TD 14
Géométrie dans l’espace : produit scalaire.
T.S
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•My Maths Space - 2016
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L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;~i;~j:~k).
EXERCICE 1 :
Les pointsA(1; 2;−1),B(−2; 4; 5) etC(2; 4; 1) appartiennent-ils au plan d’équation 2x−3y+ 2z+ 6 = 0 ?
EXERCICE 2 :
La droitedpassant parA(−1; 3; 4) et de vecteur directeur~u
1 0 1
est-elle incluse dans le plan d’équation 2x+ 5y−2z−5 = 0 ?
EXERCICE 3 :
Déterminer une équation du plan de vecteur normal~n
−2 1 4
passant parA(0; 0; 1).
EXERCICE 4 :
Déterminer les coordonnées des points d’intersection du planP d’équation 3x+ 4y−z+ 6 = 0 avec les axes du repère.
EXERCICE 5 :
Déterminer une équation du plan parallèle au plan (O;~i,~j) et passant parA(−2; 5; 6).
EXERCICE 6 :
La droitedpassant parA(−1; 3; 2) et de vecteur directeur~u
−3 1 1
et la droited′ de représentation paramétrique
x=t−1 y= 2t+ 3 z=t+ 2
,t∈R, sont-elles orthogonales ? perpendiculaires ?
EXERCICE 7 :
SoitAetB deux points distincts et I le milieu de [AB].
1. Montrer que, pour tout pointM de l’espace,M A2=M B2⇔−−→ IM .−−→
AB= 0.
2. En déduire que l’ensemble des points équidistants de Aet de B est un plan dont on donnera un point et un vecteur normal.
3. Application :A(−2; 5; 6) etB(−1; 3; 2), donner une équation cartésienne du plan médiateur de [AB].
EXERCICE 8 :
On considère les trois plans suivants :
• P1 d’équationx+y−z= 0
• P2 d’équation 2x+y+z= 3
• P3 d’équationx+ 2y−4z+ 3 = 0
1. Justifier que les plansP1etP2sont sécants, puis déterminer une représentation paramétrique de leur droited’intersection
∆.
2. En déduire la nature de l’intersection des trois plansP1,P2et P3.
1
My Maths Space - 2016
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EXERCICE 9 :
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, soit les pointsA(−2; 0; 1), B(1; 2;−1) etC(−2; 2; 2).
1. (a) Montrer que les pointsA, B et Cdéfinissent un plan.
(b) Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x−y+ 2z+ 2 = 0.
2. SoientP1 et P2 les plans d’équations respectivesx+y−3z+ 3 = 0 etx−2y+ 6z = 0. Montrer que les plansP1 et P2 sont sécants suivant une droiteD dont un représentation paramétrique est
x=−2 y= 3t−1 z=t
,t∈R.
3. Démontrer que la droiteD et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
4. SoitS la sphère de centre Ω(1;−3; 1) et de rayonr= 3.
(a) Étudier l’intersection de la sphèreS et de la droiteD.
(b) Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère S.
Rappel : SoitS la sphère de centre Ω(a;b;c) et de rayonr:
M(x;y;z)∈ S ⇔(x−a)2+ (y−b)2+ (z−c)2=r2
Correction de la question 4 :
Le planP : 2x−y+ 2z+ 2 = 0 de vecteur normal~n
2
−1 2
et la sphèreS de centre Ω(1;−3; 1), de rayon 3.
• Quelles que soient les positions relatives d’une sphère et d’un plan, il existe un point de la sphère, disonsP(a;b;c), tel que−→
ΩP et~nsont colinéaires. Il suffit de faire un dessin pour s’en convaincre.
−→ΩP
a−1 b+ 3 c−1
et~n
2
−1 2
sont colinéaires donc on peut écrire que leurs coordonnées sont proportionnelles : (a−1)×(−1) = 2(b+ 3), 2(a−1) = 2(c−1), 2(b+ 3) =−1×(c−1)
Ce qui se simplifie de la manière suivante : a=c etb=−1
2(a+ 5)
• Maintenant, il faut trouver un pointP de la sphère qui est aussi dans le plan.
P ∈ P ⇔2a−b+ 2c+ 2 = 0. Or compte-tenu des conditions précédemment trouvées, on obtient : P ∈ P ∩S⇔2a−
−1 2(a+ 5)
+ 2a+ 2 = 0⇔a=−1, il s’en suite quec=−1 etb=−2. Le point cherché est donc P(−1;−2;−1).
• Il ne reste plus qu’à vérifier que ΩP = 3 ΩP=p
(−1−1)2+ (−2 + 3)2+ (−1−1)2= 3
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