TS DS 2 2013-2014
EXERCICE 1 : (6.5 points)
Soitf la fonction définie sur ]0; +∞[ parf(x) =x r
1 + 1 x2. On admet que la fonctionf est continue sur ]0; +∞[.
1. Déterminer la limite def en +∞. 2. En remarquant que pourx >0,x=√
x2, calculer la limite def en 0.
3. Prouver que f est dérivable sur ]0; +∞[ et que pour tout x > 0, f′(x) = 1 r
1 + 1 x2
. En déduire le sens de variation def sur ]0; +∞[.
4. On considère l’équation (E) : r
1 + 1 x2 = 2
x.
(a) Prouver que pour x >0, l’équation (E) est équivalente à l’équationf(x) = 2.
(b) Au regard des questions précédentes, prouver que l’équation (E) admet une unique solutionx0dans ]0; +∞[.
Donner un encadrement d’amplitude 0,01 dex0. (c) x0est-il égal à√
3 ?
EXERCICE 2 : (5 points)
On dispose de deux dés cubiques non truqués. Le premier dé a cinq faces rouges et une face verte. Le deuxième a une face rouge, deux vertes et trois bleues.
On jette les deux dés. Tous les tirages sont équiprobables. On regarde la couleur des faces supérieures de chaque dé.
1. Représenter l’expérience aléatoire décrite par un arbre pondéré (R1:« face rouge avec le premier dé » ,R2:« face rouge avec le deuxième dé » , etc . . . )
2. On note :
• Al’événement « les deux faces sont rouges » ;
• B l’événement « les deux faces sont de la même couleur » ;
• C l’événement « l’une des faces rouge et l’autre est verte » ;
• D l’événement « les deux faces sont de couleurs différentes » .
Exprimer l’événementAen fonction deR1 etR2. Expliquer pourquoip(A) = 5
36 etp(C) = 11 36. Calculerp(B) etp(D).
3. A chaque jet de ces deux dés est associé un jeu qui permet :
→ un gain de 5 euros si les deux faces sont rouges.
→ un gain de 2 euros si les deux faces sont vertes.
→ une perte si les deux faces sont de couleurs différenets.
On notexle montant en euros de cette perte.
On définit ainsi une variable aléatoire X qui, à chaque jet de deux dés, associe le gain ou la perte réalisés.
Déterminerp(X = 5),p(X = 2) et p(X =−x).
Un tel jeu est dit « équitable » lorsque l’espérance mathématiqueE(X) = 0 ; déterminer la valeur dexcorres- pondante.
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EXERCICE 3 : (4.5 points)
On considère la fonctionhdéfinie surRpar :
h(x) = (sin(x) + cos(x))3 On noteCh sa courbe représentative dans un repère.
1. Montrer que pour toutxréel,f′(x) = 3 cos(2x)(sin(x) + cos(x)). (formule cos2(x)−sin2(x) = cos(2x))
2. (sujet à rendre avec la copie) Compléter le tableau de variations suivant, en y faisant figurer les variations (flèches) et les valeurs des images :
x Signe deh′(x)
Variations deh
0 π4
3π 4
5π 4
7π
4 2π
+ 0 − 0 − 0 + 0 +
3. Déterminer une équation de la tangente àChau point d’abscisse π 2. 4. On considère la fonctiong définie surRpar :
g(x) = 2√ 2 cos
−2x+π 2
(a) Calculergπ 4
etg′π 4
.
(b) Que peut-on en déduire pour les courbesCh etCg?
EXERCICE 4 : (4 points)
Les trois quarts d’une population sont vaccinés contre une maladie contagieuse. On estime que sur la population totale, 10% des individus sont malades et que 18% sont non vaccinés et sains.
On choisit un individu au hasard dans cette population.
(on noteM :« l’individu est malade » etV :« l’individu est vacciné »)
1. Traduire les 3 informations numériques de l’énoncé en termes de probabilités. Représenter la situation avec un arbre pondéré incomplet (commencer par V etV, compléter avec les probabilités connues).
2. CalculerpV(M). En déduirepV(M) puis p(V ∩M).
3. En exprimant les issues qui composent l’événementM, calculerp(V ∩M).
4. Sachant que l’individu choisi est vacciné, quelle est la probabilté qu’il soit malade ?
EXERCICE 5 : (Bonus) (1.5 points)
On considèref définie sur [0; +∞[ par :
f(x) =√
4x3+x2 f est-elle dérivable en 0 ?
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