HAL Id: inria-00070701
https://hal.inria.fr/inria-00070701
Submitted on 19 May 2006
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Computation of Low Mach Inviscid Compressible Flows around a Prolate Spheroid
Yacine Bentaleb, Éric Schall, Bruno Koobus, Jean-Pierre Dumas
To cite this version:
Yacine Bentaleb, Éric Schall, Bruno Koobus, Jean-Pierre Dumas. Computation of Low Mach Inviscid Compressible Flows around a Prolate Spheroid. RR-5299, INRIA. 2004, pp.15. �inria-00070701�
ISSN 0249-6399 ISRN INRIA/RR--5299--FR+ENG
a p p o r t
d e r e c h e r c h e
Thème NUM
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE
Computation of Low Mach Inviscid Compressible Flows around a Prolate Spheroid
Yacine Bentaleb, Eric Schall, Bruno Koobus, Jean-Pierre Dumas
N° 5299
Septembre 2004
Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis
2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)
Téléphone : +33 4 92 38 77 77 — Télécopie : +33 4 92 38 77 65
)*3&4657). +98:3+,)&
;=<?>A@CBEDGFHDAB!IJ<LKMDONPRQ
SUTV@C>W>JX<?KCKZYJQ
FHTV[BE\^]_\$\`NE[EaVbcQ
d?DR<LBe'fU@CDATVTgDh_[Ei^<?aJj
k%lnmo:pqsrutwvyxRz|{~}mo:pg{,Rno:g Anpg{
c~p'}sxRoO{l
cLO}|pUpglnpglp7?GvyxRpg|} pgonpcOcv4V=pg{
_ g¡¢J£n¤¡¥ k%lnp¦Rno:pg §¨{ ©o=n§ªc} ª«¬U§©J®t¯Ol«'OoH pV{ { ©§©p¯°LJ{3c1±n§J}p
{ nlnpg Oª={©R²Opg{} ªOJ}pg{ªnU³u||nnJ²A´µ§©ª¶p·Rno:pªgc§|o:p'}ln|!¸k%lnp,lRzRLpg ?§ªª%|©¹`ppA} c§
On§©pgo6´M}lnpº}ln pgp'´»|ªoHpg{ ©Oc§u¼n§ªppgAc} ª{´={_{ §ª²pV1«{~} L½} pV¾o:pg{ lnpg{_Rz1
¿ nÀ}p¨²O§ªno:p¨{lnpo:p¨{ pg33,RpOÁ{·nR,ª3{lnpo:puckn¶pg§MÁ{§ªJÃt¯Olnpg'O|©} ªnpgg¸
k%lpp'¹`pg'}{uc¬Â}
¿
'c§²A{'O{ ©}~z*¯npg|©} ª©n_¯}lnp:'o:nn}J}©Oºc¬ÂĨc_ºÅ$À¬Æ}
Rp'Ç'ªpA}{U p:ªR²pg{} ªOc} pV!¸k%lnp'§{{ ªgc§,RpÁ{{lnpo:pc©}{U§ªJÈtºlÉnpg'O|©} ªnpV
²J cA} p?c}l='O{ ª|pg pVu{ªnu{pVAnppÊc¬|}lnppÂo:pV{lnpV{ˬ|À¹`ppA}
¿
nppg{{!¬ÌE{ §ª|} ª{
o: {O_¯'OA²Oppg'pO¸Êk%lnpURno:pªgc§Ëpg{ n§©}{,{ lnJÃ}lnpnp?L|pcA},c }n§ÍzpV3Rz
}lnp§©JÎt¯l_npg'O|©} ªnpg%©_} pg o{%c¬Eg'nz:_ On{} npV{ {·,lnpg_²Opz{nL{Onª¨°J{
p'O{ ª|pg pV!ÏncL}lnpU©o:? }'pc¬E{ ©::{ oc§ª§Ëco:nA},c¬ERno:pªgc§!|{ { ªJ}©O˸
ЯÑAÒ`ÓÔÕ ¢JÖ ¥ ¼n§ªp*pgAc} ª{gÏ%} l pgp'´»|©o:pg{ªLc§¨o:npg{{ªn§ªp°JUϧªJ×o:Ol¾Rno?p
pV'L|À}©OnªnÏRRno:pªgc§Ë|{{ªJ}©OËÏ ¿ n©} pU²O§ªno:pÏ|nL{~} '} npg_!¸
ØÚÙÛÍÜÝ'Þ~ßCàZÜáMâÂãVÞÊäåæ¨Þ»áãVÞàänåçgàãVÞèéê$ãVë½æÍßìVí|åî$ï?ä|ìcåÝ'Þ~ÛæÍÞÊãÍÞèéÙÛVÜÝ'ÞßCàZÜáMâ½ìcðñ'ò½ò½ò%änåæAìJóJßMåÛÍô~Þ
õ
ÙÛÍÜÝ'Þ~ßCàZÜáMâÂãVÞÊäåæ¨Þ»áãVÞàänåçgàãVÞèéê$ãVë½æÍßìVí|åî$ï?ä|ìcåÝ'Þ~ÛæÍÞÊãÍÞèéÙÛVÜÝ'ÞßCàZÜáMâ½ìcðñ'ò½ò½ò%änåæAìJóJßMåÛÍô~Þ
ö
ÙÛVÜÝ'ÞßCàZÜáMâãÍÞu÷ë½ÛáMøcÞ~èùèùÜùÞß·úMúµì?ûâ~øJåßÌáZÞ~ü,Þ~ÛáãVÞ÷UåáMýÍâ~üåáZÜùþæÍÞ~à ì$ÿËÿò½ìñ'ò=÷ë½ÛáMøcÞ~èùèùÜùÞß,ÿ!Þ~ãÍÞ Vì
óJßZåÛÍô~Þ
ÙÛÍÜÝ'Þ~ßCàZÜáMâÂãVÞÊäåæ¨Þ»áãVÞàänåçgàãVÞèéê$ãVë½æÍßìVí|åî$ï?ä|ìcåÝ'Þ~ÛæÍÞÊãÍÞèéÙÛVÜÝ'ÞßCàZÜáMâ½ìcðñ'ò½ò½ò%änåæAìJóJßMåÛÍô~Þ
¦+· E 23= -*)+ &_+ = =3) & _Ã..g'*#$|&_+
¥ qL{n V{pgA} L{uc{UpHcLO}nnp:'}|p{ nU§ªpg{gn§ªpo:pgO}{'o:npg{{ ©n§ªpg{
?p'}À}3o p¯|pGtºl1c|}n!Án1p§ª§ª©{ µ|pº|p¯²O§ª|} ª$¸1rsnp¯¬ÌO o=n§ªc} ª1|p}~zRLp
³u||nJ² pV{~}*|} ª§ªª{ pLOn*§ª g{ §ª|}©O¾AoHg Anp¸ ÅËp{z|{} mgoHp¦lAzR?pLO§©AnpGnpg{_gAJ´
}©O{·!Á¼Ên§©pg·} ª|ªo:p{ ªnnpg§©§ªpg{·pV{~}· V{O§©3{ n·n3o©§ª§ªps} '}g|OpsnO3{~} L½} ¨c·§ª
o:} ln||p|pV{U²O§©oHpV{ ¿ n{UO{gp:{ nU§ªp{ lo|gpA} |p,Rpp'}§ªpng'O|©} ªnpn|p
kn¶pg§M¸ÅÊÁ©|°Lnpp·np·§¨²A{'O{ ©} ·AoHg Anp·p'}|= V'L|À}©OnnpgoHpgA}E{ A}Epnco:ªng{g¸k Oª{
o©§ª§ªpV{Â|p|©¹?g pgO}pg{ ¿ npV{ { pg{·{ A}·{ ªng{· ¿ 3npuo:cpÚ§©pV{%{O§©|}©O{g¸Å$pg{· V{§À}J}{
Rno:g Anpg{o:A} pgO}!ÁnnpLc }§*ngpg{{©} |ÉngnÀ}©Onnpo:pgO}U?nU§ªpg{g'On§ªpo:pA}{
} V{{ n{ nAnpg{pÉ} pg o:pV{|p V'{ªÉp'}H|p3nL{~}pg{{pOÏ$p'}:!Ác|} p}=§MÁ©o:? }'p3n
l3|pg{,Lcco:m'} pV{·{ {cA}%{n,§|{ { ªJ}©O_Rno:Op¸
Õ ¡V Ó ¤ É¥ ¼ÊAc} ª{!Á¼Ên§©pggÏgn§ªpo:pgO}o:npg{{ªn§ªpH} ª|ªo:p{ ªnnpg§MÏng'O|©} ª|´
po:pA}
Lp} ©}no=npnpUo:OlËÏn|{ { ªJ}©O_Rno:OpÏ|ocª§©§cOp¨¯{~} L½} O¸
= + #
?A@&B
¡g¢ Õ Ö¤c¡DCÕ B E
FHG
Õ=I?Ñ ¢ B C
BKJ
Ñ=L $£|¡DCÕ B M
NPO
Ñ ¢QCC¤£ Ñ ¡DR Õ Ö Õ Õ J Ò S
EHO
Ñ ¢QCC¤£ % DC Ì£|¡DCÕ B T
L¸©(kpg{}sO{pV{%|p ¿ À}©O(¸U¸¸U¸¸U¸U¸u¸U¸¸U¸¸U¸U¸¸U¸¸U¸u¸U¸¸U¸U¸¸U¸¸U¸¸U¸U¸u¸U¸ U
L¸qsno:pªgc§!pg{ n§©}{¯¸U¸¸U¸¸U¸¸U¸U¸u¸U¸¸U¸¸U¸U¸¸U¸¸U¸u¸U¸¸U¸U¸¸U¸¸U¸¸U¸U¸u¸U¸ V
MHV Õ B ¤ $ DCÕ B ?WE
XKX Û3Y Z
` )&3Â '=
k%lp=npgnª'} ª¦¬Úcpg ||zRo:ª¬Ì'pg{¨{u¦ªo:LO}cA}o:?npgO}ª¦}lnpH{} L|zºc¬·cª{ lnª{¸
µ}§©§ªJ{Ï!oHOn3} lnpg{gÏ`} *n}cªG{ o:pHpR} pg Lc§©|¬ÌO oc} ªº¬ÌO©o:nJ²R©n*{lLc?pHA§©©}~zÏ
Oncn} ªnnn§ª{ ©O{z|{} pgo:{$} ucA} 'ªJ}pÊ}A¨§ª OpÊcpg Rp§{} p¹?pV½}{g¸»=|pË} uLpg¬ÌO o
Rno:pg §`{ ªon§J}©O{·c¬Ë°J{% On3©{ ln©L{Ï|ª¨n§J}pu{ nlnpg Oª3ª{,lO{ p_O{· p¬Ìppp
¿ nJ}©O˸
Åco:ªcs}n n§©pgA}°J{L{}¨n§J}p{nlp¯J}¨cp¬Eªª|pg'pHcnO§©pV{,lO{s?ppg
{} L|©pVAoHpg §©§ªzºcL¦p R?pªoHpgA}c§ª§ªzÏ!¬ÌOU©{}'pOϪgµÏªgZϵÏ> µÏù|ZÏcGo:pHp'´
pA} §ªzUZÏ©ÍZϵϪ > µ¸±k%lnp_{ pªp3c¬¨AoHpg §Ú{} n©pV{¬Ì|{pV{O±}lnp_ pV|ª'} ª±¬
}lnpp'´»|ªo:p{ ©Oc§`°LJ { pc} ªJ}sc§ªpu¬Ec}}¶`¸ ÊJ}{ )& -
ªgo: pV}lnpp'¹`pg'}{
¬}~Ú
¿
n©} p'´µ²O§©oHpHc§ªO ©} lno{%¬ÌOuo:npg{{ªn§ªpqsͲRªp ´»xR} ¶Opg{%pVOLJ} ªL{sO} lnp:'OoH|} pV
°LJ c?n}_ O§ªc} p{lnp!¸3³upp )& -
!ʬÌ|'{ pg}lnpp'¹`pg'}c¬,|À¹`ppA}U}n n§©pg'p
o:||pg§ª{#"M%$squx'§ªO{ n pV{'&Â*}lnpu°J o:n|}pgc?|}s:{ ©o:ª§ª,L||zO¸
k%lp3{pgcJ}pg°J Onɯ?Rnz{H|ÀÇn§À}=} Gn pV|½}= pg{ n§À}{ª±ocRzn|pV{ªn§ªp
lnpnOo:pG{l±O{}lnp|ºª'pgO{pOϧª©¬Æ}H§ªO{{É°'} c} ª{=ª±} lp3npg{{ p ¿ p§!ÏÊp'}c¸
k%lpsg'nzc¬`} lpnpg|½}pgH°J ¿ pg§ªnp?pn{ÂH} lpso:||p§LpgAJ}©O{gÏRno:pªgc§no:p} ln|n{
_ª*{L'ªnLÏnco:n:} lnpg%¬C½}{¸k%lnpO|~pg'} ª²pg{%¬}lnpUnpg{ pA}{~}|z*cp"C(&·}cnn§ªz
{~} L½} pV*),+EÄ1oHp} ln|} ¨} lnpp´µn©o:pL{ª§OªR²Rª{'U°J cnsn§J}pÚ{ nlnpg Oª -
"C©.&}{ psU{?pg¿ %} pgc} o:pA}ʬÌOʧ©J1olo:npg{{ªn§ªp%°J{{ pg{{EÀ}{Êp'¹`pg'}{/-A0"̪ª(&
}3ªR²pg{} ªOc} pU}lnpp¹?pV½}{¨¬ÊRno:pªgc§nª{{ªc} ªºO} lnp:cpg ||zRoH¬ÌOpg{,¬ÌO¨3np¬
o:pV{l* pV{O§©n} ª{g¸
1 p·¬L}lnp,ocª|ÀÇn§À}©pV{ª:{ ªon§J}©no:npg{{ªn§ªp°LJ{cnHcª{lnª{E{} lnps§©J{?ppV
¬Ê} lp°JU¸#2¾lp²pz¯{{On'Oo:n pV{ { ªn§©p°J{ucp={ §ª²pgºAz¦³u||nJ²A´Z§ª©¶OpRno:pc§
o:p} ln|n{gÏ`À}uLpV'o:pV{npV'pg{{cz} _©A} ||p=§ªJ t¯l¦n pV'O|©} ªnpgg¸3µ}'L{{~}{sªºnp'´
nÀ}©On©:} lnp=AoHpg §$|{ { ªJ}©O*ª¯|pg,} pVAn©§ªªnc} p}lnp'OR²pg'} ª²p{ Lpgpg¯*} lnp
{ ?ppg*¬{ nËÏnoc¶R©=}lnpo c¬} lnp{co:p|pg,c¬Eo:n©} L|pÏ|,lnª§ªp} lnp}po:LO§$cL_p|´
}ppg*}po:{¨c¬E}lnpHnn |©oJ}©O_po©¯nLlcnOpg!¸¨k%lnpËÏL} lpHR²pg Opp¨}} lpH{} pV|z
{}c} pUcL3}lnpU{O§©n} ªn'z¬}lnpUpg{ n§À}©H pV'L|À}©Onpg_{ lpo:pcp¨ªo:nJ²pg˸
»} lnpuRno:pªgc§`{ªon§J}©O{Ê pV{pgO}pgª}ln{ÚLc?pVÏ}lnps°LJ¾ª{·'O{|pg pV:n_²A{'L{ÂcL
}lnpslRzR?pLO§©|©¹?pg pgA} c§?n On§ªpo |p ¿ pgRz=} lnp¼n§ªp·pgAc} ª{{·{O§©²Opg:{~} L½} pV
o:pV{lnpV{ÂRz ¿ nÀ}p¨²O§ªno:po:p'}ln|4ùµ¸Ek%lpu|©¹`ppA} c§?pgAc} ª{Úcp©A}pJ}pgJ²OpÂA} §
²O§ªno:pg{¨nnª§À}¬Ìo® ¿ n©} p:pg§©pgoHpgA}uo:pg{ lËÏ$¦O'O{{,}lnpªU©A}p ¬C'pV{¨Gnn RªoJ}p=,ªp'´
on={ §ª²pgO{pVO=,RpÁ{E{ lpo:p5ªn,À}lHkn¶p§ZÁ{§ªJ^t¯Olnpg|©} ªp,|ÏcnÏR/nÏ|6/
{%{ pg_} :pg²Í§©LJ} pu}lnp'OA²Opg'} ª²p¨° |pg{g¸
»º} ln{uÚO ¶`Ï?ÚpHcp§©RO¶Aªn¬ÌOs}lnp:{~}pgnz{}c} pH{O§©|}©O¦c¯n§J}p{ nlnpº p´
{ ?|ªnU}cª|°J¾t¯OlAo?p¬78:9ccnO§©p,¬$J}}¶H{p}Ê} *;|pO pgpg{g¸xRª'ps} lnp
}¿ 'c§Ë²R{ O{ À}~z{o:||¿ pg,lppg{,} lnplAz|{ ªgc§Ë²R{ {p'¹`pg½}{s pU²O§ªnA}cª§©zp§ªpg'} pV
O{, ¿ {~}cn AlËÏR}c¶Rªn:©A} OnA}%} lnpA} ªn|} ª*c¬} lpnpg{{np¨¬Ì'pU§©zOÏ|ÚpUnc´
?O{ pu} {} nz} lpp'¹`pg'}{,¬}lnpURno:pªgc§Ë|{ { ªJ}©O_O_}lnpUp²J§©c} ª*c¬} lnp=cp||zRco:
Rp'Ç'ªpA}{%,©} l¯,RpOÁ{,{lnpo:pUcL_©}{%§ªJ tºl*n pV'O|©} ªnpV3²JccA}g¸
k%lpupo©np,c¬} ln{,Lpg,ª{Oc=<gpgO{·¬Ì§ª§©J{/
»ÉxRpg'} ªGnÏ?} lnpHJ²Opn©pgAc} ª{¨cpª²pg˸k%lnp=Rno:pg §o:p'}ln||§ªOz_{un©p°z¯|p'´
ú?> X úÆê
{'ªLpV¦ª±xRpg'} ª
>
¸k%lnpH} pV{~}g{ pg{c¦} lpAoHpg §E pV{n§©}{U p:npg{ pA}pgºª±xRpg'} ª¸
+ªc§ª§ªzÏ|·p'L'§ª|pu} ln{,Lpg,©ºxRpV½}©On¸
s"+,)*+ 3U '_#
k%lp}ln pgp'´»|ªoHpg{ ©Oc§E¼n§ªppgAc} ª{¨¬ÌOs°ªGo:pglnªg{¨gcGLp:,À} } pG©G} lp¬ÌO§©§ªJ,©
{ p²JJ}©²Ops¬ÌO o
7 7
"~&
7 ! "
#
,lpp} lnp*'O{pg ²Jc} ª²p²Jcªn§ªp $
% cÉ}lnp3ªR²Rª{'° ²pV½}
cp
O©²Op_Az
&''''( ) )+*
)-,
)+.
/
01
111
2
&
(43
5
6
02
,©} l
3
&''''(
)-*
)+*7
8
)-*9,
8
)+*:.
8
* /
8
01
111
2 5 &''''(
)+,
)-*9,
8
)-, 7
8
)+,+.
8
, /
8
01
111
2 6
&''''(
)-.
)+*9.
8
)-,+.
8
)+. 7
8
. /
8
01
111
2
ªº,lnl
)
|pc} pV{}lnp=np{ À}~zOÏ
* Ï , p}
.
cpU} lnp:'Oo:LOnpA}{sc¬}lnp=²Op§ª|'©}~zÏ`c/2ª{s} lnp
}c}c§%pnpg Oz Lpgnn©}²O§©no:pO¸ k%lnp*¬Ì§ª§ªJ,©nÉ{}J}ppgAJ}©O±¬ÌOLpg¬ÌpV½}OO{Hnpg½}{H} lnp
pV{ { np
8
} :}lnp'O{ p²Íc} ª²pu²Jcªn§©pV{%c*c§ª§©J{Ú}'§ªO{ ps}lnp{z|{} pgo
8
<;=
9 ?> / = 9@ ) * 7 , 7 . 7 BA
k%lpuJ}©:¬$} lp{?pg¿ lpgJ}{
;
ª{ ¿ |pgJ}#9 8C¸
$¨{¬CuO{,}lnp=?ncz¯'O|©} ª{¨cp='O'pg pg!Ï`{§ªª¦'O|©} ª{ucpªoH?O{ pgº¯}lnp=?||z
{ n ¬Cp!"Ìlpp_}lnpn§J} p*{lnp &½Ï·c ¦p pV{pgO}J}©²Op¬Cc ´ ¿ p§±¬} lnp*°J2|}{|p*} lnp
o:n|}J}©Oc§Ë|Oocª_{%ª²pg˸
XKX Û3Y Z
*+,)E'·.É+· _&_=.'
k%lp{c} c§Ë|{'p'} :<gc} ª*c¬} lnp¼Ên§©pgpgAc} ª{#"&·{ ªpg_|}lnpg pO_{~} L½} pV
}p'}lnpg|c§Oo:pg{ l¬ÌoÎ,lnl¨nc§Ao:pg{ l=|p ¿ npgRzA} §O²O§©no:pV{${np©²Opg "+ª¸·&'¸k%lnp
i j
Control cell
+ª p: )ÚOA} §`²O§©no:pUJ} }Olnpg3} :²pg}p©*}~·:n©o:pL{ª{g¸
R²pV½}©²OpU° |pg{U pHcn |ªo:c} pV¯Rzº ¿ À}pH²O§ªno:p=o:p} ln| ʪ¦,lªlG} lnp:|{ p} :<pV
{ §ª|}©O±ª{Hnªpgp,{p'O{}cA}HJ²p=pgOl^'OO} O§Ú²O§ªno:p¸±tO p*{?pg¿ gc§ª§©zOÏÂ,RpÁ{HnR,©L
{lnpgoHps,À}lk$n¶pg§MÁ{ʧªJ¾t¯lnpgnÀ}©OnpÊ{ÊL{pV!¸k%lnppg{ n§À}©{ lpo:p{Êp'¬Ìppg=}={
Ap´µkn¶pg§MÁ{{lnpo:pª¯} lp¬Ì§ª§ªJ,©nL¸,k%lnp=R²pV½} ª²p°L |pg{s p}lnpGcnn |©oc} pg*O¯} lnp
?ncz¬pgOl*A} §`²O§ªno:pÊc}}lnpV} H²Op } pÂ{·¬ÌO§©§ªJ{
%
"!#
,lpp
{}lnp=O|} pgsnÀ}noc§$} }lnp:'A} O§$²O§©oHp$Ú%!#
'&
( *) ,+
-.
Ï0/
npn} pg{Â} lpu{ p'}·c¬$npg©OlRLO ªnn||pV{Ê}²Op } p1cL
%
2!#
ps} lnpuRno:pªgc§° |pg{
¬,Rp´µkn¶p§ZÁ{·{lnpgoHpO©²Op*Az
%
2!#
@
!#
9
@
;3547698:<; 4 :,=1:
?>
"!#
; = "M &
ªº,lnl
>
|pgnc}pg{s} lnpH,RpÁ{¨Í²OpcOpu¬ Ï 7A@
;3CB
9{¨3 pVc§'Rp'Ç'ªpA}sªA} ||'pV}
A} §?}lnpURno:pªgc§!²Rª{'A{©}~zÏ|
= :
ª{·}lnp,RpÁ{%oJ} 3ª²pg_Rz
=1:
?>
"!#
ED
:
F>
!#
HG
JI
:
?>
!#
LK :
5>
!
NM "> &
,lpp D : Ï I : p'}O
:
p¨} lnpCPOnc_oJ} 'pg{%¬$}lnpU©R²R{ ª_° |pV{¸
k%lpn pV'O|©} ªnªnoJ}
4 :
Ïn OLA{pV¦Rzk$n¶pg§3©µÏc§©} pg{On§ªzº} lp|ª{{ ©c} ª²pH} pg o{
H} lR{Ê} lnpsAoHpg §L{lnpo:p,pocª{Ú'L{{~}cA}Ê,©} l:} ªo:p'´»|p?pL|pA}ÚpVAJ}©O{¸»:} pg o{
¬$}lnpUpA} ªu²Jcªn§ªpg{RQ 'S
8 * , . 2T
8VU )XW
*Y[Z Ï|}lnª{n pV'O|©} ªnpg·,©} pg{
ú?> X úÆê
4 =
7 9 /9 /9 9
,lpp
ª{,:o:p'} pg%c¬$}lnpU|pg·¬}lnpUp'¬ÌppL'pUt¯l*Rno?pV¸
k%lpËÏ|¬ÌO%} lnp{ p²JJ}©²Ops²Jcªn§ªpg{ Ï|} lp'pg{ LO|ªn¬ÌO o2c¬$}lnpUnpg|©} ªp,{
4 :
Q 4 Q
»*|pgÚ}:©o:nJ²p¨} lnpU{ J}ª§Ëcn |ªo:c} ªËÏR{ pg'OR´µ|p%g'nz:ª{%O|}©npV3L{ªnH} lnp
tºr¨x )·Å}pglnnAnp ©DU|ϵ¸Êk%lnpRno:pªgc§`° RpV{,cp¨pg²Jc§ªJ}pg_,À}l_}lnpUpR}LO§ªc} pg3²Jc§ªnpg{
c c¬ }} lps§ªp'¬Æ},cH}lnp¨ªlA}Âc¬!}lnpsªA} pg¬CO'p?p'}~·ppg}~ÚnpªlR?©nA} §
²O§ªno:pg{ c
¸¨k%lAL{Ï?n§ªz_} lnpHcno:pA}{c¬E}lnpRno:pc§$°
cpUo:||¿ pg!Ï`,lnª§©p
©}{p|npg{{ª "M &Úpocª{·}lnp{ o:p
.
2!
"Ì &
k%lppR} c?§J}pgG²Í§©pg{
cp'o:nn} pg{ ªnº !´»{lnpo:pcÏ$,lnl 'Oonªnpg{
pA} pg pV_3¬Ìn§©§ªz3A,ª*n©pgO}{%{·¬Ì§ª§ªJ{
9
@
9 =
:
B
"M &
= 9
@
9 =
B
:
" &
,lpp7
B B
9{Hcco:p'}p%c¬nR,©L|©¸
k%lppA} pg pV3OO|ªpA}{{|'J}pg3,À}l*pV|p :{|p ¿ npg*Rz
B
:
!
= " 6&
3} lnpUnR,ª*|ªpA}{· pO©²Op3Rz
B
B
;Z +
cL
B
;Z +
"U &
,lpp
c!
%cppg{ LpV½}©²Op§ªz_}lnpHn{} pgco0º|J,{} pgo } p'}lnpgnO{ { |'J}pg*}
pV|p "C{ pp%+©L¸Ê¨¬Ì}lnp,}~·c´»|©o:pg{ªLc§nO{p&Ec
;Z
|pn} pV{E} lnp
4 9 ¿ n©} p'´µp§ªpo:pgO}
nn |©oJ}©Oc¬} lpU|ªpA}%©*} p} clnpV|"¸
x|©pu} lnp°J ª{s{nL{OnªÏ|n{§ª?p'´µ§ª©o:©} ªn:n |pg|npª{%L{pV_ª*} lnpURno:pg §L°L |pg{g¸
$¨{¬CuO{}lnp=} ªoHp´ZªA} pgJ} ªG{~}c} pOz_{u'L'pnpV!Ï!3{ pg'OR´µ|p} ªoHp´µOnc} pªo:n§ªªÀ}
{lnpgoHpsª{Úpo:n§ªJzpV!¸k%lp} ªo:p¨|{'p'} :<gc} ª{ÂL{ pg:_{pV'OR´µ|pO¶R·:|©¹?pg pg'p
{lnpgoHpO¸Âk%lnpUnO|´µ§©ªnpg·°J pVAJ}©O{,|pª²pg3¬Ìo }lnp} ªo:p'´»|{ p} :<gJ}©O¯cp{ §ª²pV3Rz3
np'¬Ìpg'}´»'O pg'} ª!"Mqpg%} n´Z§ª©¶Op&Úo:p'}ln|!ùµ¸
XKX Û3Y Z
i
ij
j Tji T
Wij Wji
Iij
− +
+©On pÊr{} pgo2c*|J,{} pgo } ªn§ªpg{
O{ { |'J}pg_,À}l*pV|p L¸
*+,)E'·.#g9*.' _#
k%lp'OoH|}c} ª{ pU?p ¬Ìo:pg*}lnppUo:pg{ lnpg{g¸,k%lnp ¿ {}snpA}©L{ ! " #=n||pV{scL
{H'L{|ppg^{} lnp'Ac{po:pV{l "+©L¸É &½ÏÊ} lnp{pV'O p_'OA}cª{Hc?|}=} lnpp_} ªo:pg{:{
oAz=n||pg{Â,lnª§©p,}lnp,}ln©:ps'OO}cª{E¬ÌOn} ªo:pg{ÂoHO p,Rnpg{Â:{Ê'O{|pg pVHO{E} lp ¿ np
o:pV{l"+ª¸H &½¸:k%lnp:{n ¬Cp=o:pV{lc¬Ú} lnp:n§J}pH{ nlnpg Oª¦ª{cn{} '} npgº} ªnn§J}©O
¬ÌO§©§ªJ,ªn} lpn§J}p'n²JJ}n pOÏL} lpn{} '} npg}p'}lnpg|c§$²§ªno:po:pV{l¦npg½}©
}lnpU?nn©n:? } :}lnp{ n¬CO'puo:pg{ l*{,Opnpgc} pg3Rz} lnp#O On©´»Äspg§ªnÍz:o:p'} lR 6µ¸
»¦|p,}ªA²Opg{} ªOc} pU}lnpp¹?pV½}{¨c¬E}lnpRno:pc§²Rª{'A{©}~z3O¯} lnp=p²Jc§ªc} ª¯c¬ÊĨ3cL
Å$À¬Æ}%'Rp'Ç©pgO}{ÏR} nLJ}©OpÊcLc§ªzR{ {Êc¬!}lnps§ªªnpgÚn²pg'} ª:pgAc} ª3nª{'p'}=<gpg:
pOn§c +n©pV|ªl{´$p§ª§©pg$}~zR?p,ªHc§ª§©J{}Upg{} ªo:c} p·} lp,|pEc¬!|{?p{ ©OH:|ª{{ ©c} ªË¸
k%lª{=c§©z|{ ª{O©²Opg{}lnp
¿
{~}}~Ú¯np?L|pcA}} pg o{ "M'O pg{ LO|ªn*} ¦Onp'´»|ªo:p{ ©Oc§
c§ªz|{{Ú¬Ì{c¶Op¨¬nªp'¬ÌnpV{ { & 9 = 8 % 7G
'&
&
"C &
; 3
%
7 % &G )(
(
"g &
,lpp¨}lnpUoHp} pg{ ±c
;3
lͲOp¨?ppgn pg²R©O{§ªz3|p
¿
npV!¸
k%lp%} lnªHO|pgÊ|pª²Íc} ª²p·} pg o "C &E pgnpg{ pA}{} lps|{?p{ª²p%pg E,lnª§©p%}lnps|{{ªJ}©²Op·} po
"g &Â{%c¬¬Ì}l*OnpV¸
k%lps'Rp'Ç©pgO} ¦'OO} O§ª{} lnpsnª{ Lpg{ ª,lnlª{Âo:©nªoc§L¬Ì 9 U
nÏc}ln{²Jc§ªnp?pªnL{pV
¬ÌOÚo:A{~}%c¬} lnp¨} pV{~}O{pV{¸Ek%lnpc } ¿ 'c§?²Rª{'A{©}~z} lp*Lpuo:Rn¿ pV}lnnOl} lnpU|{{ªJ´
}©²Op}powc¯Lcco:p'}p
; 3
¸#+nO¨OnuAoHpg §{} nzÏ!·p=|p ¿ np:3{ pgAnpL'p¬Ú{ ©o=n§ªc} ª{
Rz3npg'pgO{ªn=} lnpU²J§©np¬}lnpUnRn½}
; 3 {·¬Ì§ª§ªJ{
9 U @
; 3 9 *
+
; 3 78; 9 U
; 3 U C * ,+
;3
7 8@ ; 9 U
; 3 U ! * +
; 3 78:9
@ ;
9 U
;3
U
9-"
*
+
;3
787 " @ ; 9 U
;3
U @ *
+
; 3
787 9 @ ;
ú?> X úÆê
k%lp©n°J t¯lÉRno?p®ª{pg{{pgA} c§ª§©z
¿
|pg J}78:9¸ )Úo:n|}J}©O{'O pg{ ?|ªn*}
7879cp,c§{U?p ¬Ìo:pgHª|pE}{lnJ } lpp'¹`pg'}Âc¬!npg|©} ª©nL¸,RpOÁ{ʧªO{ { c§
{lnpgoHp_c ,Rp´µkn¶p§ZÁ{Unpg'O|©} ªnpVÉ{ lnpgo:p3cp?c} l^Lpg¬ÌO o:pgɱ'Oo:cpg!¸¯k%lnp
n§ªpʬJ}}¶
"M{pgp+©L¸ > &!{{ p'}} ;s|pO pgpg{ˬÌpglo:n|}J}©OcU} lnpÚc} lp p¬Ìppp
AA} ©} ªpg{,cp
T 9 8
) 9 8@-@ ; U &
8 979- 7 7 4
,lppT{·} lnpUo©§ªpn} l*c¬} lnpUn§J}pu{ nlnpg Oª "C{ pp +ª¸ > &'¸
k%lnpĨc0"*&%c*ÅË©¬Æ} "*&ÚRp'Ç'ªpA}{scpu|p
¿
npV3¬ÌO%} lnpV{po:n|}J}©O{%Rz
G
M
"&
= G M
"V &
,lpp¨}lnpcpg ||zRo:ªs¬Ì'pV{·§©OnH} lnp ´µ |ª{"* G &%cc´µ R{"* M &%cpugc§'n§J}pg_Rz
9
=
= = = = " > &
ªÉ,lnl
!
{Up'¬ÌppL'p:cpg "C{ ppkcn§ªp&½Ï
=
|pc} pV{} lpnn©}noc§Ec¬·} lnp{ n ¬Cp
pg§©pgo:pA}gÏn
ª{%}lnpUnpg{{ p'Rp'Ç©pgO} 6
#"
$
%&
" %
"
z y
x
α l /6
l
U8
+ªnp > $^{¶Op'}luc¬R}lnpÂ{ §ª|} ªU|Oo:©{ pg¨¬ÌOËRno:pªgc§{ ©o=n§J} ªL{ËcnL}lnpÊp§ª§ª©{ !Ï
{ lnJ,ªn=} lnp°J |ª pV½} ªcL_AOn©c} pU{ zR{} pgo¸
XKX Û3Y Z
+ªnp¾ )ÚOc{ p²O§ªno:p¾o:pg{ l ! "#
Rnpg{g¸
+ª p +ªnpȲ§ªno:p o:pg{ l 9C 7 @ " ;
n||pg{g¸
)
k%lpLpglͲR©Oc¬}lnpĨ "*&¯ÅË©¬Æ}"L&ApÇ'ªpA}{s,À}lº pV{?pg'}} *|©¹?pg pgO}¨²Í§©pg{¬
;3
ÃLcco:p'}p{={ lnJ,±ª +ªO{g¸!¦ 6*¬ÌOHAp´µkn¶pg§MÁ{{lnpo:p¸ $s{} ln{Hcco:p} pª{
pgn'pV!Ï HcL Â|pg pV{ pc§ªo:O{}s©G§©ªnpVcs%Íz_¬Ì}lnp}lnppo:pV{lnpV{¸5+nu·pgc¶_²Jc§ªnpg{
¬
; 3
ÂÏR} lnpuÅË©¬Æ}%Ĩ'Rp'Ç©pgO}{ÚR²pg Op%} J%cn{Êc} lnpg J cp¬Ë²Í§©pg{Ê,©} l
}lnpuoHpV|ªno2cL ¿ npn{¸xRªon§J}©O{ÚÚpg p¨Lpg¬ÌO o:pg33} lnp{ o:p¨{ pgAnpL'puc¬$o:pg{ lnpV{ÂRz
t¯p <ªnpUcL $snc§ª§`{ªn:Hn pV'O|©} ªnpV3Å$Ä$ "MÅËJ Äs©¹?L{ª $,|²pV½}©O &·{z|{} po {lnpgoHp
¬ÌO¨{ §ª²R©n} lnpH¼n§ªpupgAJ}©O{ ª µ¸5+¨o: {OnnLA{pV{ÏL} lnpg©upg{ n§À}{s p§ª{ n§ªc} } pV
ª +ª¸ ¸2¾©} l*}lnpU'O{ pso:pV{lËÏR}lnpz3|}cªA "8
@
;*9/7
6 & Ïn=²Jc§ªnp,lnl_'O pg{ ?n{Â}
={ªo§ªc} ª,©} l*,Rp'´»k$n¶pg§MÁ{Â{lnpgoHpcL
; 3 78
@
:¸2¾©} l_} lps}~·} lnpg ¿ p·ªn{gÏA} lnp
'Rp'Ç©pgO}{n}cªnpV:Az:tp <g©psc $snc§ª§ pV{?} U²J§©npV{Ê,lnl·n§HlͲp,?ppg
O|}©pgRz,Rp´µkn¶p§ZÁ{Â{lnpo:pc
; 3 78C ;,À}l}lnpoHpV|ªno o:pg{ lËÏ|c
; 3 78@ 9
,©} l*}lnp ¿ npUo:pg{ l˸
$¨{,}lnp?plͲRª¬}lnp=p||zRco:uRp'Ç'ªpA}{sª{s§©ªnpVcVÏn} lp p}©npV¯'Rp'Ç©pgO}{%¬Ìs} lnpV{p
{ ªon§J}©O{%cpup R} c?§J} pV3c}%<pHAoHpg §!²Rª{'A{©}~z,lnl pV{?Ln{Ê}
; 3 7n¸
kc§©p|{ n§ªÍz|{%}lnpg{ pp A}LO§ªc} pV_ApÇ'ªpA}{s|}cªnpg*,©} l} lp ¿ npo:pV{l¬ÌOL} lº,RpOÁ{
,Rp'´»k$ ¶Op§ZÁ{%{lnpo:pg{g¸ 2po: pu} lpg{ pU²Í§©pg{,,©} l*} lO{ pUc¬Êtp <g©np $nO§©§
¬ÌO%} lnp{co:po:pg{ lnpg{,3} lnp{co:p p¬ÌpppUcpg{g¸
» +ª¸ UÏ,ÚpG'o: pº} lnpG pV{n§©}{3|}cªnpg1Rz1,RpÁ{3«,Rp'´»kn ¶Op§ZÁ{3{ lnpgo:pg{O¾} lnp
lO{ p¦{ pgAnpg'pHc¬Âo:pV{lnpV{¸=k%lnpHnÀ¹`ppp:Lp}~Úpgpº}lnpÄsc*'Rp'Ç©pgO}{'pg{ LO|ªn}
}lnpg{ p}~·¦{lnpo:pg{ pV|pg{,©} l |pg pV{ ©n¯²J§©npV{¬
; 3
Ãcco:p'}pVÏ c§ªo:O{}=²Jcª{ lnpg{
¬ÌOu} lnp{ oc§ª§©pV{~}²Jc§ªnp:c¬
; 3
1,À}l¦}lnpo:pg|ªno® ¿ np:o:pg{ lnpg{g¸Hk%lª{u¬ÌpVJ} p:{n_§ªp
} p3,lnpg } lnp_°J ?pgo:pg{²pzÉ{nL{Onª¸ +ª¸¦{ lnJ{U}lJ}:p²Op±,©} l^{ oc§ª§Ú²J§©npV{¬
; 3
ÊÏ}ln{HnÀ¹`ppp3pocª{=c} lnpg=§cp_J} 7879O¸k%lª{=ª{H'O ¿ o:pg RzÉ} lpt¯Ol
Rno=Lpg¨{ J²Í§©pg{O¯} lp ¿ npV{~}©G pgª{§©A{p} 3} lnpHpg|Opg{¬Ì 7879 "+ª¸:V &½¸
$¨{Up|?pg'} pgËÏ$p:gcÉc§{n} 'p:ª +ª¸*}lJ}U}lnp|c*²Í J}©On²p=¬Ì,Rp´µkn¶p§ZÁ{
{lnpgoHp_ª{:{ ©o:ª§ªHc} 7 8=9*c 7 87 9Ï'OA} cz¦}G,lc}=·p_O{ p²p¬ÌOH,RpOÁ{
{lnpgoHpO¸^k%lnpV{ppg{ n§À}{:cp3p|n§cªnpV^RzÉ} lp*,G{ zRo:|} } 3?plͲRª:c¬u,RpÁ{H{lnpgoHp
ú?> X úÆê
,©} l { oc§ª§Ât¯lGAo?p{©n'ªn©É}ªn§cUcpn'pV{ { ª²pH²A{'O{ ©}~z¯G} lnpo:o:pgO}no
pVAJ}©O{ÏA|Í,O¶,lnlª{·'O pg'} pV=Rz:k$ ¶Op§ZÁ{Ân pV'O|©} ªnpgùcµ¸ pV{ { np,ª{ J²Jc§ªnpg{
¬ÌO
7 8=9 pnpn½}pgɪ +ª¸O¸ 2pn} 'pOÏ,©} l±,RpOÁ{={ lnpgo:pÏO{'ª§©§J}©O{,lnl
n3n}¨p|{~},lnpg¦,Rp'´»k$ ¶Op§ZÁ{¨{ lnpgo:p{¨L{pV!¸uk%lª{s¬Ìpgc} np{up|n§cªnpg¯Rz*} lp}A_ÚpVc¶
²R{ O{ À}~zªA} ||'pV3O3}lnpUppzpgAc} ª*Rz3,RpÁ{{lnpo:pu¬Ì%§ªJ t¯Ol_Rno=Lpg{gÏ|,lnl
ª|L'pg{¨§¶*c¬Ê{~}cnª§ªÀ}~zc¬E}lnª{u{lnpo:pU¬ÌOs§ªJÎ{ ?ppg¯°J{ -} ln{u{lnO}'OoHªn{s pV½} pV
,©} l¯kn¶p§ZÁ{Ú pV'L|À}©Onp#ùcZ¸
0.00625
0.00399
0.00167
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
gamma_s*beta
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.011
Drag coefficient Cd
Coarse mesh Medium mesh Fine mesh
Mezine&Abgrall (gb = 0.27) Mezine&Abgrall (gb = 0.435) Mezine&Abgrall (gb = 0.213)
+ªnp =Äsc¯'RpÇ©pgA}²p{ {
; 3
¾J´
co:p} p%{ ªn,Rp'´»k$n¶pg§MÁ{%{ lpo:p¸
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
gamma_s*beta
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007
Lift coefficient Cl
Coarse mesh Medium mesh Fine mesh
+ª p 6 ÅË©¬Æ}ApÇ'ªpA}_²Op{{
; 3 J´
oHp} pg·L{ªn,Rp'´»k$ ¶Op§ZÁ{%{lnpo:p¸
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
gamma_s*beta
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055
Drag coefficient Cd
Coarse, Roe-Turkel Coarse, Roe Medium, Roe-Turkel Medium, Roe Fine, Roe-Turkel Fine, Roe
+ªnp2U ËÄscApÇ'ªpA}²Op{{
; 3 -O'oH´
Lcª{ Lp}~Úpgp ,RpOÁ{º7,Rp'´»kn ¶Op§ZÁ{
{ §ª²pgg¸
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
gamma_s*beta
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Drag coefficient Cd
Mach=0.01, Roe-Turkel Mach=0.01, Roe Mach=0.1, Roe-Turkel Mach=0.1, Roe
+ª p#»n°npL'pc¬%npg|©} ª©nO
} lnpUĨ:Rp'Ç'ªpA}§ªn§ªc} ª3¬Ì
7879c
¿
npUo:pg{ l˸
XKX Û3Y Z
+ªnpUg ~{ J²Jc§ªnpg{E¬?}lnputºl:Rno?p¬ÌO 7 87 9c
;3
7 8=9 @ ;¨,©} l3,Rp´µkn¶p§ZÁ{
{lnpgoHp "Ì} &%c*,RpÁ{{lnpo:p "Ì?c} } o &·O3}lnp ¿ npUo:pg{ l "~gOO On||pg{ &½¸
ú?> X úÆê
xRO§©²Op Ĩ:Rp'Ç'ªpA} ÅË©¬Æ}s'Rp'Ç'ªpA}
,Rp @ 8 9/7
6 ( 9 8 C97
6 &
,Rp'´»kn ¶Op§ C 87 @ 9/7
6 ( 9 8@ ; 97
6 (
tp <g©np $nO§©§ 9 8" 9/7
6 &
;8=9 *97
6 &
,p¬Ìppp pV{ 9 8 U 9 @ 7 9 8 7 U @ C
kc§©pH E¼ R} c?§J}pg3Ĩc=3Å$À¬Æ}ApÇ'ªpA}{·J} <pg =AoHpg §!|ª{{ ©c} ª "; 3
Î &ÊO
}lnp ¿ p,oHpV{l4"AOARnpg{ &½¸Ek%lnps'O pg{ ?|ªnu p¬ÌpppcpgO{E{pVH©p R pV{ { ©O " > &Ecp
§ª{ Hª²p$¸
+ªnpsO ~{ J²Jc§ªnpg{$c¬n}lnpÂnpg{{ n pÂ¬Ì 78:9Ú
;3
7 8=9 @ ;·,©} lH,Rp'´»k$n¶pg§MÁ{${lnpgoHp
"C§©p¬Æ} &,*,RpÁ{,{ lnpgo:p "C ªlA} &·_} lnp
¿
pUoHpV{l " 9 C 7 @ " ;n||pg{ &½¸
XKX Û3Y Z