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Integrators for highly oscillatory Hamiltonian systems: an homogenization approach

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Integrators for highly oscillatory Hamiltonian systems:

an homogenization approach

Claude Le Bris, Frédéric Legoll

To cite this version:

Claude Le Bris, Frédéric Legoll. Integrators for highly oscillatory Hamiltonian systems: an

homog-enization approach. Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series B, American Institute of

Mathematical Sciences, 2010, 13 (2), pp.347-373. �inria-00165293v2�

(2)

a p p o r t

d e r e c h e r c h e

Thème NUM

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Integrators for highly oscillatory Hamiltonian

systems: an homogenization approach

Claude Le Bris — Frédéric Legoll

N° 6252

(3)
(4)

    

  

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(11)

     V61& ? B&?2L)9W ^?56?ZH)?2A 9W3229V2 W32B1692 62    Y U) 0)1

r

2

=

Ω(q

1

)

ε

q

2

?2A

S

ε

(t, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

) = S

ε



t, q

1

,

εr

2

Ω(q

1

)

, P

1

, P

2



.

;1 W9HH9V01&?1\62 1&602)V 0)19W ^?56?ZH)0\

S

ε

0?160)0

t

S

ε

=

P

T

1

P

1

2

+

P

T

2

P

2

2

+ V

0



q

1

+ ∂

P

1

S

ε

,

εr

2

Ω(q

1

)

+ ∂

P

2

S

ε



+

1

2



Ω(q

1

+ ∂

P

1

S

ε

)

ε



2



εr

2

Ω(q

1

)

+ ∂

P

2

S

ε



2

 D 

V61& 1&) 62616?H B92A61692

∀q

1

, ∀r

2

, ∀P

1

, ∀P

2

,

S

ε

(0, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

) = 0.

 J



%&6060 1&) W95( V)V6HH 30)62 1&) 0)73)HY

      

;2 1&60 0)B1692\V) B9206A)5 1&) B?0)V&)2

Ω(q

1

) ≡ Ω

A9)0 291 A)@)2A 92

q

1

Y U)(?) 1&) =20?1

S

ε

(t, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

) =

S

0

(t, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

) + εS

1

(t, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

)

+

&6L&)595A)51)5(0 62

ε

k

\

k ≥ 2,

 V&)5)1&) W?01 16()

τ

60

τ =

tΩ

ε

,

  ?2A V&)5)1&) W32B16920

(S

k

)

k≥0

?5)03@@90)A 19 Z)

@)569A6B62

τ

Y

;295A)519 (916^?1)1&60=20?1\H)130B9206A)51&)B?0)V&)2

V

0

A9)0291A)@)2A92

q

2

Y

?01 ?2A 0H9V ^?56?ZH)0 ?5)1&)2 A)B93@H)A ?2A 1&) 09H31692 19

 D  [  J  5)?A0

S

ε

= S

slow

(t, q

1

, P

1

) + ε ˜

S(τ, r

2

, P

2

),

V&)5)

τ

60 A)2)A Z/   \

S

slow

(t, q

1

, P

1

)

09H^)0 1&) X?(6H192[G?B9Z6 )73?1692

t

S

slow

= H

1

(q

1

+ ∂

P

1

S

slow

, P

1

),

S

slow

(0, q

1

, P

1

) = 0

 I  ?009B6?1)A 19 1&) X?(6H1926?2

H

1

=

p

T

1

p

1

2

+ V

0

(q

1

)

\?2A

˜

S(t, r

2

, P

2

) =

1



P

T

2

P

2

+ r

2

T

r

2

2



tan τ + P

2

T

r

2



1

cos τ

− 1



(12)

            60 62A))A

@)569A6B62

τ

Y .9\62 1&6006(@H) B?0)\1&) )]?B1 09H31692 19  D  [  J  60 B920601)21 V61& 935 =20?1  Y

;21&)B?0)32A)5B9206A)5?16929W?B9201?21W?01W5)73)2B/\V)V6HH@5)0)211&5))^?56?210

9W935 015?1)L/Y = 2?135?H6A)?B920601062 ?@@H/62L 935?@@59?B&A65)B1H/927Y

 D  \1&?160 62 1&)956L62?H B995A62?1)0

(q

1

, q

2

, p

1

, p

2

)

Y U)W9HH9V 1&60 6A)? 62 .)B1692 EY  Y ;2 ^6)V 9W 1&)

0B&)()09Z1?62)A 1&)5)\ 61601)(@162L 19 62159A3B) ? (9A6)A 0B&)()\016HH 62 1&)^?56?ZH)0

(q

1

, q

2

, p

1

, p

2

)

\V&6B&602910/(@H)B16B  Z)B?30)291A)56^)AW59( ? L)2)5?162LW32B1692  \Z31 &?@@)20 19 Z) ^)5/ )_B6)21  0)) .)B1692 EY E 

Y = 1&65A 6A)? 60 19 501 @)5W95( ? B&?2L) 9W

^?56?ZH)0\ 09 ?0 19 ?2?H/16B?HH/ 621)L5?1) 1&) W?01 (91692\ ?2A 19 92H/ ?@@H/ 935 ?@@59?B&

62 ? 0)B92A 01?L)



0)) .)B1692 EYK



Y ;2 1&) 1&5)) B?0)0\ V) 9Z1?62 )_B6)21 ?HL9561&(0Y

%&) @5)0)21 0)B1692 60 A)A6B?1)A 19 1&) A)06L2 9W ?HH 1&)0) ?HL9561&(0Y U) 5)@951 92 1&)65

23()56B?H @)5W95(?2B)0 62 .)B1692 KY       U) 29V 620)51 935 =20?1  62  D  [  J  ?2A )]@?2A 62 @9V)50 9W

ε

Y 59( 1&) 62616?H B92A61692  J  \V) 9Z1?62

∀k ≥ 0, S

k

(t = 0, τ = 0, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

) = 0.

 %&) )73?16920 9W 95A)5

ε

−2

?2A

ε

−1

5)0@)B16^)H/5)?A

∂S

0

∂P

2

= 0

?2A

∂S

0

∂τ

= 0.

 E  %&) )73?1692 9W 95A)5

ε

0

5)?A0

t

S

0

+ Ω∂

τ

S

1

=

P

T

1

P

1

2

+

P

T

2

P

2

2

+ V

0

(q

1

+ ∂

P

1

S

0

, 0) +

1

2

(r

2

+ Ω∂

P

2

S

1

)

2

,

 K 

V&)5)?01&))73?1692 9W95A)5

ε

5)?A0

t

S

1

+Ω∂

τ

S

2

= Ω(r

2

+Ω∂

P

2

S

1

)

T

P

2

S

2

+ (∇

1

V

0

)

T

P

1

S

1

+

1

(∇

2

V

0

)

T

(r

2

+ Ω∂

P

2

S

1

) ,

   V&)5)?HH A)56^?16^)09W

V

0

?5) )^?H3?1)A ?1

(q

1

+ ∂

P

1

S

0

, 0)

Y 35?6( 6029V 19 30)  K 

?2A1&)@)569A6B61/9W

S

1

62

τ

6295A)519 L)1?BH90)A )73?1692

92

S

0

Y U61&931 ? W351&)5 ?@@59]6(?1692\61 60&9V)^)56(@9006ZH) ?11&6001?L)\W95 ? 5)?092

1&?1 60 (?A) BH)?5 62 >)(?5  Y 9HH9V62L )2L   E  \ V) 1&30 @)5W95( ?2 )]@?20692 V61& 5)0@)B1 19 1&) ^?56?ZH)

t

\W95

t > 0

0(?HHY ,95) @5)B60)H/\ V) W351&)5 )]@?2A  K  ?2A    62 @9V)509W

t

\ ?2A 9Z1?62 ?2 )73?1692 W95 )?B& @9V)5 9W

ε

?2A

t

Y %&) )73?1692 9W95A)5

ε

0

t

0

5)?A0

t

S

0

(t = 0) + Ω∂

τ

S

1

(t = 0) =

P

T

1

P

1

2

+

P

T

2

P

2

2

+ V

0

(q

1

, 0) +

1

2

(r

2

+ Ω∂

P

2

S

1

(t = 0))

2

.

 F 

(13)

     )1 30 62159A3B)

A(τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

)

= ΩS

1

(t = 0, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

)

− τ



P

T

1

P

1

2

+ V

0

(q

1

, 0) − ∂

t

S

0

(t = 0, q

1

, r

2

, P

1

)



.

 D  %&) W32B1692

S

0

A9)0 291 A)@)2A 92

τ

?2A

P

2

 0))  E  Y .9\ 1&) W32B1692

A

0?160)0

A(τ = 0, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

) = 0

?2A

τ

A =

P

T

2

P

2

2

+

1

2



r

2

+

∂A

∂P

2



2

.

 J  95 ?2/ L6^)2

q

1

?2A

P

1

\V)5)B9L26)1&) X?(6H192[G?B9Z6 )73?1692 62 ^?56?ZH)0

(τ, r

2

, P

2

)

?009B6?1)A 19 1&) &?5(926B 90B6HH?195 9W )2)5L/

(r

T

2

r

2

+ p

T

2

p

2

)/2

Y %&) ?2?H/16B?H )]@5)00692 9W03B& ? L)2)5?162L W32B1692 60 29V2\ ?2A 5)?A0

A =



P

T

2

P

2

+ r

T

2

r

2

2



tan τ + P

2

T

r

2



1

cos τ

− 1



.

 73?1692  0&9V01&?1

A

60

@)569A6B62

τ

Y ;20)5162L 1&60 62  D  \?2A 5)B?HH62L 1&?1

S

1

60 ?H09

@)569A6B 62

τ

\ V) 9Z1?62

t

S

0

(t = 0) =

P

T

1

P

1

2

+ V

0

(q

1

, 0),

 

S

1

(t = 0) =

1



P

T

2

P

2

+ r

T

2

r

2

2



tan τ +

P

T

2

r

2



1

cos τ

− 1



,

 EI  V&)5)

t

S

0

?2A

S

1

?5)Z91& )^?H3?1)A ?1

(t = 0, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

)

Y *91)1&?1\62 ^6)V 9W  ?2A  E  \V) &?^)1&?1

S

0

(t = 0) = 0

Y

%&)5) 60 29 (?:95 A6_B3H1/ 62 1&) 0)73)H 9W1&) 6A)216B?1692 @59B)A35)Y U) 1&30 5)W)5

1&) 5)?A)5 19 =@@)2A6] F W951&) A)1?6H0Y %&))73?169209Z1?62)A ?5)1&)W9HH9V62L

2

S

0

∂t

2

(t = 0) = P

T

1

1

V

0

(q

1

, 0),

 E 

3

S

0

∂t

3

(t = 0) = (∇

1

V

0

(q

1

, 0))

T

1

V

0

(q

1

, 0) + P

1

T

11

V

0

(q

1

, 0)P

1

,

 EE 

t

S

1

(t = 0) = ∂

tt

S

1

(t = 0) = 0,

 EK 

S

2

(t = 0) =

1

2

(∇

2

V

0

(q

1

, 0))

T



P

2

cos τ

− P

2

+ (tan τ )r

2



,

 E 

t

S

2

(t = 0) =

−1

2Ω

2

(∇

2

V

0

(q

1

, 0))

T

2

V

0

(q

1

, 0) −

1

2

P

T

1

12

V

0

(q

1

, 0)P

2

+

1

4Ω

2

cos

2

τ

P

T

2

22

V

0

P

2

+ r

2

T

22

V

0

r

2

+ 2 sin τ r

T

2

22

V

0

P

2



.

 EF 

(14)

           



=HH 1&)W32B16920

S

k

?2A 1&)65 A)56^?16^)0?5))^?H3?1)A ?1

(t = 0, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

)

\ V&6H)

V

0

?2A610A)56^?16^)0?5))^?H3?1)A?1

(q

1

, 0)

Y %&))73?1692  EE 

60A)56^)A 62=@@)2A6]FYKY ;2

? 06(6H?5 V?/\V) 9Z1?62 1&) )]@5)00692 W95

4

S

0

∂t

4

(t = 0)

\V&6B& 92H/ A)@)2A0 92

q

1

?2A

P

1

Y a RQ   

S

0

 

S

1

               

A(t, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

) =

ΩS

1

(t, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

)

− τ



P

T

1

P

1

2

+ V

0

(q

1

+ ∂

P

1

S

0

, 0) − S

0

(t, q

1

, r

2

, P

1

)



,

              

t



q

1

 

P

1

                           

(τ, r

2

, P

2

)

               

(r

T

2

r

2

+ p

T

2

p

2

)/2

                        

A

 

τ = 0

             

t = 0

             

t 6= 0

             

t

                          <9206A)562L  E  [  EF  \V)A)B6A) 19 ?@@59]6(?1)

S

ε

(h)

Z/

f

S

ε

(h) := S

0

+ h∂

t

S

0

+

h

2

2

tt

S

0

+ εS

1

+ ε

2

S

2

+ ε

2

h∂

t

S

2

,

 ED  V&)5) ?HH 1&) W32B16920

S

k

?2A 1&)65 A)56^?16^)0 ?5) )^?H3?1)A ?1

(t = 0, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

)

Y U) 29V (916^?1) 1&) B&96B)  ED 

?2A 1&) 1532B?16920 1&?1 V) A)B6A)19 (?)62 1&) 0)56)0

62 @9V)50 9W

ε

?2A

h

Y 6501\ 23()56B?H 1)010 V) @)5W95()A 0&9V 1&?1 V) 2))A 19 1?) 6219

?BB9321 1&) &6L&[95A)5 1)5(

t

S

2

62 1&) ?@@59]6(?1692Y %&60 V6HH Z) W351&)5 )]@H?62)A 62

>)(?5D Z)H9VY )130&)5)013A/1&) )5595Z)1V))2

S

ε

(h)

?2A 610?@@59]6(?1692  ED  ?2A

&9V 1&60)5595@59@?L?1)019 1&) 0B&)()Y U)&?^)

S

ε

(h, q

1

, r

2

, P

2

, P

1

)

= S

0

(h, q

1

, r

2

, P

1

) + εS

1

(h, τ, q

1

, r

2

, P

2

, P

1

)

2

S

2

(h, τ, q

1

, r

2

, P

2

, P

1

) + ε

3

e

3

(ε, h, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

),

S

0

(h, q

1

, r

2

, P

1

)

= S

0

+ h∂

t

S

0

+

h

2

2

tt

S

0

+

h

3

6

3

S

0

∂t

3

+

h

4

24

4

S

0

∂t

4

+h

5

e

0

(h, q

1

, r

2

, P

1

),

S

1

(h, τ, q

1

, r

2

, P

2

, P

1

)

= S

1

+ h∂

t

S

1

+

h

2

2

tt

S

1

+ h

3

e

1

(h, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

),

S

2

(h, τ, q

1

, r

2

, P

2

, P

1

)

= S

2

+ h∂

t

S

2

+ h

2

e

2

(h, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

),

V61&

τ = Ωh/ε

\ W95 09() )5595 W32B16920

e

0

\

e

1

\

e

2

?2A

e

3

V&6B& ?5) 0(991& W32B16920 9W

1&)65 ?5L3()210Y X)2B)\V) 9Z1?62

(15)

     V61&

E

ε

(h, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

) =

h

3

6

3

S

0

∂t

3

(q

1

, P

1

) +

h

4

24

4

S

0

∂t

4

(q

1

, P

1

) + h

5

e

0

(h, q

1

, r

2

, P

1

)

+

εh

3

e

1

(h, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

) + ε

2

h

2

e

2

(h, τ, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

)

+

ε

3

e

3

(ε, h, q

1

, r

2

, P

1

, P

2

).

%&)5) 60 29 5)(?62A)5 9W 95A)5

εh

?2A

εh

2

62 ^6)V 9W  EK  \ ?2A 5)B?HH 1&?1

3

S

0

∂t

3

?2A

4

S

0

∂t

4

A9 291 A)@)2A 92

r

2

?2A

P

2

Y ;2 ^6)V 9W  F  \V) &?^)

Q

2

= q

2

+

∂S

ε

(h)

∂P

2

= q

2

+

∂f

S

ε

(h)

∂P

2

+

∂R

ε

∂P

2

.

U) 0))1&?1

∂f

S

ε

(h)

∂P

2

60 ? 03( 9W1&5))1)5(09W5)0@)B16^)95A)5

ε

\

ε

2

?2A

ε

2

h

\V&)5)?0

∂R

ε

∂P

2

60 ? 03( 9W W935 1)5(09W5)0@)B16^) 95A)5

h

5

\

εh

3

\

ε

2

h

2

?2A

ε

3

Y U) 29V V9562 1&)5)L6()

ε  h 

ε.

 EJ 

*916B)1&?1 91&)5B&96B)09W5)L6() ?5)@9006ZH)Y %&)2\1&)W935 1)5(09W

∂R

ε

∂P

2

?5)2)LH6L6ZH)

B9(@?5)A 19 ?2/ 9W 1&) 1&5)) 1)5(0 9W

∂f

S

ε

(h)

∂P

2

Y %&) 0?() &9HA0 153) W95 1&) )73?1692 1&?1

A)2)0

P

2

Y 95 1&) 0H9V @9061692\V) &?^)

Q

1

= q

1

+

∂f

S

ε

(h)

∂P

1

+

∂R

ε

∂P

1

.

%&)73?2161/

∂R

ε

∂P

1

62BH3A)0 ?1)5( 9W95A)5

h

3

\V&6B&60291 2)LH6L6ZH)B9(@?5)A19 1&)1)5(

9W95A)5

ε

2

h

V&6B& ?@@)?5062

∂f

S

ε

(h)

∂P

1

Y X9V)^)5\062B)V)))@?HH1&)1)5(0 1&?1 B9()W59(

f

S

ε

(h)

W951&) W?01 ^?56?ZH)0\V)?H09 2))A 19 ))@ ?HH 9W1&)( W95 1&)0H9V ^?56?ZH)0\62 95A)5

W95 1&) 0B&)()19 Z) 0/(@H)B16BY %9 B92BH3A)92 1&60 @9621\V)&?^) 1&30 B&)B)A 1&?1 1&)

B&96B)  ED  60 B920601)21 V61& 1&)5)L6()  EJ  Y U&)2 620)51)A 62  F  \1&) ?@@59]6(?1692  ED  @59^6A)0 ? 0/(@H)B16B0B&)()Y ;2 ^6)V 9W  F  \

p = P

h

+

∂f

S

ε

(h)

∂q

(q, P

h

),

Q

h

= q +

∂f

S

ε

(h)

∂P

(q, P

h

)

 E  A)2)0?0/(@H)B16B(?@

e

Ψ

h

: (q, p) 7→ (Q

h

, P

h

)

Y %&)B955)0@92A62L0B&)()5)?A0

(q

n+1

, p

n+1

) =

e

Ψ

h

(q

n

, p

n

)

Y %&) 0B&)() 60 32W95132?1)H/ 6HH[A)2)A W9509() ^?H3)0 9W

(16)

              E  \1&) )73?1692 W95

P

2

 1&) W?01 B9(@92)21 9W

P

h

 5)?A0

p

2

= P

2

+

∂f

S

ε

(h)

∂q

2

= P

2

+

ε

∂f

S

ε

(h)

∂r

2

,

 E  V&6B& /6)HA0



Id

f

+

εh tan τ

2Ω

22

V

0

(q

1

, 0)



P

2

=

(cos τ )p

2

− (sin τ)r

2

ε

sin τ ∇

2

V

0

(q

1

, 0) −

εh

2Ω cos τ

22

V

0

(q

1

, 0)r

2

,

V61&

τ = Ωh/ε

?2A

r

2

= Ωq

2

\ ?2A V&)5)

Id

f

60 1&) 6A)2161/ (?156] 9W 06)

f × f

Y ;W

Id

f

+

εh tan τ

2Ω

22

V

0

(q

1

, 0) = 0

\ 1&)2

P

2

60 291 A)2)AY *91) 1&?1 1&60 A6_B3H1/ (?/ ?560)

)^)2 6W

V

0

A9)0291A)@)2A 92

q

1



62 1&?1 B?0)\1&)0H9V ?2AW?01 ^?56?ZH)0 ?5)291 B93@H)A

 Y

;2 95A)519 B65B3(^)211&60 A6_B3H1/\V)?5)L962L19 0H6L&1H/(9A6W/ 1&))]@?20692

 ED  Y 95 1&60 @35@90)\ H)1 30 (9()21?56H/ ))@  ED  \ 620)51 61 62  F  \ 9Z1?62  E  V&6B& (95) )]@H6B61H/ 5)?A0

p

2

= P

2

+

∂r

2

[ΩS

1

(t = 0) + εΩS

2

(t = 0) + εhΩ∂

t

S

2

(t = 0)] .

+062L  EI  \  E  ?2A  EF  \V) 2)]1 9Z1?62

ΩS

1

(t = 0) +

εΩS

2

(t = 0) + εhΩ∂

t

S

2

(t = 0)

=



P

T

2

P

2

+ r

T

2

r

2

2



tan τ + P

2

T

r

2



1

cos τ

− 1



+

ε

(∇

2

V

0

(q

1

, 0))

T



P

2

cos τ

− P

2

+ (tan τ )r

2



2Ω

εh

(∇

2

V

0

(q

1

, 0))

2

εh

P

T

1

12

V

0

(q

1

, 0)P

2

+

εh

4Ω cos

2

τ

P

T

2

22

V

0

P

2

+ r

T

2

22

V

0

r

2

+ 2 sin τ r

2

T

22

V

0

P

2



.

%&) 56L&1[&?2A 06A) (?/ 29V Z) 5)?55?2L)AY %&) 1)5( 73?A5?16B 62

P

2

5)?A0

1

2

P

T

2

M P

2

\ V&)5)

M = tan(τ Id

f

) +

εh

2Ω cos

2

τ

22

V

0

=

tan



τ Id

f

+

εh

2Ω

22

V

0



+ O(ε

2

h

2

)

=

tan



h

ε

Id

f

+

εh

2Ω

22

V

0



+ O(ε

2

h

2

).

(17)



   

;1 601&30 2?135?H19 62159A3B)1&) (?156]

ε

(q

1

) =

ε

Id

f

+

ε

2Ω

22

V

0

(q

1

, 0),

 KI  1&) 2)V ^?56?ZH)0

q

2

= q

2

+

ε

2

2

2

V

0

(q

1

, 0), P

1

= P

1

ε

2

2

12

V

0

(q

1

, 0)P

2

,

 K  ?2A 5)@H?B)  ED  Z/

S

ε

symp1

(h) :=

h



V

0

(q

1

, 0) −

ε

2

2Ω

2

(∇

2

V

0

(q

1

, 0))

T

2

V

0

(q

1

, 0) +

1

2

P

T

1

P

1



+

h

2

2

(∇

1

V

0

(q

1

, 0))

T

P

1

+

1

2

P

T

2

−1

ε

(q

1

) tan(hΩ

ε

(q

1

)) P

2

+

1

2

q

T

2

ε

(q

1

) tan(hΩ

ε

(q

1

)) q

2

+P

2

T

(cos

−1

(hΩ

ε

(q

1

)) − Id

f

) q

2

.

 KE  %&) A6)5)2B) Z)1V))2  KE  ?2A  ED  60 9W 95A)5

O(ε

3

) + O(ε

2

h

2

)

\ 09 1&) 95A)5 9W 1&)

?@@59]6(?1692 &?0 291 Z))2 (9A6)AY %&) (916^?1692 W95 62159A3B62L

q

2

60 1&?1 1&) H?01 1&5)) 1)5(0 9W  KE  29V B955)0@92A 19 1&) L)2)5?162L W32B1692 9W ?2 &?5(926B 90B6HH?195 9W @3H0?1692

ε

(q

1

)

\ 62 1&) ^?56?ZH)0

(q

2

, P

2

)

Y U &)2

V

0

A9)0 291 A)@)2A 92

q

1

 A)B93@H)A B?0) 

\V)9Z1?62 ? 0B&)() 92 1&) W?01 ^?56?ZH)0V&6B& 60 ?HV?/0 V)HH A)2)A\62 B9215?01 19



ED



Y %&60 @59@)51/ 035^6^)0 62 1&) B93@H)A 0613?1692Y ;2A))A\ 620)5162L

 KE  62  F  /6)HA0

?2 32B92A61692?HH/ V)HH[A)2)A 0/(@H)B16B 0B&)()



0)) =HL9561&( EY



Y U) A)291) 61 Z/

Ψ

symp1

h

(q

1

, q

2

, p

1

, p

2

)

Y U)291)1&?11&60 0B&)()60)]@H6B61\3@ 19 1&) 62^)506929W1&)(?156]

ε

(q

1

)



V&6B& 60 ? @)5135Z?1692 9W 1&) 62^)516ZH) (?156]

ε

Id

f



\ ?2A 1&) 62^)50692 9W 1&)

(?156] 62 1&) H)W1[&?2A 06A) 9W

 KD  Y %&60 H?11)5 (?156] 60 ?HV?/0 ? @)5135Z?1692 9W 1&) 6A)2161/\?2A 1&30 62^)516ZH)W95

h

?2A

ε

03_B6)21H/ 0(?HHY  a RQ                   

cos(hΩ

ε

(q

1

)) = 0

                                              

H

HO

(q, p) =

1

2

(p

2

+ q

2

)

               

S

HO

(t, q, P ) =



P

2

2

+

q

2

2



tan t + P q



1

cos t

− 1



.

       

cos t = 0

                                 

t = 0

   

t ∈

i

π

2

,

π

2

h

    

q



p

   

t /

2

+ πZ



    

Q(t; q, p)

 

P (t; q, p)

p = P (t; q, p) +

∂S

HO

∂q

(t, q, P (t; q, p)),

Q(t; q, p) = q +

∂S

HO

∂P

(t, q, P (t; q, p)).

 KK 

(18)

                         

t 7→ (Q(t; q, p), P (t; q, p))

       B921623930  

Ψ(t)

     V&9H)  

R

     

Ψ(t)

                     

H

HO

        

(q, p)

  V&9H)  

R

     

i

π

2

,

π

2

h

        

S

HO

              

t

              

(Q(t), P (t))

                                                                                             B921623930       9Z0)5^)                                           

h  ε



(19)

     M eQP  b aSPS Sa a

Ψ

symp1

h

(q

1

, q

2

, p

1

, p

2

)

 

(q

1

, q

2

, p

1

, p

2

) = (q

1

n

, q

n

2

, p

n

1

, p

n

2

)

                 

q

2

= q

2

+

ε

2

2

2

V

0

(q

1

, 0)

   

ε

(q

1

) =

ε

Id

f

+

ε

2Ω

22

V

0

(q

1

, 0)

      

e

Q

2

=

cos(hΩ

ε

(q

1

)) q

2

+ Ω

ε

−1

(q

1

) sin(hΩ

ε

(q

1

)) p

2

,

 K 

P

2

=

−Ω

ε

(q

1

) sin(hΩ

ε

(q

1

)) q

2

+ cos(hΩ

ε

(q

1

)) p

2

.

 KF        

P

1

∈ R

s

     



Id

s

+

h

2

2

11

V

0

ε

2

h

2

P

T

2

112

V

0



P

1

= p

1

ε

2

2

12

V

0

p

2

−h



1

V

0

ε

2

2

12

V

0

2

V

0



+

h

2

ε

2

2Ω

2

P

T

2

112

V

0

1

V

0

− κ,

 KD   

κ

 

∀1 ≤ j ≤ s,

κ

j

=

ε

2Ω

Z

h

0

x

2

(t)

T

∂∇

22

V

0

∂q

1j

ε

(q

1

) x

2

(t) dt,

 KJ     

x

2

(t) = cos(tΩ

ε

(q

1

)) q

2

+ Ω

−1

ε

(q

1

) sin(tΩ

ε

(q

1

)) p

2

                  

V

0

       

(q

1

, 0)

  

P

1

= P

1

+

ε

2

2

12

V

0

(q

1

, 0)P

2

 

Q

1

= q

1

+ hP

1

+

h

2

2

1

V

0

(q

1

, 0).

 

Q

2

= e

Q

2

ε

2

2

2

V

0

(q

1

, 0) −

ε

2

2

12

V

0

(q

1

, 0)



hP

1

+

h

2

2

1

V

0

(q

1

, 0)



.



q

1

n+1

, q

2

n+1

, p

n+1

1

, p

2

n+1



= (Q

1

, Q

2

, P

1

, P

2

).

a RQ              

V

0

                                                                                                             

p

T

p

2

+ V (q)

                                                                                                                                                                                             

(20)

             a RQ  

V

0

    

q

2

                                    

(q

2

, p

2

)

      

Ψ

symp1

h

          %&) 0B&)()

Ψ

symp1

h

(q

1

, q

2

, p

1

, p

2

)

5)7365)01&) B9(@31?1692 9W 1&) (?156B)0

sin(hΩ

ε

(q

1

))

?2A

cos(hΩ

ε

(q

1

))

Y U&)2 1&) A6()20692

f

?009B6?1)A19 1&)W?01 A)L5))09WW5))A9( 600(?HH\

03B& ? B9(@31?1692 60 )?0/Y 2 1&) 91&)5 &?2A\ 6W 1&) A6()20692

f

60 &6L&\ 1&)2 03B& ?

B9(@31?1692 B?2 Z) )]@)206^)Y 951&) 5)01 9W.)B1692 EY



\V) ?003()1&?1

f

6062A))A H?5L)

?2A 0&9V ? @9006ZH)(?22)519 ?@@59]6(?1)1&)0)(?156B)0\09 1&?11&)65)]?B1B9(@31?1692

60 291 2)B)00?5/Y .3@@90) 1&?1 V)&?^)1V9 ?@@59]6(?16920

s

a

ε

?2A

s

b

ε

9W

sin(hΩ

ε

(q

1

))

\?2A?2 ?@@59]6(?[ 1692

c

ε

9W

cos(hΩ

ε

(q

1

))

Y =003() 1&?1

s

a

ε

\

s

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k

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k





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S

ε

symp2

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Ψ

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1

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, q

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1

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n

1

, p

n

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ε

(q

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f

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2

,

(x

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µ

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k ∈ N

  

k

    

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2

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2

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k

2

, p

k

2

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P

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κ

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h

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2

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T

∂∇

22

V

0

∂q

1j

ε

(q

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n+1

2



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1 ≤ j ≤ s

    

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n

2

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V

0

       

(q

1

, 0)

                                     

q

1

n+1

, q

2

n+1

, p

n+1

1

, p

n+1

2



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1

, Q

2

, P

1

, P

2

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 9W

κ



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2

 

Q

2

                                                            

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