TS2 DS6 Février 2004 Exercice1.
Cet exercice comporte deux questions indépendantes. Chaque question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a., b., c., d.
A chaque affirmation est affecté un certain nombre de points ; Chaque réponse exacte rapporte la moitié des points affectés
; chaque réponse fausse enlève le quart des points affectés. Ne pas répondre rapporte 0 point.
Cocher, pour chaque affirmation, la réponse qui vous paraît juste. Aucune justification n’est demandée pour cet exercice.
1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 noires. L’expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On efectue n tirages indépendants et avec remise, n désignant un entier supérieur à 10. SoitX la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées.
Affirmation
V F
a. X suit la loi binomiale de paramètresnet 1 4. b. P(X= 0) = 1
22n
c.P(X <5) = 1−P(X >5) d. E(X) = 0.75n
2. Une maladie atteint 1% d’une population donnée.
Un test de dépistage de cette maladie a les caractéristiques suivantes :
FChez les individus malades, 99% des tests sont positifs (et 1% sont négatifs)
FChez les individus non malades, 98% des tests sont négatifs (les autres sont positifs) Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test.
On note M l’événement : "l’individu est malade" et T l’événement : "le test pratiqué est positif.
Affirmation
V F
a. PM(T) +PM(T) = 1.01 b. PM(T) +PM(T) =P(T) c.P(T) = 2.97·10−2
d. Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois que l’individu testé ne soit pas malade
Exercice2.
On considère la fonctionf définie surRparf(x) = 1 2
¡x+ (1−x)e2x¢ On noteC la courbe représentative def dans un repère orthonormal³
O;−→i ,−→j´
(unités graphiques 2 cm) 1. a. Déterminer ls limites def en−∞et en+∞
b. Montrer que la droite(D)d’équation y=x
2 est asymptote àC. 2. Montrer quef est dérivable surRet calculerf0(x).
3. Soitula fonction définie surRparu(x) = 1 + (−2x+ 1)e2x. a. Etudier le sens de variations deu.
b. Montrer que l’équationu(x) = 0possède une soltionαunique dans l’intervalle[0; 1].Déterminer une valeur approchée par excès à10−2près deα.
c. Déterminer le signe deu(x)suivant les valeurs dex.
4. Etudier le sens de variations def puis dresser son tableau de variations.
