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TS TD : Équations d’objets de l’espace 2012-2013

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Academic year: 2022

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(1)

TS TD : Équations d’objets de l’espace 2012-2013

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O;~i;~j : ~k).

EXERCICE 1 :

Les points A(1; 2; − 1), B( − 2; 4; 5) et C(2; 4; 1) appartiennent-ils au plan d’équation 2x − 3y + 2z + 6 = 0 ?

EXERCICE 2 :

La droite d passant par A( − 1; 3; 4) et de vecteur directeur ~ u

 1 0 1

 est-elle incluse dans le plan d’équation 2x + 5y − 2z − 5 = 0 ?

EXERCICE 3 :

Déterminer une équation du plan de vecteur normal ~ n

− 2 1 4

 passant par A(0; 0; 1).

EXERCICE 4 :

Déterminer les coordonnées des points d’intersection du plan P d’équation 3x + 4y − z + 6 = 0 avec les axes du repère.

EXERCICE 5 :

Déterminer une équation du plan parallèle au plan (O;~i,~j) et passant par A( − 2; 5; 6).

EXERCICE 6 :

La droite d passant par A( − 1; 3; 2) et de vecteur directeur ~ u

− 3 1 1

 et la droite d

′

de représentation paramétrique

x = t − 1 y = 2t + 3 z = t + 2

, t ∈ R , sont-elles orthogonales ? perpendiculaires ?

EXERCICE 7 :

Soit A et B deux points distincts et I le milieu de [AB].

1. Montrer que, pour tout point M de l’espace, M A

2

= M B

2

⇔ − − → IM . − − →

AB = 0.

2. En déduire que l’ensemble des points équidistants de A et de B est un plan dont on donnera un point et un vecteur normal.

3. Application : A( − 2; 5; 6) et B( − 1; 3; 2), donner une équation cartésienne du plan médiateur de [AB].

EXERCICE 8 :

On considère les trois plans suivants :

• P

1

d’équation x + y − z = 0

• P

2

d’équation 2x + y + z = 3

• P

3

d’équation x + 2y − 4z + 3 = 0

1. Justifier que les plans P

1

et P

2

sont sécants, puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite- d’intersection ∆.

2. En déduire la nature de l’intersection des trois plans P

1

, P

2

et P

3

.

My Maths Space 1 sur 2

(2)

TS TD : Équations d’objets de l’espace 2012-2013

EXERCICE 9 :

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, soit les points A( − 2; 0; 1), B(1; 2; − 1) et C( − 2; 2; 2).

1. (a) Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

(b) Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x − y + 2z + 2 = 0.

2. Soient P

1

et P

2

les plans d’équations respectives x + y − 3z + 3 = 0 et x − 2y + 6z = 0. Montrer que les plans P

1

et P

2

sont sécants suivant une droite D dont un représentation paramétrique est

x = − 2 y = 3t − 1 z = t

, t ∈ R . 3. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’inter-

section.

4. Soit S la sphère de centre Ω(1; − 3; 1) et de rayon r = 3.

(a) Étudier l’intersection de la sphère S et de la droite D.

(b) Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère S .

Rappel : Soit S la sphère de centre Ω(a; b; c) et de rayon r :

M (x; y; z) ∈ S ⇔ (x − a)

2

+ (y − b)

2

+ (z − c)

2

= r

2

My Maths Space 2 sur 2

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