Wcos(hΩ
ε
(q
1
))
Y =003() 1&?1s
a
ε
\s
b
ε
?2Ac
ε
?5)0/(()156B(?156B)0\1&?1s
a
ε
\s
b
ε
\c
ε
?2AΩ
ε
(q
1
)
B9((31)\ ?2A 1&?1c
2
ε
+ s
a
ε
s
b
ε
= Id
f
Y >)@H?B62L KE Z/ 1&) W9HH9V62L ?@@59]6(?1692S
ε
symp2
(h) =
h
V
0
(q
1
, 0) −
ε
2
2Ω
2
(∇
2
V
0
(q
1
, 0))
T
∇
2
V
0
(q
1
, 0) +
1
2
P
T
1
P
1
+
h
2
2
(∇
1
V
0
(q
1
, 0))
T
P
1
+
1
2
P
T
2
Ω
−1
ε
(q
1
)s
a
ε
c
−1
ε
P
2
+
1
2
q
¯
T
2
Ω
ε
(q
1
)s
b
ε
c
−1
ε
q
2
+ P
2
T
(c
−1
ε
− Id
f
) q
2
,
K 2)]1 620)5162L K 62 F \V)9Z1?62P
2
=
c
ε
p
2
− s
ε
b
Ω
ε
(q
1
)q
2
,
KQ
2
=
Q
e
2
−
ε
2
Ω
2
∇
2
V
0
(q
1
, 0) −
ε
2
Ω
2
∇
12
V
0
(q
1
, 0)
hP
1
+
h
2
2
∇
1
V
0
(q
1
, 0)
,
I V61&e
Q
2
= c
ε
q
2
+ s
a
ε
Ω
−1
ε
(q
1
)p
2
.
U) 5)B9L26) 62 W95(3H?) K ?2A ?2 ?@@59]6(?1692 9W1&) 09H31692\?116()h
\ 9W 1&) )73?1692dx
2
dt
= y
2
,
dy
2
dt
= −Ω
2
ε
(q
1
)x
2
,
(x
2
, y
2
) ∈ R
f
× R
f
,
(x
0
2
, y
0
2
) = (q
2
, p
2
).
E*91)1&?1V)&?^)30)A1&))]?B1 09H316929W1&600/01)( 62=HL9561&( EY
\0)) K ?2A KF Y %&60 03LL)0101&)W9HH9V62L 23()56B?H 015?1)L/ V)501621)L5?1)1&)?3]6H6?5/@59ZH)( E
Z/1&)^)H9B61/)5H)10B&)()V61&1&)16()
01)@
h
µ
= h/k
k ∈ N
∗
Y =1 1&)16() 01)@k
\1&) )]?B1 09H31692(x
2
(h = kh
µ
), y
2
(h =
kh
µ
))
60 1&30 ?@@59]6(?1)A Z/(x
k
2
, y
k
2
)
\ V61&x
k
2
y
k
2
=
u
k
v
k
−w
k
u
k
x
0
2
y
0
2
,
K V&)5)u
k
\v
k
?2Aw
k
?5)1&5))(?156B)09W 06)f × f
YU) 2)]1 0)1
s
a
ε
= Ω
ε
(q
1
) v
k
\s
b
ε
= Ω
−1
ε
(q
1
) w
k
?2Ac
ε
= u
k
291) 1&?1 1&)0) 1&5))
(?156B)0 0?160W/ 1&) ?Z9^) ?003(@16920
\ ?2A V) @59B))A V61& 1&) B?HB3H?1692 9W
P
?2AQ
3062L 1&)S
ε
symp2
9Z1?62)AY 9HH9V62L 1&)0) H62)0\ V)9Z1?62 W59( 1&) L)2)5?162L W32B1692S
ε
symp2
? 0/(@H)B16B 0B&)()\ B?HH)AΨ
symp2
h
62 1&) 0)73)H 0)) =HL9561&( EYE Y M eQP b aSPS Sa aΨ
symp2
h
(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
)
(q
1
, q
2
, p
1
, p
2
) = (q
1
n
, q
n
2
, p
n
1
, p
n
2
)
Ω
ε
(q
1
) =
Ω
ε
Id
f
+
ε
2Ω
∇
22
V
0
(q
1
, 0)
dx
2
dt
= y
2
,
dy
2
dt
= −Ω
2
ε
(q
1
)x
2
,
(x
0
2
, y
2
0
) = (q
2
, p
2
),
h
µ
= h/k
k ∈ N
∗
k
( e
Q
2
, P
2
) = (x
k
2
, p
k
2
)
P
1
κ
κ
j
=
ε
2Ω
h
µ
2
k−1
X
n=0
(x
n
2
)
T
∂∇
22
V
0
∂q
1j
Ω
ε
(q
1
) x
n
2
+ (x
n+1
2
)
T
∂∇
22
V
0
∂q
1j
Ω
ε
(q
1
) x
n+1
2
F1 ≤ j ≤ s
(x
n
2
)
0≤n≤k
V
0
(q
1
, 0)
q
1
n+1
, q
2
n+1
, p
n+1
1
, p
n+1
2
= (Q
1
, Q
2
, P
1
, P
2
).
;1 60 621)5)0162L 19 291) 1&?1 (?62L 30) 9W K 6201)?A 9W KE W95 6201?2B) Z)B?30) 1&) A6()20692f
60 199 H?5L) W95sin(hΩ
ε
(q
1
))
?2Acos(hΩ
ε
(q
1
))
19 Z) B9(@31)A )]@H6B61H/ ?(932101923()56B?HH/621)L5?162L0/01)( E ?09@@90)A19 )]?B1H/621)L5?162L61W95 KE \ 0)) K ?2A KFY %&)2 1&) A)261692
KJ
9W
κ
62 V&6B& 1&))]?B1 09H31692
x
2
(t)
9W E )21)50 6019 Z)5)@H?B)A Z/ F \V&6B& 5)7365)01&) 23()56B?H 09H31692 9W E Y ;2 ?AA61692\ V) B?2 0)) 1&?1 F 60 ?2 ?@@59]6(?1692 Z/ ? 15?@)96A?H 53H) 9W KJ Y %&) W?B1 1&?1 KJ60 ?@@59]6(?1)A Z/ ? 15?@)96A?H 53H) 60 B920601)21 V61& 1&)W?B1 1&?1
E 60 621)L5?1)A Z/ 1&) ^)H9B61/ )5H)1 ?HL9561&(Y a RQ