DS du 18-03-10

Jeudi 18 mars 2010. DS de Mathématiques TS1-TS2 Durée 4 heures

EXERCICE 1 (5 pts)

EXERCICE 2 (5 pts, non spé)

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse on pourra donner un contre−exemple. Toute réponse correcte rapporte 1 point, une erreur en enlève 0.5.

1. Pour tout nombre complexe z, Re(z²) = (Re(z))².

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; u^→, v^→). Pour tout nombre complexe z non nul, les points M d’affixe z, N d’affixe

z –

et P d’affixe

z2

z appartiennent à un même cercle de centre O.

3. Pour tout nombre complexe z, si |1 + iz| = |1 – iz|, alors la partie imaginaire de z est nulle.

4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; u^→, v^→). Quels que soient les nombres complexes z et z’ non nuls, d’images respectives M et M’ dans le plan complexe, si z et z’ vérifient l’égalité |z + z’| = |z – z’|, alors les droites (OM) et (OM’) sont perpendiculaires.

5. Soit ^M0

(

^{z0= − +1 i 3}

)

^{. Soitzn =}

^{( )}

^{z0 n et Mn}

^{( )}

^zn : les points M_3n sont sur l’axe des abscisses pour tout entier naturel non nul n.

EXERCICE 2 (spé, 5 pts) 2006 Amérique du Nord

Le plan muni d’un repère orthonormal direct

(O u v; , )r r

. On prendra pour unité graphique 4 cm. Soit

Ω

le point d’affixe 2.

On appelle r la rotation de centre

Ω

et d’angle

4

π

, et h l’homothétie de centre

Ω

et de rapport

² 2

. 1. On pose

σ =h ro

.

1a. Quelle est la nature de la transformation

_σ

? Préciser ses éléments caractéristiques.

1b. Montrer que l’écriture complexe de

σ

est :

: ¹ 1 2

z iz i

σ a ⁺ + −

.

1c. Soit M un point quelconque du plan, d’affixe z. On désigne par M’ son image par

σ

et on note z’ l’affixe de M’. Montrer que

^{z− =z′ i}

(

^2−z′

) ^.

2a. Question de cours :

Pré requis : définitions géométriques du module d’un nombre complexe et d’un argument d’un nombre complexe non nul. Propriétés algébriques des modules et des arguments.

Démonter que : si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle

2

π

est le point Q d’affixe q telle que

^{q a− =i p a}

(

⁻

) ^.

2b. Déduire des questions précédentes la nature du triangle

ΩM M′

, pour M distinct de

Ω

.

3. Soit A

0

le point d’affixe

2+i

. On considère la suite ( )

An

de points du plan définis par : pour tout entier naturel n,

An₊1 =σ

( )

An

.

3a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’affixe

a_n

de

A_n

est donnée par :

( ²)

2 4

2 2

n n

i

an e

π

  +

=  +

 

.

3b. Déterminer l’affixe de A

3

.

4. Déterminer le plus petit entier n

0

tel que l’on ait : pour

n_>n₀

, le point A

n

est dans le disque de centre

Ω

et de rayon 0,01.

EXERCICE 3. (5 pts)

On considère la suite (u_n) définie, pour tout entier naturel n non nul, par u_n =

 

 

1 + 1 n

n. 1. On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f(x) = x – ln(1 + x).

1a. En étudiant les variations de f, montrer que, pour tout réel x positif ou nul, ln(1 + x) ≤ x.

1b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ln(u_n) ≤ 1.

1c. La suite (u_n) peut−elle avoir pour limite +∞ ?

2. On considère la suite (v_n) définie, pour tout entier naturel n non nul, par v_n = ln(u_n) 2a. On pose x = 1

n. Exprimer v_n en fonction de x.

2b. Que vaut lim_x→0ln(1 + x)

x ? Aucune justification n’est demandée. Calculer lim_n→+∞ v_n. 2c. En déduire que la suite (u_n) est convergente et déterminer sa limite.

EXERCICE 4 (5 pts)

Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.

Si le test est positif (c’est à dire si l’écran fonctionne correctement), il est acheminé chez le client. Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé, puis testé une seconde fois. Si le deuxième test est positif, l’écran est acheminé chez le client, sinon il est détruit.

Une étude statistique a permis de montrer que le test est positif pour 70 % des écrans neufs sortis directement des chaînes de fabrication, mais que, parmi les écrans réparés, seulement 65 % d’entre eux passent le second test avec succès.

On note T₁ l’événement : « le premier test est positif. » On note C l’événement : « l’écran est acheminé chez le client »

1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des événements T₁ et C.

2. La fabrication d’un écran revient à 1000 € au fabricant si l’écran n’est testé qu’une fois. Cela lui coûte 50 € de plus si l’écran doit être testé une seconde fois.

Un écran est facturé a euros (a étant un réel positif) au client.

On introduit la variable aléatoire X qui, à chaque écran fabriqué, associe le « gain » (éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.

2a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a.

2b. Exprimer l’espérance mathématique de X en fonction de a.

2c. A partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut−elle espérer réaliser des bénéfices ?

T1 C : 1000 € 0,7

C

T1 : 1000 €

: 1050 € C

T2 0,7

0,3 0,65

0,35

C : -1050 € C : 1050 €

T1

T2 0,3 T2

EXERCICE 1.

Un fabricant d’écrans plasma teste une première fois ses appareils à la sortie de la chaîne de fabrication.

Si le 1^ier test est positif : événement T₁, l’écran est acheminé chez le client . Coût : 1000 €.

Sinon l’écran retourne en usine où il est réparé, puis testé une seconde fois.

Si le 2^ième test est positif : événement T₂, l’écran est acheminé chez le client. Coût 1050 € Sinon L’écran est détruit. Coût : − 1050 €

Le 1^ier test est positif dans 70 % des cas Le 2^ième test est positif dans 65 % des cas

On note T₁ l’événement : « le premier test est positif. » On note C l’événement : « l’écran est acheminé chez le client » L’arbre ci−contre visualise la situation.

1. On choisit un écran au hasard à la sortie de la chaîne de fabrication. Déterminer les probabilités des événements T₁ et C.

p(T₁) est donné dans l’énoncé … p(T₁) = 0,7 on en déduit que p(T^₁) = 0,3

p(C) = p[T₁∪ (T^₁ ∩ T2)] = p(T₁) + p(T^₁) × p(T2 |T^₁) = 0,7 + 0,3×0,65 = 0,895 (soit 89,5 % d’écrans livrés …) 2. Un écran est facturé a euros au client.

X est la variable aléatoire qui, à chaque écran fabriqué, associe le « gain » (éventuellement négatif) réalisé par le fabricant.

a. Déterminer la loi de probabilité de X en fonction de a.

L’écran est livré après le 1^ier test : gain = a −1000 € L’écran est livré après le 2^ième test : gain = a −1050 € L’écran n’est pas livré : gain = −1050 €

Donc X ∈ {−1050 ; a −1050 ; a −1000}

p(− 1050) = p(T^₁∩ T^₂) = p(T^₁) × p(T^₂ | T^₁) = 0,3× 0,35 = 0,105 p(a −1050) = p(T1

 ∩ T2) = p(T^₁)× p(T2 | T^₁) = 0,3× 0,65 = 0,195 p(a −1000) = p(T1) = 0,7

b. Exprimer l’espérance mathématique de X en fonction de a.

E(X) = 0,7(a −1000) + 0,195(a −1050) + 0,105(−1050) = … = 0,895a − 1015 E(X) est l’espérance de gain par appareil fabriqué.

c. A partir de quelle valeur de a, l’entreprise peut−−−−elle espérer réaliser des bénéfices ? L’entreprise réalise des bénéfices si E(X) ≥ 0.

or E(X) ≥ 0 ⇔ 0,895a − 1015 ≥ 0 ⇔ a ≥ 1134,08 €

donc il faut vendre les écrans un minimum de 1134,08 € pour réaliser un bénéfice.

EXERCICE 2.

1. Pour tout nombre complexe z, Re(z²) = (Re(z))² C’est faux : avec z = i on a Re(z) = 0 donc (Re(z))² = 0

et z² = −1 donc Re(z²) = −1

2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; u^→→→→, v^→→→→). Pour tout nombre complexe z non nul, les points M d’affixe z, N d’affixe

z –

et P d’affixe z²/

z –

appartiennent à un même cercle de centre O.

C’est vrai : |

z –

| = |z| donc OM = ON et ||z²/

– z

|| = ||z²||/||

z –

|| = ||z||²/||z|| = ||z|| donc OP = OM OM = ON = OP donc M, N et P sont sur le même cercle de centre O.

3. Pour tout nombre complexe z, si |1 + iz| = |1 – iz|, alors la partie imaginaire de z est nulle.

C’est vrai : |1 + iz| = |1 + i(x + iy)| = |1 – y + ix| = (1 - y)² + x²

et |1 – iz| = |1 − i(x + iy)| = |1 + y − ix| = (1 + y)² + x² on a alors |1 + iz| = |1 – iz| ⇔ (1 - y)² + x² = (1 + y)² + x²

⇔ (1 – y)² = (1 + y)²

⇔ 1 – y = 1 + y ou 1 – y = −1 – y

⇔ y = 0 ou 1 = −1 ⇔ Im(z) = 0

x_i −1050 a −1050 a −1000 p_i 0,105 0,195 0,7

4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O ; u^→→→→, v^→→→→). Quels que soient les nombres complexes z et z’ non nuls, d’images respectives M et M’ dans le plan complexe, si z et z’ vérifient l’égalité |z + z’| = |z – z’|, alors les droites (OM) et (OM’) sont perpendiculaires.

C’est vrai : posons z = x + iy et z’ = x’ + iy’

|z + z’| = |z – z’| ⇔ (x + x’)² + (y + y’)² = (x – x’)² + (y – y’)²

⇔ 2xx’ + 2yy’ = −2xx’ – 2yy’

⇔ xx’ + yy’ = 0

⇔ OM^→ . OM'^→ = 0 ⇔ OM^→ ⊥ OM'^→ donc les droites (OM) et (OM4) sont perpendiculaires.

5. Soit M₀ (z₀ = −1 + i 3 ). Soit

( )

0 n

zn = z et Mn

( )

zn : les points M_3n sont sur l’axe des abscisses pour tout entier naturel non nul n.

C’est vrai : Calculons z_n = (z₀)ⁿ en mettant z₀ sous forme exponentielle.

|z₀| = 2 donc z₀ = 2(−1/2 + i 3 /2) = 2 (cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = 2 e^i(2π/3) donc z_n = (z₀)ⁿ = 2ⁿ e^i(2nπ/3)

Les points M_3n ont pour affixe z_3n = 2³ⁿ ei(2(3n)π/3) = 2³ⁿ e^{i 2nπ} = 2³ⁿ e⁰ = 2³ⁿ et 2³ⁿ ∈ IR..

EXERCICE 3.

On considère la suite (u

n

) définie, pour tout entier naturel n non nul, par u

n

=  

  1 + 1

n

n

. 1. On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞

∞∞∞[ par : f(x) = x – ln(1 + x).

a. En étudiant les variations de f, montrer que, pour tout réel x positif ou nul, ln(1 + x)

≤

x.

f est dérivable sur [0 ; +∞[

f’(x) = 1 − 1

1 + x = x 1 + x

dans [0 ; +

∞

[, f’(x)

≥

0 donc f est et comme f(0) = 0 on a f(x)

≥

0 d’où ln(x + 1)

≤

x.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, ln(u

n

)

≤

1.

avec x = 1

n : ln(x + 1)

≤

x

⇔

ln( 1

n + 1)

≤

1

n

⇔

n ln( 1

n + 1)

≤

1

⇔

ln  

  1 + 1

n

n≤

1 c'est à dire ln(u

n

)

≤

1

c. La suite (u

n

) peut−elle avoir pour limite +

∞∞∞∞

? ln(u

n

)

≤

1

⇔

u

n≤

e donc lim

n→+∞

u

n≤

e

ce qui prouve que u

n

ne peut pas avoir +∞ pour limite.

2. On considère la suite (v

n

) définie, pour tout entier naturel n non nul, par v

n

= ln(u

n

) a. On pose x = 1

n . Exprimer v

n

en fonction de x.

avec x = 1

n , v

n

= ln(u

n

) = n ln  

  1 + 1

n = ln(1 + x) x

b. Que vaut lim

_{x→→→→0}

ln(1 + x)

x ? Aucune justification n’est demandée. Calculer lim

_{n→→→→+}

∞

v

n

. On sait que lim

_x→0

ln(1 + x)

x = 1 avec x = 1

n : quand n

→

+

∞

, x

→

0 et donc lim

_n→+∞

v

n

= lim

_x→0

ln(1 + x) x = 1 c. En déduire que la suite (u

n

) est convergente et déterminer sa limite.

v

n

= ln(u

n

) donc u

n

= e

^vn

n

lim

→+∞

v

n

= 1 donc lim

_n→+∞

u

n

= e

Exercice 5 (spé)

1. a.

σ

est une similitude directe comme composé de similitude directe : son rapport est le produit des deux rapports, son angle, la somme des 2 angles des 2 similitudes

•

Comme elles sont toutes les deux de même centre

Ω

,

σ

est de centre

Ω

.

•

Comme une rotation est une similitude de rapport 1,

σ

est de rapport celui de h :

² 2

.

•

Comme une homothétie est une similitude d’angle 0,

_σ

est d’angle celui de r :

4 π

.

b. Son écriture complexe est donc du type

( ) ( ) ( )

2 4 2 2 2 1

' 2 2 2 2

2 2 2 2 2

i i

z e z z i z z z

π

ω ω    + 

′ ′

− = − ⇔ − =  +  − ⇔ =  − +

 

 

d’où en développant :

1 1

2

z′ = +iz+ −i

 

.

c. D’un coté z – z’ :

¹ 1 ¹ 1

2 2

i i

z− = −z′ z + z− + =i − z− +i

et de l’autre, on a

(

²

)

^{2 1 1 1 1}

2 2

i i

i z i + z i − z i

− ′ =  − − + = − + −

 

, d’où l’égalité recherchée.

2. a. Question de cours :

Si A est un point donné d’affixe a, alors l’image du point P d’affixe p par la rotation de centre A et d’angle

2 π

est le point Q d’affixe q telle que :

•

AP = AQ cad

AQ q a q a 1

AP p a p a

− −

= = =

− −

.

•

(

^{uuur uuurAP AQ,}

)

^=π₂

^{[ ]}

^{2π ⇔arg}_ ^q_p⁻₋^a_a ^_^=π₂

^{[ ]}

^2π

^.

Finalement, le complexe

^{p a} q a

−

−

a pour module 1 et pour argument

2

π

:

q a 1 ⁱ²

e i

p a

− = × =π

−

, d’où l’égalité

( )

q a− =i p a−

.

b. Comme

^{z− =z′ i}

(

^2−z′

) , on peut affirmer que M est l’image de

Ω

par la rotation de centre M’, d’angle

2 π

: le

triangle

ΩM M′

est donc rectangle isocèle en M’.

3. On note

An₊1=σ

( )

An

.

a. Démontrons par récurrence la proposition P(n) : «

( ²) 2 4

2 2

n n

i

an e

π

  +

=  +

 

».

•

Initialisation : on sait que

a₀ = +2 i

et on a bien

( )

0 0 2

2 0 4

2 2 2 2

2

i i

a e e i

π π

  +

=  + = + = +

 

.

•

Hérédité : supposons que

( ²) 2 4

2 2

n n

i

an e

π

  +

=  +

 

et prouvons qu’alors

( )

1 3

1 4

2 2

2

n n

i

an e

π

+ +

+

 

=  +

 

.

On a :

} ^{( )}

. Re . 2

4 4 4

1

1 2 2 2

1 1 2 1

2 2 2 2

Hyp cu n n

i i i

n n n

a i a i e a i e e i

π π ⁺ π

+

  

+

   

=  + − = + − =   + + −

donc

( )

1 3

4 4

1

2

2 2 1

2

n n

i i

an e e i

π π

+ +

+

 

=  + + −

  1442443

cad que P(n+1) est vraie.

•

La propriété est donc vraie pour tout n.

b. Pour n = 3, on trouve

3 5

3 4

2 1 2 2 7 1

2 2

2 2 2 2 2 4 4

i

a e i i

  π  

=  + = − − + = −

   

.

4. Il faut trouver

n₀

tel que

( ) ( ) ( )

0

0 0

0 0

2 ln 0, 01

2 1

0, 01 2 0, 01 0, 01 ln 2 ln 0, 01 13, 3

2 2 ln 2

n

n n

A a   n n −

Ω ≤ ⇔ − ≤ ⇔  ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ ≈

 

donc

n₀ =14

.