Sur la théorie ondulatoire des électrons positifs et négatifs

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Sur la théorie ondulatoire des électrons positifs et

négatifs

Al. Proca

To cite this version:

SUR LA

THÉORIE

ONDULATOIRE DES

ÉLECTRONS

POSITIFS ET

NÉGATIFS

Par AL. PROCA.

Institut Henri

Poincaré,

Paris.

Sommaire 2014 Les principales difficultés

_analytiques

_{que rencontre la théorie des positons} de Dirac sont dues à l’existence des solutions à énergie négative. Se basant sur l’exemple de l’équation "de Gordon, analysé par Pauli et Weisskopf, l’auteur essaie d’établir une théorie d’où ces difficultés soient exclues. Pour cela, il cherche d’abord une _équation fondamentale _{qui présente à} la fois les _{carartéristiques} de cellede Gordon _{(énergie toujours positive,} charge des deux _signes) et de celle de Dirac (existence d’un spin et d’un

moment _{électromagnétique).}

L’auteur pose à priori certaines conditions que devrait remplir la théorie et trouve les équations

fondamentales. Il montre ensuite que la théorie a les _{caractéristiques} suivantes : elle est invariante du

point de vue de la relativité et présente également l’invariance de _jauge; le passage au cas d’un _champ

se fait à la manière usuelle ; la fonction d’onde n’a que quatre composantes complexes (qui forment un vecteur _{d’univers);} il est possible de définir un courant qui satisfait à une _équation de conservation, et une _{charge qui peut} être _positive ou _négative, de sorte que la théorie embrasse aussi bien le cas des élec-trons _positifs que celui des électrons négatifs; on _peut former un tenseur symétrique d’énergie-quantité

de mouvement satisfaisant à une _équation de continuité et tel que l’énergie soit _{toujours positive;} et enfin on _peut définir le moment magnétique de la _{particule ainsi que} son _spin.

Introduction. - La

théorie

des

« troiis» de Dirac

est actuellement la seule

_qui

_permette

des

_prévisions

sur le

_comportement

des

_positons;

la découverte

expé-rimentale de ces derniers en a confirmé

_{l’hypothèse}

fondamentale et a montré que

l’équation

_proposée

ren-dait

_compte

aussi bien des électrons

_positifs

_{que des} électrons

_négatifs.

Toutefois les difficultés

_qu’elle

ren-contre restent

_{considérables ;}

sans

_parler

des

_énergies

propres

infinies,

la structure même de la théorie en

fait

_surgir

_d’autres,

dont le moindre inconvénient est de rendre très malaisée

_l’analyse

des cas les

_plus

simples.

On sait en

_quoi

consistent ces difficullés. Pour décrire un

_positon.

On a besoin de

_postuler

l’existence d’une

densité uniforme mais infinie d’électrons

_négatifs,

sans interaction mutuelle. Seuls les écarts à

_partir

de cette distribution uniforme doivent être considérés

comme

_{observables ;}

toute

_{place inoccupée}

sur un

niveau

_d’énergie

_négative.,

tout « trou », constitue un

positon.

On a souvent

_souligné

ce

_qu’il

_y a de difficilement

acceptable,

du

_point

de vue

_physique,

dans

_{l’hypothèse}

d’une distribution infinie d’électrons. Du

_point

de vue

mathématique

elle nous

_oblige

constamment à évaluer des différences entre des

_quantités

dont nous savons à

l’avance

_qu’elles

sont infinies. Et

_cependant

les résul-tats

_qu’on

a _{pu obtenir}

_{jusqu’à présent}

semblent bien

montrer _{que cette théorie}

_représente

correctement la réalité.

Indubitablement,

les difficultés

_{précédentes}

sont

dues aux solutions de

l’équation

de Dirac caractérisées par une

_énergie

_{cinétique négative.}

Ces solutions n’ont

pas de sens

_physique.

Pour les relier à

_quelque

choses

ayant

un

_tel

sens il faut faire des

_suppositions

d’un

caractère nécessairement

artificiel,

comme _par

_exemple

l’hypothèse

d’une densité infinie d’électrons. Il est

très

_probable

_{que si}

_{l’équation}

de l’électron excluait

automatiquement

ce

_type

de

_solulion,

toute difficulté de ce _{genre s’évanouirait. Nous} en avons même un

commencement de preuve. Mn, Pauli et

_Weisskopf,

dans un mémoire fondamental

_(~),

ont

_remarqué

_que

si la fonction d’onde de l’électron était donnée par

l’équation

relativiste de

_Gordon,

aucune des difficultés

précédentes

ne serait à craindre.

En effet

_d’après

la théorie de Gordon

_l’énergie

de la

_particule

élémentaire est

_{toujours positive,}

tandis que sa

_charge

_peut

être aussi bien

_positive

_que

_négative.

La même

_{équation représente}

à la fois les

_négatons

et les

_positons,

sans

_qu’il

soit besoin de recourir à

l’hypo-thèse de l’existence d’une densité infinie d’électrons. De

_plus,

Pauli et

_Weisskopf

ont _{montré que} les résul-tats

_qu’on

obtient dans le

_problème

de la

_production

des

_paires

_pour les

_grandes

_énergies

ou dans celui de

la

_polarisation

du vide sont les

_mêmes,

_{que l’on}

_parte

de

_{l’équation}

de Gordon ou de

_{l’hypothèse}

des « trous». En face du

_problème

du

_positon

deux attitudes sont

donc

_{possibles :}

celle de

_Dirac,

_Heisenberg,

_etc.,

-

qui

prennent

comme

_point

de

_{départ l’équation}

de Dirac

(énergie

de deux

_signes,

_{charge toujours positive) ;}

ou

celle de Pauli et

_{Weisskopf, -}

_qui

_préconisent

_l’emploi

d’une autre

_équation

conduisant à une

_énergie

_positive

et à une

_charge

de deux

_signes.

Il est clair que les faits

expérimentaux

seraient en

faveur de cette seconde manière de voir si l’on connais-sait une

_équation

de

_départ

_{convenable, équivalente}

dans ses

_{conséquences}

à celle de Dirac.

(1) I-Ielvelica _Physica Acta, 1934, vol.

_7,

fase. 7, p. 109. Voir aussi une conférence de W. Pauli, Annales de f Institut Henria Poincaré (sous presse).

348

L’équation

de Gordon

_employée

_{par Pauli et}

Weiss-kopf

ne _{convient pas. Elle} ne _{rend pas}

_compte

du

_spin

de l’électron et c’est là

_probablement

son

_plus

_grave

défaut. Cela a comme

_conséquence

_{le fait que le}

traite-ment

_indiqué

_par ces auteurs ne

_peut

_{s’appliquer}

_que

si l’on admet pour les

particules

en

_question

la

statis-tique

de

Bose-Einstein,

ce

_qui

est manifestement

incor-rect. Il est

_impossible

~Pauli,

loc.

_{cit.,) d’employer}

avec l’équation

de Gordon la

_statistique

de Fermi-Dirac,

comme on devrait

_pouvoir

le faire.

Si l’on veut donc

_procéder

comme ces

auteurs,

la

première

des choses à faire consiste à trouver une

autrc

_équation

que celle de Gordon

qui jouisse

des

propriétés

de cette dernière et soit mieux

adaptée

qu’elle

à la

_description

d’un électron. _{Il y} a donc lieu

de

_reprendre

les raisonnements

_qui

ont conduit Dirac à établir son

_équation

et à les modifier de

façon

à en

obtenir une autre

_plus

satisfaisante.

2. Conditions à

_remplir

par

l’équation

fonda-mentale. - A la lumière des découvertes

expérimen-tales

_récentes,

l’obtention d’une

_équation

de ce _genre

me _{semble pas}

_impossible

a

_{priari ;}

examinons

_quelles

doivent être les

_principales

conditions

_qu’elle

aurait à

_remplir.

Remarquons

d’abord que

_{l’argumentation}

de

_Dirac,

qui

l’avait conduit à établir son

_équation

à une

_époque

où l’on ne _{connaissait pas l’existence} et _les

pro-priétés

du

_positon,

n’est

_plus

convaincante

_{aujourd’hui}

quand

on connaît le

_phénomène

de la

_production

et

d’annihilation des

_paires.

La _discussion correspon-dante a été _{faite par Pauli} et

_{Weisskopf qui}

ont

remarqué :

10

_Qu’à

cause de la

_production

des

_paires

il n’est

plus possible

de se limiter en

_{mécanique quantique}

au

problème

d’un seul

électron ;

les résultats

expérimen-taux connus ne

_peuvent

coïncider

qu’avec

les

prévi-sions

_théoriques

déduites de la résolution d’un pro-blème de

_plusieurs

_corps.

2o

_Qu’il

_n’y

a

_plus

de sens

_physique

à

_parler

d’une densité de

_{particules ;}

la densité de

_charge

_par

_contre,

ainsi que la

charge

elle-même,

conservent un sens

physique précis

et sont des

_quantités

observables. La

charge

comprise

dans un volume

_donné,

considérée comme

_opérateur,

a _{des valeurs propres}

proportion-nelles aux nombres entiers

_positifs

et

_négatifs.

Il résulte de ces _remarques

_{qu’il n’y}

a

_plus

aucune

raison valable pour

postuler

comme forme

particulière

de la densité de

_charge

ainsi que le fait Dirac pour établir son

_équation.

Une

conséquence

immédiate en est _que

_{l’équation}

fonda-mentale ne doit

_plus

être nécessairement en

c~ ~! r/ôt :

l’équation

de Gordon est bien dans ce cas.

Nous

verrons au

paragraphe

suivant de

_quelle

manière

on

_peut

_{utiliser le raisonnement de Dirac pour établi}

la nouvelle

_équation.

Quoi qu’il

en

_soit,

cette nouvelle

_équation

doit

satisfaire aux conditions

_{ci-après :}

1. - Elle doit

présenter

relativiste et

électroîiiagîïétiqzie

(invariance

de

_jauge).

2. - La

fonction

d’onde rze doit avoir que

_quatre

com-posantes.

En

effet,

quatre composantes

suffisent dans la théorie de Dirac pour rendre

compte

des

_phénomènes

connus et il

_n’y

a aucune raison de

_dépasser

ce nombre.

Au

_surplus,

il semble facile d’établir une théorie à un

plus grand

nombre de

composaiites,

mais il est clair

qu’une

pareille

tentative serait sans intérêt tant _que

l’expérience

ne nous _{l’aura pas}

_imposée.

3. -

Le passage

au cas de /’ existence d’un

_chanlp

exié-rieur doit se

_faire

cornnie

_toujours

en

_ajoutant

aux

opérateurs i h à X,

les

_{opérateurs -(D,}

du

_potentiel

de ce

i

_x

clcarnp.

Il

_n’y

a aucune raison de renoncer à cette

con-dition

_qui

_s’impose

_{pour des raisons de} correspon-dance.

~. - On doit

former

un vecteur d

l’ejyrésentant

la densité de courant et de

_charge.

5. - Ine vertu de

l’équation fondanlentale,

ce C01l1YUlt doit

_satisfaire

à une loi de

_{conservation,}

aussi bien en

présence qu’en

absence d’un

_champ.

6. - La

coniposante

de

_temps

de ce - la

den-sité de

_charge,

- doit

pouvoir

être

_positive

ou

iiéqa-tive. Cette condition est essentielle. 7. - On doit

pouvoir former

un tenseur

_symétrique

clu second rang le tenseur densité

_d’énergie

-

quantité

de mouvenlent.

8. - En vertu de

fondamentale

ce tenseur’ doit

_satisfaire

à une loi de conservation de la forme

1 rrt 1 -1

jr

est le courant et

_Frk

le

_champ

extérieur.

9. - La densité

_d’énergie

être

_positive

ou

nulle,

sort

_e.Tpressinn

devra donc être une

_{forme définie}

positive,

cela aussi bien en absence

_qu’en

_présence

d’un

_champ

extérieur. Cette condition est essentielle. 10. - On doit

pouvoir

mettre en évidence

d’zttt

_sl)in

et d’un moment

3. Indications pour le choix d’une

_équation

fondamentale. - Les raisonnements par

lesquels

on

arrive à

_{l’équation}

fondamentale ne

_peuvent

avoir un

caractère

absolu;

ils ne

_servent,

en

_{fait, qu’à guider}

notre choix. Une fois ce choix

_fait,

on

_postule

l’équa-tion trouvée et l’on

_justifie

ce

_postulat

_{par les}

résul-tats obtenus. Il en était ainsi d’ailleurs dans la théorie de Dirac et certains raisonnements

_employés

à cette

_occasion,

convenablement

_modifiés,

_peuvent

encore servir.

Notre

_point

de

_départ

est la condition 9 suivant

laquelle

la densité

_d’énergie

doit être

_{représentée}

par

où les

_P

r

peuvent

être soit les

composantes

d’une

fonction que nous

_appellerons

la « fonction

_{d’onde »,}

soit

_plus

_{généralement}

des

_fonctions

de celles-ci. La conservation de

_l’énergie

_{s’exprimera}

_par

l’intégrale

étant étendue à un volume convenable ou

bien à tout

_l’espace.

On

_pourrait

en déduire comme en

théorie de Dirac

_{(1) qu’à}

un instant déterminé on ne

peut

assigner

simultanément des valeurs arbitraires à

Donc les (D satisfont des

_équations

linéaires en

_à/ôt

et,

par

symétrie,

linéaires aussi en

_àjàxro

D’autre

part,

la relation fondamentale

-conduit à

_{l’équation}

du second ordre

et il est naturel de

_postuler

comme en théorie de Dirac que celle-ci est satisfaite dans le cas de l’absence de

champ.

Nous devons donc linéariser

₍₂₎

c’est-à-dire trouver

un

_système

_{d’équations}

dont

₍₂₎

soit la

_{conséquence.}

Or,

seule la solution de Dirac conduit à une véri lable linéarisation et celle-ci ne

_{convient pas}

à notre

_problème.

On en déduit que les

_{(D, ne}

_{sont pas les} « fonctions

d’onde » ,

ou

_plutôt

_que

_{l’expression}

de

_l’énergie

ne

con-tiendra pas

uniquement

des termes

_dépendant

directe-ment des fonctions d’onde _{Il y} aura aussi des termes

qui

seront nécessairement des combinaisons

_désuet

des et l’ensemble

permettra

une sorte de « linéarisa-tion » ; un

exemple,

fera mieux saisir en

_quoi

elle consiste. Prenons comme

_équation

à linéariser

Le

_système

où ~ est un

scalaire a

_{comme conséquencela}

relation

_(f);

il suffit de dériver

₍₄₎

et

_d’y

substituer

_(3).

Il est clair

cependant

que

l’équation

fondamentale reste celle du second

_{ordre qui}

_{définit +}

les _{déduisent par des}

_équations

du

_{premier ordre.}

~1~ PAULI. Handbuch der _Physik, vol. 19, p. 211.

Quoi qu’il

en

soit,

si l’on se donne le scalaire

com-plexe ~

satisfaisant à

_(5),

on _pourra en déduire les

(P

par

(3),

et,

par

conséquent,

écrire un tenseur du second rang dont la

composante

de

_temps

sera une forme

_positive

définie. Cela montre

_qu’on

_peut

établir de cette

_façon

une théorie d’une

_particule

à

_{énergie positive.}

L’équation

fondamentale

₍₅₎

est de Gordon

et la théorie

_{correspondante}

a été

_développée

_{par Pauli}

et

_Weisskopf.

Elle

_remplit

bien _{les conditions du}

para-graphe

10. En

_{généralisant}

le

procédé précédent,

nous trouverons un autre

_système

qui

satisfasse aussi à ces deux dernières conditions.

Dans

_{l’exemple précédent}

le

_~,

la fonction

_d’onde,

est

un scalaire.

Or,

nous avons besoin d’une

_grandeur

à

quatre

composantes

complexes.

On

_peut

_prendre

deux

spineurs

Yr,

1 /s’ On

pourrait prendre

un vecteur

com-plexe

formé en combinant les

_{quatre composantes}

des

deux vecteurs réels

_{ars, bis.}

On

_pourrait

aussi

_prendre

les 2

X 2 == 4

composantes

complexes

d’un

_spineur

du second

_{rang 9rçet}

là

_{s’arrêtent les:possibilités simples(’).}

La solution par deux

spineurs

est la solution de Dirac

_qui

ne convient pas.

_Ensuite,

se donner un _g,.s

revient à se donner un tenseur

_{antisymétrique}

du second

_{rang àcomposantes}

réelles

₍₂₎

etdeux invariants. Enfin la dernière

solution,

celle

_{qui prend}

comnié fonc-tion d’onde un

vecteur,

est la

_plus

_simple;

c’est celle que nous allons

_adopter.

L’exemple précédent

est

_{complètement}

caractérisé

lorsqu’on

se donne la fonction de

_Lagrange

correspon-dante,

qui

est,

d’après

Gordon,

Le tenseur densité

_d’énergie

les

_équations,

etc.,

s’en déduisent immédiatement. Cherchons le L

_possible

dans le cas d’une fonction d’onde vecteur d’univers

_~,.

L est un

_invariant;

il

apparaît

additivement dans

_{l’expression}

T44-

et _par

conséquent

sera

_constitué,

comme

_{l’énergie,}

_par une somme de termes de la forme Parmi ceux-ci il y en aura : Il des termes contenant

_{explicitement}

les

_composantes

de la

_{fonction ~ ;}

la combinaison invariante la

_{plus simple qu’ils puissent}

former est

(1) On pourrait cependant prendre des grandeurs à plusieurs indices en. leur _imposant certaines conditions de symélrie; par

ex. g,,st, antisymétrique en s et t, n’a que quatre composantes

non nulles.

350

et

_2°)

des termes formés en combinant et La combinaison la

_{plus simple}

serait la

_divergence

A = _{on constate}

_qu’elle

_{ne convient pas. Le}

second

_degré

de

_complication

serait A = un tenseur du second rang du

type

() ’frÍôxs

et

_plus

_{particulièrement}

celui

_qui

a le nombre minimum de

_composantes,

à savoir le rotationnel dit vecteur

Le

_Lagrangien

le

_{plus simple}

sera donc de la forme

où k est une _{constante que} nous

_prendrons,

_{pour des}

raisons

_qui

_{apparaîtront}

_{par la}

suite,

proportionnelle

à la masse _{propre. Nous écrirons}

_{explicitement,}

_par

hypothèse,

pour le cas de l’absence de

_champ

avec la convention de sommation habituelle. Le

La-grangien

pour le cas d’un

_champ

extérieur se déduira

du

_précédent

par la

règle

connue

_{(condition 3),}

¥ JI.

4.

Notations.

Fonction

de

_{Lagrange. -}

Pour

des raixons

qui

seront évidentes dans un

_instant,

nous

n’adopterons

pas des

notations

analogues

à celles

employées

en théorie de

_{Dirac ;}

il

_n’y

aurait à le faire

aucune

_difficulté,

_{mais pas}

_d’avantage

immédiat. Considérons donc un vecteur

_’+1’

_{== al’}

₊

i

_br

et son

complexe conjugué

If-

.~

al’ - i

br.

Nous pouvons

dé-velopper

la théorie dans l’univers défini

_{par x,}

~--

x, X2 == _{y, X3} = _{S, xo} = ct. Pour la

symétrie

des formules

il est

_cependant

_avantageux

d’admettre une

_quatrième

coordonnée

_{imaginaire ;}

toutefois,

il faut dans ce cas

prendre

certaines

_précautions

_pour

obtenir

les condi. tions de réalité correctes.

Il

suffira

_{pour cela d’écrire les coordonnées} sous

la

forme

Xi = y; $3 -;=: y;

(7)

e étant une

unité

_complexe

telle que

~2 == -1,

commu-table avec l’autre unité

_{imaginaire i}

_{qui apparaît}

dans

l’expression des,~,.

Il sera donc faux d’écrire ci

_{~ -1,}

mais on aura si = 1 1.

L’astérisque indiquant

le

coni-ple-xe conjugué,

cîtanqe

le

_signe

de i

_pas

celui deE. Les

_composantes

_d’espace

_{de tr}

_{seront a, -~- ibr,}

ar,

b,

réels

(1~ ==

1, 2,

3),

et la

composante

de

temps

,~4

--_ ~ a’* +

1£

_bB

avec

~c‘,~,

b’~,,

réels La

_complication

introduite par

l’emploi

de deux unités

_complexes

est

rachetée par

t’avantage

de la

_{symétrie. D*ailleurs, e}

dis-paraîtra toujours

lorsqu’on

passera à la variable t ; au

surplus,pour plus

de clarté nous éviterons

_d’employer

l’astérisque

pour des

fonctions

des

~~;

nous

_indiquerons

par des lettres différentes cette fonction et sa

_complexe

conjuguée.

Posons enfin

1

Cela

_état,

considérons le cas de l’absence de

Nous poserons

l1’’,,S

et sont

_complexes

_conjuguées;

elles

con-tiennent un e en facteur

_chaque

fois que l’un des indices r ou s est

_égal

à 4.

Par

_hypothèse,

le

_Lagrangien

du

_problème

sera dans

ce cas

Il étant la constante de Planck divisée par 2z.

On passe au cas où il existe un

_champ,

_{défini par} un

_potentiel

par les substitutions

(’).

Pour

simplifier

l’écriture posons :

Posons encore

F rs G,.s

sont des tenseurs

_{antisymétriques}

du second

rang. La fonction de

Lagrange

dans le cas d’un

champ

s’écrit

_alors,

avec

la

convention de

sommation

habi.

tuelle :

5.

_Equations

fondamentales. - Les moments

soiit t

Les

_équations

fondamentales

prennen

la forme

auxquelles

il convient

_d’ajouter

les

_{équations (1~)}

de liéÎtt11tr011 des

grandeurs

intermédiaires et

_C,.s.

Elles ont la forme des

_équatioiis

de llaxwell

_(pour

un «

_potenliel

»

_{imagiiiaire) complétées}

_{par des} élé-ments

_{représentant}

l’influence du

extérieur ;

on

_peut

déduire de ce fait un certain nombre de

consé-quences que nous

_négligeons

_pour l’iostant.

Elles

_présentent

ben l’invariance relativiste et

élec-tromagnétique ;

les trois

_premières

conditions du _para

graphe ?

sont donc

_rernplie:î

Eliminons

_G,,S,

On a en

_général

Posons

[Aes

_éf!UatiQL1S

foiid4tuentiles

deviennent t

Dans

le cas de

l’absenoe

de

_champ

et

_pourvu

_que

/;,

donc la /liaSSe de la ne

suit

pas

ni4lle,

condi-tion

_essentielle,

on déduit _que

1 O.

(26)

En effet,

deviennent dans ce cas

el en

_appliquant

on déduit le résultat s

annoncé

_(2t;).

Donc,

PI1 abs(JJlce due

_chanlP,

les

_équations

son! des

équaliojis

du de

Dans le cas

_{général, appliquons l’opérateur}

..,

7

Õ

à

_{( 1) ;}

on aura :

donc,

si le - 0 _et seulement dans _{ce cas :}

Remarquons

tout de suite d’autres relations intéres-santes.

En vertu de

₍₁₇₎

les sont des tenseurs

aitti-on a donc

Les

équations

fondamentales

_permettent

d’eu déduire

6. Existence et conservation du courants Nous définissons le

courant,

comme l’a fait Gordon

d’après

Mie,

au _moyen de la dérivée de la

fonction

de

Lagrange

par

rapport

au

_potentiel,

_changée

de

_signe

soit,

en vertu de

(i~)

li

est _{clair que}

₍₃₀₎

est un vecteur d’univers.

Il satisfait

toujours a

une loi de

conservation

~~~‘S ~:

0.

En

effet,

on a

-Un

verlu des

_équallons

fondamentales

cela

est

_égal

à

et en vertu du

caractère

antisymétrique

de

_Gr.

Il existe donc un

_{vecteur j.,}

satisfaisant à une loi de

conservation ;

pour que nous

_puissions

affirmer

_qu’il

représente

bien un

_courant,

il faut encore _que,

com-biné avec le

_champ

_{électromagnétique}

il fournisse ben

l’expression

de la forue telle

quelle

résulte de la divei -gence du tenseur

_{d’énergie;}

nous montrerons

_qu’il

en

est bien ainsi.

352

elle

_peut

des valeurs aussi bien

_positives

_que

né,gatives.

7. Tenseur

_{énergie. quantité}

de mouvement et loi de conservation. - Pour établir à la fois

l’expression

de ce tenseur et sa loi de conservation

procédons

comme

_{Schrôdinger.}

Dérivons la fonction de

_Lagrange

_par

_rapport

à _{x?, p}

_quelconque;

on aura :

donc en vertu des

_équations

fondamentales :

Soit

_Hrs

le

_{champ électromagnétique}

extérieur

_{et js le}

courant

Nous avons démontré que

d8j.

=

_0;

donc ’

Ajoutons

(32)

et

_{(33) ;}

il vient en tenant

_compte

des

équations

fondamentales

Or,

on voit facilement que l’on a l’identité

il suffit de tenir

_compte

de

₍₂₉₎

et du fait que les

»

sont

_{antisymétriques.}

En

_{explicitant (36)}

à l’aide des formules fondamen-tales

_{(17) et}

_{9 8)}

on a

Retranchons

₍₃₇₎

de

_{(35) ;}

il vient en vertu de

₍₁₅₎

soit

où

Ce

_T,,p

est un tenseur

_{symétrigue ; (39)}

_{montre que} sa

divergence

est

_égale

à la force de Lorentz. Il

_peut

donc être choisi comme tenseur

_{énergie-quantité}

de

mouve-ment.

L’énergie

est constamment

_positive.

La densité

d’énergie

est définie

_{par J!J"}

= -

1’4,4,

et l’on a en

explicitant

L

où s varie de 1 à

_4,

et

_r’,

s’ de 1 à

_{3 ;}

soit encore en

explicitant

quantité

essentiellement

_{positive puisque}

_Ors

est le

conjugué

complexe

de

_Frs’

8. Moment

_{électromagnétique}

de l’électron.

- Soit le courant

On

_peut

le considérer comme une somme de deux

termes de forme

_{particulière.}

En

effet,

en

_explicitant

on a

_{l’expression}

Dans le cas d’un

_champ

extérieur

nul,

I = J= 0 et le

courant se réduit à

On

_peut

donc

_séparer

la densité de courant en deux

parties j., = ifs

tout comme dans la théorie de

Dirac. La seconde :

se

_présente

comme la densité de courant due à un

353

pouvons donc admettre que l’électron

possède

un

moment

_{électromagnétique}

donné ~~ar

Le reste

serait le courant de conduction. Comme dans la théorie de

Dirac,

chacun de ces courants

_partiels

satisfait à

une

_équation

de continuité

9.

_{Spin. -}

A

_partir

du tenseur

_énergie

_quantité

de

_mouvement,

on obtient en

_général

la valeur du

moment

_cinétique

en formant

_{l’intégrale}

dans

_laquelle

Considérons un électron en absence de

_cha;mh;

on

aura dans ce cas :

Pour r =

p, les

composantes P,,

sont

nulles;

pour

et

On

_peut

donc écrire

En

_intégrant

_par

_parties

et admettant comme

d’habi-tude

que les

~r

s’annulent à la

_frontière,

on aura

On

_peut

_regarder

la

_première

_intégrale

_qui

a la forme

f (x?

comme

_{l’équivalent}

d’un « moment d’orbite » et la

_seconde,

où _{les xr, .~0 n’interviennent}

plus e;plicitement,

comme le moment propre de la

particule.

La densité «

_spin

» de cette dernière serait donc

Il est évident que cette

_{décomposition}

est

_arbitraire,

ce

_{qui correspond}

d’ailleurs à la nature même des choses.

Remarquons

que la variance relativiste du

spin

est celle du moment total

_(~7)

dont nous sommes

_{partis ;}

il

ne saurait en être autrement. Ce

_spin

diffère de celui

qu’on

rencontre en théorie de Dirac: en

_effet,

il est

bien constitué par les trois

composantes

de

_temps

d’un tenseur de la forme

_PrSl’

mais celui-ci n’est _pas

complètement

antisymétrique

comme dans le cas de

l’équation

de Dirac. Il est

_cependant

facile de modifier la

_{décomposition (51),}

_pour

_séparer

le moment total

en un « moment d’orbite » et un

_{spin qui}

soit un

tenseur

_{complètement antisymétrique}

du troisième rang. En effet on a _{pour s}

_{= 9, ,~, ~, 4 :}

d’où

On en déduit une

_séparation

du moment total

_Pre

en un

« moment d’orbite » et un «

_spin

»

Sous cette forme la densité du

_spin

_{serait formée par} les

_composantes

de

_temps

d’un tenseur

_{complètement}

antisymétrique

du troisième rang exactement comme en théorie de Dirac.