Optimisation de performances et maîtrise de la fiabilité dans la conception de systèmes de production

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dans la conception de systèmes de production

Milia Habib

To cite this version:

Milia Habib. Optimisation de performances et maîtrise de la fiabilité dans la conception de systèmes

de production. Recherche opérationnelle [cs.RO]. Université de Technologie de Troyes; Université

Libanaise, 2017. Français. �NNT : 2017TROY0025�. �tel-02967726�

THESE

pour l’obtention du grade de

D OCTEUR de l’U NIVERSITE DE T ECHNOLOGIE DE T ROYES

Spécialité : OPTIMISATION ET SURETE DES SYSTEMES

présentée et soutenue par

Milia HABIB

le 29 septembre 2017

Optimisation de performances et maîtrise de la fiabilité dans la conception de systèmes de production

JURY

M. B. IUNG PROFESSEUR DES UNIVERSITES Président M. D. AÏT-KADI PROFESSEUR TITULAIRE Rapporteur

M. N. CHEBBO PROFESSEUR Directeur de thèse

M. I. JARKASS ENSEIGNANT CHERCHEUR Directeur de thèse M. N. REZG PROFESSEUR DES UNIVERSITES Rapporteur M. Z. SARI PROFESSEUR TITULAIRE Examinateur M. F. YALAOUI PROFESSEUR DES UNIVERSITES Directeur de thèse Mme A. YALAOUI MAITRE DE CONFERENCES - HDR Examinateur

Personnalité invitée

M. H. CHEHADE DOCTEUR, CHERCHEUR ASSOCIE UTT

Ce m´ emoire est le r´ esultat d’un travail de recherche de trois ans. Il n’aurait pu ˆ etre men´ e ` a terme sans le soutien de nombreuses personnes que je tiens vivement ` a remercier.

En premier lieu, je tiens ` a remercier tr` es sinc` erement mes directeurs de th` ese, Monsieur Farouk YALAOUI, Professeur ` a l’Universit´ e de Technologie de Troyes et directeur du Laboratoire d’Opti- misation des Syst` emes Industriels (LOSI) pour m’avoir accueilli dans son ´ equipe, mais ´ egalement pour son soutien, sa rigueur scientifique, sa clairvoyance et ses hauts caract` eres personnels que j’ai beaucoup appr´ eci´ es tout au long des travaux de ma th` ese, Monsieur Nazir CHEBBO, Professeur et directeur du Laboratoire des Syst` emes Industriels (LSI) ` a l’IUT-Sa¨ıda, Universit´ e Libanaise, et Madame Iman JARKASS, Enseignant chercheur ` a l’IUT-Sa¨ıda, Universit´ e Libanaise, pour m’avoir fait confiance, pour leur support, et leur encouragement qui m’ont permis de r´ ealiser cette th` ese dans d’excellentes conditions.

Je ne saurais assez remercier Monsieur Hicham CHEHADE, Chercheur associ´ e ` a l’UTT et pr´ esident de l’entreprise OPTA-LP, pour sa participation dans le suivi de cette th` ese, sa disponibilit´ e et ses conseils pr´ ecieux.

J’exprime toute ma profonde gratitude aux membres du jury qui me font l’honneur de participer ` a l’examen de cette th` ese : Monsieur Daoud AIT KADI, Professeur ` a l’Universit´ e Laval au Quebec, et Monsieur Nidhal REZG, Professeur ` a l’Universit´ e de Lorraine en leur qualit´ e de rapporteurs.

Madame Alice YALAOUI, Maˆıtre de conf´ erences-HDR ` a l’Universit´ e de Technologie de Troyes, Monsieur Benoit IUNG, Professeur ` a l’Universit´ e de Lorraine, et Monsieur Zaki SARI, Professeur

`

a l’Universit´ e Aboubekr Belka¨ıd, Tlemcen en leur qualit´ e d’examinateurs. Ils ont ´ egalement contribu´ e par leurs nombreuses remarques et suggestions ` a am´ eliorer la qualit´ e de ce m´ emoire, et je leur en suis tr` es reconnaissante.

Je tiens ` a remercier tous le personnel administratif de l’´ ecole doctorale de l’UL et de l’UTT, en particulier, Monsieur Fawaz EL OMAR, le directeur de l’ED de l’UL, Monsieur R´ egis LENGELLE,

i

le directeur de l’ED de l’UTT ainsi que Madame Pascale Denis, Madame Isabelle LECLERCQ, Madame Jana ELHAJJ et Madame Zeinab IBRAHIM pour toute aide qu’ils m’ont apport´ ee lors de ce trajet doctoral. Je remercie vivement Monsieur Mohamad KHALIL, directeur de la plateforme de Biotechnologie (AZM) ` a l’´ ecole doctorale de l’UL pour son support et sa pr´ esence encourageante.

Je remercie l’Universit´ e Libanaise et l’Universit´ e de Technologie de Troyes pour avoir financ´ e cette th` ese dans le cadre de la convention de th` ese en cotutelle entre l’UL et le r´ eseau UT-INSA.

Mes vifs remerciements ` a tous les membres du Laboratoire LOSI pour leur accueil, pour la bonne ambiance de travail et leur amiti´ e. Ma gratitude s’´ etend aussi aux Madame V´ eronique BANSE et Madame Bernadette ANDRE du pˆ ole ROSAS ` a l’UTT pour leur gentillesse et leur disponibilit´ e.

Je souhaite aussi remercier tous mes coll` egues et mes amis dans les deux universit´ es UL et UTT pour leur soutien durant ces trois ann´ ees et leur bonne humeur ` a toute ´ epreuve. Nous avons partag´ e de bons moments.

Enfin, j’adresse mes plus chaleureux remerciements ` a mes parents Sleiman et Saniya, toute ma

famille et ma belle-famille en particulier ma belle-m` ere Aida, pour leur soutien inconditionnel si

pr´ ecieux. Un grand merci ` a mon cher mari Jalal et notre petite princesse Joelle d’avoir cru en moi

et d’avoir tout fait pour que ce moment aboutisse.

A Joelle, notre fille.

iii

Cette th` ese porte sur les probl` emes de conception et d’optimisation de la fiabilit´ e des syst` emes avec la prise en compte de la d´ ependance redondante. Nous nous int´ eressons d’abord ` a la conception de syst` emes r´ eparables d´ ependants de type parall` ele et k sur n : G. Apr` es avoir rappel´ e le mod` ele de la d´ ependance redondante pr´ esent´ e dans la litt´ erature pour les syst` emes parall` eles, nous proposons un mod` ele plus g´ en´ eral pour les syst` emes k sur n : G. Ce mod` ele permet de quantifier la d´ ependance de d´ efaillance entre les composants redondants du syst` eme.

Nous ´ evaluons ´ egalement la disponibilit´ e stationnaire du syst` eme avec la prise en compte de la d´ ependance ` a l’aide des mod` eles markoviens. Nous ´ etudions ensuite la conception des syst` emes r´ eparables s´ eries k sur n en consid´ erant la notion de la d´ ependance redondante. Ces probl` emes sont trait´ es sous deux approches d’optimisation : mono et multicrit` ere. Dans l’approche monocrit` ere, nous abordons, dans un premier temps, le probl` eme de minimisation des coˆ uts sous contrainte d’une disponibilit´ e exig´ ee. Nous proposons de le r´ esoudre en utilisant le solveur LINGO et en d´ eveloppant des algorithmes g´ en´ etiques et des algorithmes d’optimisation par colonies de fourmis.

Ces algorithmes sont ensuite am´ elior´ es par une recherche locale. Dans un deuxi` eme temps, nous

´

etudions le probl` eme dual de maximisation de la disponibilit´ e que nous le r´ esolvons ` a l’aide des algorithmes g´ en´ etiques et LINGO. Dans l’approche multicrit` ere, nous consid´ erons simultan´ ement les deux objectifs. Nous proposons des algorithmes multiobjectifs bas´ es sur NSGA-II et SPEA-II.

Mots-cl´ es – Conception

– Redondance (ing´ enierie) – Fiabilit´ e

– Syst` emes d’aide ` a la d´ ecision – Optimisation math´ ematique

v

This thesis deals with the design and optimization problems of the reliability of the systems taking into account the redundant dependency. First, we focus on the design of repairable dependent parallel and k out of n : G systems. After recalling the redundant dependency model presented in the literature for parallel systems, we propose a more general model for the k out of n : G systems. This model allows quantifying the failure dependence between the redundant components of the system. We also evaluate the stationary system availability considering the dependence based on the Markov models. Then, we study the design of the series repairable k out of n systems considering the redundant dependency notion. These problems are treated under two optimization approaches : single and multicriteria. In the single criterion approach, we first address the minimization problem of the costs under a required availability constraint. We propose to solve it by using the LINGO solver and by developing genetic algorithms and ant colony optimization algorithms. These algorithms are then improved by a local search. In a second step, we study the dual problem of availability maximization which we solve using the genetic algorithms and LINGO. In the multicriteria approach, we simultaneously consider both objectives. We propose multi-objective algorithms based on the Non-dominated Sorting Genetic Algorithms (NSGA-II) and the second version of the Strength Pareto Evolutionary Algorithm (SPEA-II).

Keywords – Design

– Redundancy (engineering) – Dependability

– Decision support systems – Mathematical optimization

vii

Introduction 1

Contexte g´ en´ eral et motivations . . . . 1

Organisation de th` ese et contributions . . . . 3

Organisation du manuscrit . . . . 3

Liste de publications . . . . 6

Introduction g´ en´ erale 1 1 Contexte de l’´ etude, g´ en´ eralit´ es et ´ etat de l’art 9 1.1 Introduction . . . . 10

1.2 Sˆ uret´ e de fonctionnement des syst` emes . . . . 10

1.2.1 Fiabilit´ e . . . . 11

1.2.2 Disponibilit´ e . . . . 12

1.2.3 Maintenabilit´ e . . . . 13

1.2.4 S´ ecurit´ e . . . . 14

1.2.5 Principales caract´ eristiques utilis´ ees en fiabilit´ e . . . . 14

1.2.5.1 Taux de d´ efaillance . . . . 15

1.2.5.2 Taux de r´ eparation . . . . 16

1.2.5.3 Grandeurs temporelles . . . . 16

1.2.5.4 Lois de probabilit´ e . . . . 17

1.3 D´ efaillance . . . . 18

1.3.1 Principales causes de d´ efaillance . . . . 18

1.3.2 D´ ependance et classification . . . . 18

1.4 Mod´ elisation . . . . 20

1.4.1 Mod` eles des syst` emes . . . . 20

1.4.1.1 Syst` emes s´ eries . . . . 20

1.4.1.2 Syst` emes parall` eles . . . . 21

1.4.1.3 Syst` emes s´ eries-parall` eles ou parall` eles-s´ eries . . . . 22

1.4.1.4 Syst` emes redondants k/n . . . . 22

1.4.1.5 Syst` emes ` a redondance passive . . . . 23

1.4.1.6 Syst` emes coh´ erents . . . . 23

1.4.1.7 Syst` emes multi-´ etats . . . . 24

1.4.1.8 Autres syst` emes . . . . 25

1.4.2 Techniques de mod´ elisation . . . . 25

ix

1.4.2.1 M´ ethodes sans l’EE . . . . 25

1.4.2.2 M´ ethodes avec l’EE . . . . 27

1.4.2.3 M´ ethodes de simulation . . . . 30

1.4.3 Synth` ese sur les techniques de mod´ elisation . . . . 32

1.5 Approches d’am´ elioration de la sˆ uret´ e de fonctionnement des syst` emes . . . . 33

1.5.1 Allocation de fiabilit´ e . . . . 33

1.5.2 Allocation de redondance . . . . 35

1.5.3 Allocation combin´ ee de fiabilit´ e et de redondance . . . . 36

1.5.4 Autres probl` emes d’allocation . . . . 37

1.6 Optimisation . . . . 37

1.6.1 M´ ethodes de r´ esolution . . . . 38

1.6.1.1 M´ ethodes exactes . . . . 38

1.6.1.2 M´ ethodes approch´ ees . . . . 40

1.6.1.3 Outils d´ edi´ es . . . . 44

1.6.2 Optimisation multiobjectif . . . . 45

1.6.2.1 Formulation . . . . 45

1.6.2.2 Notion de dominance . . . . 45

1.6.2.3 M´ etriques de performance . . . . 46

1.6.2.4 Approches de r´ esolution . . . . 49

1.6.3 Synth` ese sur les m´ ethodes d’optimisation . . . . 51

1.7 Probl´ ematique et p´ erim` etres d’´ etudes . . . . 51

1.8 Conclusion . . . . 53

2 Optimisation des syst` emes parall` eles et k/n ` a composants d´ ependants 55 2.1 Introduction . . . . 56

2.2 Etat de l’art sur les mod` eles de d´ ependances de d´ efaillance . . . . 56

2.3 Partie 1 : les syst` emes parall` eles . . . . 59

2.3.1 Notions sur la d´ ependance redondante . . . . 59

2.3.2 Description du probl` eme . . . . 60

2.3.3 Mod` ele math´ ematique . . . . 62

2.3.4 M´ ethodes de r´ esolution . . . . 63

2.3.4.1 LINGO . . . . 63

2.3.4.2 Algorithmes G´ en´ etiques . . . . 64

2.3.5 Applications num´ eriques . . . . 66

2.3.5.1 Protocole de tests . . . . 66

2.3.5.2 Analyse des r´ esultats . . . . 70

2.4 Partie 2 : les syst` emes k sur n . . . . 73

2.4.1 Description du syst` eme . . . . 73

2.4.2 Mod´ elisation de la d´ ependance redondante . . . . 74

2.4.3 Description du probl` eme d’optimisation . . . . 76

2.4.4 Probl` eme primal PPR . . . . 77

2.4.4.1 Mod` ele math´ ematique . . . . 77

2.4.4.2 M´ ethodes de r´ esolution . . . . 78

2.4.4.2.1 R´ esolution par LINGO . . . . 78

2.4.4.2.2 R´ esolution par l’algorithme g´ en´ etique . . . . 78

2.4.5 Probl` eme dual PDU . . . . 79

2.4.5.1 Mod` ele math´ ematique . . . . 79

2.4.5.2 M´ ethodes de r´ esolution . . . . 79

2.4.5.2.1 R´ esolution par LINGO . . . . 79

2.4.5.2.2 R´ esolution par l’algorithme g´ en´ etique . . . . 80

2.4.6 Applications num´ eriques . . . . 80

2.4.6.1 Analyse des r´ esultats du probl` eme PPR . . . . 81

2.4.6.2 Analyse des r´ esultats du probl` eme PDU . . . . 82

2.5 Conclusion . . . . 88

3 Optimisation des syst` emes s´ eries k sur n ` a composants d´ ependants 93 3.1 Introduction . . . . 94

3.2 Description du syst` eme . . . . 95

3.3 Concept de la d´ ependance redondante et ´ evaluation de la disponibilit´ e . . . . 96

3.4 Description du probl` eme d’optimisation . . . . 99

3.5 Probl` eme PPR . . . . 100

3.5.1 Mod` ele math´ ematique . . . . 100

3.5.2 M´ ethodes de r´ esolution . . . . 101

3.5.2.1 LINGO . . . . 101

3.5.2.2 Algorithme G´ en´ etique . . . . 103

3.5.2.2.1 Recherche locale pour l’AG hybride . . . . 104

3.5.2.3 Algorithme d’optimisation par colonies des fourmis (ACO) . . . . 105

3.5.2.3.1 Recherche locale pour l’ACO hybride . . . . 109

3.5.2.4 M´ ethode exacte . . . . 110

3.5.3 R´ eglage des param` etres . . . . 111

3.5.3.1 R´ eglage des param` etres de l’AG . . . . 112

3.5.3.2 R´ eglage des param` etres de l’ACO . . . . 112

3.6 Applications num´ eriques . . . . 113

3.7 Probl` eme PDU . . . . 119

3.7.1 Mod` ele math´ ematique . . . . 119

3.7.2 M´ ethodes de r´ esolution . . . . 119

3.7.2.1 LINGO . . . . 119

3.7.2.2 Algorithme G´ en´ etique . . . . 120

3.7.3 Applications num´ eriques . . . . 121

3.8 Conclusion . . . . 122

4 Optimisation multiobjective des syst` emes s´ eries k sur n ` a composants d´ ependants 125 4.1 Introduction . . . . 126

4.2 Formulation du probl` eme . . . . 127

4.2.1 Description du syst` eme . . . . 127

4.2.2 Notations . . . . 128

4.2.3 Objectives et analyse des contraintes . . . . 129

4.2.3.1 Analyse de la disponibilit´ e du syst` eme consid´ erant la d´ ependance

redondante . . . . 129

4.2.3.2 Coˆ ut et poids du syst` eme . . . . 130

4.2.4 Mod` ele math´ ematique . . . . 131

4.3 M´ ethodes de r´ esolution . . . . 132

4.3.1 Algorithme NSGA-II . . . . 135

4.3.1.1 NSGA-II avec p´ enalit´ e (NSGA-II-P) . . . . 135

4.3.1.2 NSGA-II avec une domination de contrainte (NSGA-II-CD) . . . . 138

4.3.2 Algorithme SPEA-II . . . . 138

4.3.3 R´ eglage des param` etres . . . . 140

4.3.4 M´ ethode exacte . . . . 142

4.4 Exemples illustratives et analyse de performances . . . . 142

4.4.1 Crit` eres de comparaison . . . . 142

4.4.2 Exemples et r´ esultats . . . . 143

4.4.2.1 Scenario 1 . . . . 143

4.4.2.2 Scenario 2 . . . . 146

4.5 Conclusion . . . . 149

Conclusion et perspectives 155

Bibliographie 161

1.1 Taux de d´ efaillance en fonction du temps [1] . . . . 15

1.2 Repr´ esentation du MTTF, MUT, MDT, MTBF [2] . . . . 17

1.3 Repr´ esentation d’un syst` eme s´ erie . . . . 21

1.4 Repr´ esentation d’un syst` eme parall` ele . . . . 21

1.5 Un exemple d’un arbre de d´ efaillance . . . . 26

1.6 Graphe d’´ etat d’un syst` eme ` a 1 composant . . . . 28

1.7 Principe d’un algorithme g´ en´ etique [3] . . . . 41

1.8 Choix des plus courts chemins ` a parcourir par les fourmis [4] . . . . 43

1.9 Probl´ ematique . . . . 52

2.1 Classification de la d´ ependance redondante pour un syst` eme parall` ele [5] . . . . 60

2.1 Coˆ ut du syst` eme parall` ele pour diff´ erents niveaux de la d´ ependance redondante . . 69

2.2 Diagramme d’´ etat de transition du syst` eme k/n . . . . 73

2.3 Variation de h(i) pour les diff´ erentes classes de la d´ ependance redondante . . . . . 76

2.4 Coˆ ut du syst` eme k/n par rapport au niveau de la d´ ependance redondante pour le probl` eme primal . . . . 90

2.5 Disponibilit´ e du syst` eme k/n par rapport aux diff´ erents niveaux de la d´ ependance redondante pour le probl` eme dual . . . . 91

3.1 Structure du syst` eme s´ eries-k/n . . . . 96

3.2 Diagramme de transition d’´ etat de sous-syst` eme i ( k

/n

) . . . . 96

3.3 Graphe orient´ e d´ ecrivant le probl` eme RAP . . . . 107

3.4 Pourcentage de d´ eviation relative entre le coˆ ut de l’AG hybride et FEM et entre l’ACO hybride et FEM pour les 4 exemples test´ es . . . . 117

4.1 Codage appliqu´ e . . . . 133

4.2 Fronts Pareto obtenus par les trois algorithmes pour les probl` emes P 1 avec N

= 250 152 4.3 Comparaison des fronts Pareto obtenus par les diff´ erents algorithmes pour les probl` emes P1, P2 et P 3 ayant N

= 5000 . . . . 153

xiii

2.1 Param` etres de l’algorithme g´ en´ etique . . . . 66

2.2 Diff´ erentes cat´ egories de la variation de ∆C et ∆T . . . . 70

2.3 Distribution de solutions (%) en termes de variation de ∆C pour toutes les combi- naisons test´ ees (p, q) . . . . 70

2.4 Distribution de solutions (%) en termes de variation de ∆C pour les diff´ erents ni- veaux de d´ ependance repr´ esent´ es par θ . . . . 71

2.5 Distribution de solutions (%) en termes de variation de ∆C . . . . 71

2.6 Distribution de solutions (%) en termes de variation de ∆T pour toutes les combi- naisons test´ ees (p, q) . . . . 71

2.7 Distribution de solutions (%) en termes de variation de ∆T pour les diff´ erentes valeurs de θ . . . . 71

2.8 Distribution de solutions (%) en termes de variation de ∆T . . . . 72

2.9 Classification de la d´ ependance redondante . . . . 75

2.10 Comparaison LINGO/AG pour le probl` eme PPR ayant p = 0 et q = 1 . . . . 83

2.11 Comparaison LINGO/AG pour le probl` eme PPR ayant p = 0 et q = 2 . . . . 83

2.12 Comparaison LINGO/AG pour le probl` eme PPR ayant p = 0.25 et q = 1 . . . . . 84

2.13 Comparaison LINGO/AG pour le probl` eme PPR ayant p = 0.25 et q = 2 . . . . . 84

2.14 Comparaison LINGO/AG pour le probl` eme PPR ayant p = 0.5 et q = 1 . . . . 85

2.15 Comparaison LINGO/AG pour le probl` eme PPR ayant p = 0.5 et q = 2 . . . . 85

2.16 Comparaison LINGO/AG pour le probl` eme PPR ayant p = 1 et q = 1 . . . . 86

2.17 Comparaison LINGO/AG pour le probl` eme PPR ayant p = 1 et q = 2 . . . . 86

2.18 Comparaison LINGO/AG pour le probl` eme PDU ayant p = 1 et q = 1 . . . . 87

2.19 Comparaison LINGO/AG pour le probl` eme PDU ayant p = 1 et q = 2 . . . . 87

3.1 Notations . . . . 97

3.2 Codage appliqu´ e au probl` eme ´ etudi´ e . . . . 106

3.3 Facteurs de plan d’exp´ erience de l’AG . . . . 112

3.4 Facteurs de plan d’exp´ erience de l’ACO . . . . 113

3.5 Matrice des tests effectu´ es . . . . 113

3.6 Ensemble de donn´ ees des exemples test´ es . . . . 113

3.7 Meilleures solutions obtenues pour les exemples E1, E2 et E3 par les diff´ erentes m´ etaheuristiques avec les d´ etails statistiques . . . . 114

3.8 Meilleures solutions obtenues pour l’exemple E4 par les diff´ erentes m´ etaheuristiques avec les d´ etails statistiques . . . . 115

xv

3.9 R´ esultats num´ eriques des m´ etaheuristiques hybrides, FEM et LINGO . . . . 116

3.10 Donn´ ees des composants . . . . 122

3.11 R´ esultats num´ eriques de l’algorithme g´ en´ etique et LINGO pour le probl` eme dual . 123 4.1 Exemple de croisement . . . . 134

4.2 Exemple de mutation . . . . 134

4.3 Donn´ ees d’entr´ ee des composants pour les applications num´ eriques . . . . 145

4.4 Donn´ ees d’entr´ ee des sous-syst` emes . . . . 146

4.5 R´ esultats exp´ erimentaux pour le probl` eme P 1 en termes de N S, SP , HRS et CT . 146 4.6 Comparaison des fronts Pareto obtenus pour le probl` eme P 1 en termes de µ, C

et C

. . . . 146

4.7 Deux solutions s´ electionn´ ees du front Pareto de NSGA-II-P correspondant au probl` eme P 1 . . . . 147

4.8 Retour de l’investissement . . . . 147

4.9 R´ esultats de la m´ ethode exacte FEM . . . . 149

4.10 R´ esultats exp´ erimentaux obtenus par les algorithmes propos´ es pour les probl` emes P 2 et P 3. . . . 149

4.11 Comparaison des fronts Pareto de FEM et des algorithmes propos´ es pour les

probl` emes P 2 et P 3 . . . . 150

l Nombre de sous-syst` emes dans un syst` eme i Indice de sous-syst` eme (i = 1, ..., l)

n

Nombre des composants dans le sous-syst` eme i

k

Nombre minimum des composants requis pour le sous-syst` eme i n

Nombre maximum de n

r

Nombre des ´ equipes de r´ eparation affect´ ees au sous-syst` eme i g(.) Fonction de la d´ ependance redondante

a Param` etre de d´ ependance

λ

Taux de d´ efaillance nominal des composants du sous-syst` eme i µ

Taux de r´ eparation des composants du sous-syst` eme i

C

Coˆ ut d’acquisition d’un composant utilis´ e dans le sous-syst` eme i C

Coˆ ut d’une ´ equipe de r´ eparation affect´ ee au sous-syst` eme i A

Disponibilit´ e du sous-syst` eme i

A

Disponibilit´ e du syst` eme

A

Valeur minimale exig´ ee pour la disponibilit´ e du syst` eme C

Coˆ ut total du syst` eme

C

Budget maximal disponible pour la conception du syst` eme

h

Nombre de types disponibles pour les composants du sous-syst` eme i

z

Indice de type des composants utilis´ e dans le sous-syst` eme i, z

∈ {1, ..., h

} W

Poids du syst` eme

W

Borne sup´ erieure de poids du syst` eme

xvii

Contexte g´ en´ eral et motivations

Dans le contexte actuel caract´ eris´ e par une forte concurrence ´ economique, le d´ eveloppement de politiques de s´ ecurit´ e globale et de maˆıtrise et sˆ uret´ e des syst` emes, la phase de conception d’un processus industriel doit ˆ etre r´ ealis´ ee de mani` ere ` a garantir certaines exigences li´ ees ` a sa sˆ uret´ e, ` a la fiabilit´ e des machines, ` a sa productivit´ e, ` a son ergonomie, etc. Lors de cette phase de conception, les diff´ erentes alternatives fonctionnelles et technologiques permettant de r´ epondre au cahier des charges doivent donc ˆ etre analys´ ees. Chaque alternative est caract´ eris´ ee par sa fiabilit´ e, sa maintenabilit´ e, sa productivit´ e, la dur´ ee de vie des composants, etc. Une ´ etude pouss´ ee doit donc ˆ etre men´ ee de mani` ere ` a choisir les composants ` a utiliser pour respecter un ensemble de contraintes (coˆ ut d’investissement, taux de performance, fiabilit´ e du processus, productivit´ e, etc.) et pour atteindre une conception optimale du syst` eme en question. De ce fait, la recherche sur l’optimisation de la fiabilit´ e/disponibilit´ e des syst` emes d` es la phase de conception est d’une grande importance.

L’allocation de fiabilit´ e vise la conception des syst` emes sˆ urs avec des coˆ uts minimaux en adoptant une m´ ethodologie d’optimisation efficace et applicable tr` es facilement. Dans cette famille de mod` eles d’allocation, on distingue principalement :

– Les m´ ethodes reposant sur la maximisation de la fiabilit´ e sous contrainte de coˆ ut, – Les m´ ethodes reposant sur la minimisation des coˆ uts sous contrainte de fiabilit´ e,

– Les m´ ethodes qui cherchent ` a maximiser la fiabilit´ e et minimiser les coˆ uts simultan´ ement.

Des contraintes de volume, de poids ou de productivit´ e peuvent ˆ etre aussi prises en compte. Dans la majorit´ e de ces probl` emes, on doit d´ ecider de la fiabilit´ e ` a allouer ` a chaque composant (et

´

eventuellement du nombre de composants ` a mettre en parall` ele), du type ` a attribuer (` a partir d’un ensemble disponible dans le march´ e). On peut aussi s’int´ eresser aux diff´ erentes options tech-

1

nologiques et architecturales possibles. Une fois le probl` eme d’allocation est formul´ e sous forme d’un probl` eme d’optimisation, il reste toujours ` a faire le choix d’un algorithme de r´ esolution. Il est important ` a noter que les probl` emes d’optimisation de la disponibilit´ e/fiabilit´ e appartiennent en g´ en´ eral ` a la classe NP-difficile. Cela signifie qu’il est tr` es peu probable d’avoir une solution optimale avec un temps d’ex´ ecution polynomial. Les performances des m´ ethodes de r´ esolution sont limit´ ees par la taille des probl` emes. Il est irr´ ealiste d’appliquer de m´ ethodes exactes pour les probl` emes de grande taille. Pour cela, les travaux les plus r´ ecents portent essentiellement sur le d´ eveloppement des heuristiques et des m´ etaheuristiques.

De plus, les syst` emes modernes sont tr` es dynamiques et sont souvent soumis ` a des m´ ecanismes de d´ egradation, ` a des interventions externes (r´ eparation, etc.). Des d´ ependances et des interac- tions complexes (mat´ erielles, humaines, environnementales, etc.) sont fr´ equemment pr´ esentes. On distingue, en particulier, la d´ ependance des d´ efaillances entre les diff´ erents composants qui a un impact potentiel sur les performances fiabilistes du syst` eme. Les d´ efaillances des composants et les interventions d´ eterministes sur le syst` eme sont mod´ elis´ ees globalement par des processus stochas- tiques. De ce fait, il est devenu important d’identifier et de prendre en compte des interventions et du comportement des syst` emes au cours du temps ` a la phase de conception avant l’installation.

De plus, lorsque la dur´ ee de vie du syst` eme est suppos´ ee infinie, une conception bas´ ee sur le fonc- tionnement stationnaire sera plus int´ eressante afin d’optimiser la performance du syst` eme ` a long terme.

Ce sujet de th` ese s’inscrit dans l’esprit de la th´ ematique de recherche transversale de l’Universit´ e de Technologie de Troyes (UTT) et certains de ses PST (Programmes Scientifiques et Techniques) visant ` a d´ evelopper une m´ ethodologie int´ egr´ ee, ainsi que les outils associ´ es, capable de permettre

`

a une fili` ere/entreprise/collectivit´ e de pouvoir mettre en place une d´ emarche de conception inno-

vante de ses syst` emes. Il rejoint ´ egalement la th´ ematique de recherche principale du Laboratoire

des Syst` emes Industriels (LSI) de l’Universit´ e Libanaise (UL) concernant la maˆıtrise, la fiabilit´ e

et l’optimisation de la maintenance des syst` emes de production. Les travaux men´ es dans ce ma-

nuscrit sont en collaboration avec l’UL et constituent la suite de plusieurs travaux effectu´ es depuis

plusieurs ann´ ees ` a l’UTT dans le domaine de la conception et de la fiabilit´ e. Nous nous int´ eressons

particuli` erement ` a la conception des syst` emes r´ eparables ` a composants d´ ependants pour diff` erentes

configurations. L’objectif est de mettre en place de mod` eles et d’algorithmes de r´ esolution pour

tout d’abord ´ evaluer les performances et ensuite optimiser la conception des syst` emes ´ etudi´ es tout

en consid´ erant la d´ ependance redondante entre les composants.

Organisation de th` ese et contributions

Cette th` ese apporte plusieurs contributions au domaine de la conception des syst` emes sˆ urs.

Un mod` ele de la d´ ependance redondante a ´ et´ e propos´ e pour les syst` emes k sur n : G. Ce mod` ele permet de quantifier la d´ ependance de d´ efaillance entre les composants du syst` eme. Il est ` a noter que la configuration k/n (avec k < n) est tr` es r´ epandue dans les syst` emes ` a tol´ erance de pannes, les applications industrielles, etc. Elle r´ ev` ele qu’un syst` eme ` a n composants fonctionne si au moins k composants parmi les n fonctionnent. De plus, plusieurs mod` eles et approches d’optimisation ont

´

et´ e d´ evelopp´ es qui se diff` erent par :

– le type de syst` emes pris en compte (parall` ele, k/n, s´ erie k/n),

– les variables de d´ ecisions optimales ` a trouver qui peuvent ˆ etre de nature discr` ete (le nombre des composants ` a mettre en parall` ele, le type des composants, le nombre des ´ equipes de r´ eparation) ou continues (taux de d´ efaillance, taux de r´ eparation),

– les contraintes consid´ er´ ees (poids, coˆ ut, disponibilit´ e),

– les m´ ethodes de r´ esolution (m´ ethodes exactes, approch´ ees sans ou avec hybridation, un sol- veur d´ edi´ e).

Quant aux grandeurs ` a optimiser, nos travaux se sont concentr´ es essentiellement sur deux crit` eres qui int´ eressent les ´ equipes de conception : la minimisation des coˆ uts et la maximisation de la disponibilit´ e. Pour cela, nous avons tent´ e dans un premier temps de r´ esoudre simultan´ ement les deux probl` emes d’optimisation en monocrit` ere. Un seul parmi les deux crit` eres essentiels est pris dans chaque r´ esolution comme fonction objective tout en consid´ erant l’autre comme contrainte.

Dans un deuxi` eme temps, nous avons ´ etudi´ e ´ egalement l’approche multicrit` ere et cela en consid´ erant les deux crit` eres simultan´ ement. L’ensemble des mod` eles et des m´ ethodes d´ evelopp´ es peut former un outil d’aide ` a la d´ ecision qui r´ epond d’une fa¸ con efficace au besoin industriel.

Organisation du manuscrit

Ce m´ emoire constitu´ e de quatre chapitres est organis´ e comme suit :

Le chapitre 1 est consacr´ e ` a l’introduction des diff´ erentes notions et d´ efinitions n´ ecessaires

`

a la description du sujet d’´ etude de cette th` ese ainsi qu’` a la compr´ ehension de la contribution

scientifique des travaux r´ ealis´ es. Nous pr´ esentons d’abord les diff´ erents concepts de la sˆ uret´ e

de fonctionnement (SDF). Puis, nous d´ ecrivons les d´ ependances qu’un syst` eme peut avoir en

mettant l’accent sur les d´ efaillances d´ ependantes. Nous nous int´ eressons, par la suite, aux mod` eles ainsi qu’aux techniques d’´ evaluation et d’am´ elioration de la performance des syst` emes. Nous pr´ esentons un ´ etat de l’art pour les mod` eles consid´ er´ es et les m´ ethodes de r´ esolution utilis´ ees pour l’optimisation mono et multiobjectif en mettant l’accent sur leur application dans le domaine fiabiliste. Enfin, nous pr´ ecisons la probl´ ematique abord´ ee et nous terminons ce chapitre par une conclusion.

Le chapitre 2 est consacr´ e ` a l’´ etude du probl` eme de conception des syst` emes parall` eles et des syst` emes k/n ` a composants d´ ependants. Le nombre de composants ` a utiliser ainsi que leurs caract´ eristiques en termes de taux de d´ efaillance et de taux r´ eparation sont ` a d´ eterminer pour ces syst` emes. Nous rappelons les mod` eles de d´ ependances de d´ efaillance en mettant l’accent sur la d´ ependance redondante. Dans un premier temps, nous d´ ecrivons un probl` eme d’optimisation d’un syst` eme parall` ele ` a composants d´ ependants avec comme fonction objective la minimisation du coˆ ut du syst` eme sous contrainte d’une disponibilit´ e exig´ ee. Dans un deuxi` eme temps, nous

´

etudions le probl` eme de conception du syst` eme k/n. Nous pr´ esentons une extension du concept de la d´ ependance redondante ` a tel syst` eme. Une fonction de d´ ependance est introduite pour quantifier la d´ ependance de d´ efaillance entre les composants redondants du syst` eme. Nous ´ evaluons ensuite la disponibilit´ e du syst` eme k/n en utilisant les chaines de Markov, tout en consid´ erant la notion de la d´ ependance redondante. Ensuite, nous consid´ erons deux probl` emes d’optimisation : primal et dual. Le premier vise ` a minimiser le coˆ ut du syst` eme sous contrainte d’une disponibilit´ e exig´ ee.

Alors que le deuxi` eme a pour objectif de maximiser la disponibilit´ e sous contrainte d’un budget maximal. Nous proposons de m´ ethodes de r´ esolution bas´ ees sur le solveur LINGO et l’algorithme g´ en´ etique (AG). Des applications num´ eriques sont utilis´ ees pour tester l’efficacit´ e des m´ ethodes propos´ ees. Des conclusions clˆ oturent ce chapitre.

Dans le chapitre 3, nous nous int´ eressons au probl` eme d’allocation de redondance avec d´ ependance

redondante dans les syst` emes r´ eparables s´ eries k sur n. Vu que la d´ ependance de d´ efaillance et les

ressources de r´ eparation affectent significativement la disponibilit´ e du syst` eme, il est important de

les prendre en compte lors de la phase de conception. Apr` es avoir d´ efini une fonction particuli` ere

de la d´ ependance redondante, les expressions explicites de la disponibilit´ e stationnaire du syst` eme

relatives aux diff´ erents niveaux de d´ ependance sont obtenues. Un probl` eme d’optimisation non

lin´ eaire est ensuite formul´ e en monocrit` ere. Il vise ` a minimiser les coˆ uts associ´ es aux composants

et aux ´ equipes de r´ eparation sous contrainte d’une disponibilit´ e requise du syst` eme. Pour chaque niveau de d´ ependance, nous d´ eterminons le nombre de composants et le nombre des ´ equipes de r´ eparation ` a allouer ` a chaque sous-syst` eme afin d’avoir la meilleure configuration ´ economique et fiable du syst` eme tout entier. Des m´ ethodes de r´ esolution bas´ ees sur l’algorithme g´ en´ etique, les algorithmes d’optimisation par colonies de fourmis, et leur hybridation avec une recherche locale sont d´ evelopp´ ees. De probl` emes de diff´ erentes tailles sont test´ es afin d’´ evaluer l’efficacit´ e des approches d’optimisation propos´ ees. Les solutions des meilleurs algorithmes sont compar´ ees ` a celles obtenues par une m´ ethode exacte et par le solveur LINGO. Nous abordons, par la suite, le probl` eme de maximisation de la disponibilit´ e sous contrainte de coˆ ut pour les syst` emes k sur n.

Des conclusions et perspectives pour ce probl` eme monocrit` ere clˆ oturent ce chapitre.

L’aspect multiobjectif du probl` eme de conception des syst` emes s´ eries k sur n est abord´ e dans le chapitre 4. Nous commen¸ cons par une description et une mod´ elisation math´ ematique du probl` eme ´ etudi´ e. Nous nous concentrons sur deux objectifs : maximisation de la disponibilit´ e et minimisation du coˆ ut sous contrainte du poids donn´ e du syst` eme. Les composants appartenant au mˆ eme sous-syst` eme sont suppos´ es identiques et peuvent ˆ etre d´ ependants. Ils sont choisis parmi un ensemble disponible dans le march´ e. En plus du nombre de composants redondants et de nombre des ´ equipes de r´ eparation ` a attribuer ` a chaque sous-syst` eme, nous consid´ erons le type de composants et leur niveau de d´ ependance comme des variables de d´ ecision. Nous pr´ esentons ensuite de m´ ethodes d’optimisation qui sont bas´ ees sur la deuxi` eme version de l’algorithme g´ en´ etique par dominance de Pareto (NSGA-II) et l’algorithme SPEA-II. Plusieurs techniques de gestion des contraintes sont consid´ er´ ees. Afin d’analyser les performances des diff´ erentes m´ ethodes d´ evelopp´ ees, une application num´ erique est ´ etablie et une comparaison bas´ ee sur de diff´ erentes m´ etriques bien connues est pr´ esent´ ee.

Une conclusion g´ en´ erale termine cette th` ese et des perspectives de recherche sont pr´ esent´ ees.

Liste de publications

Articles dans des journaux internationaux r´ ef´ erenc´ es avec comit´ e de lecture [J.1] Milia Habib, Farouk Yalaoui, Hicham Chehade, Nazir Chebbo, Iman Jarkass,

“Multi-objective design optimization of repairable k-out-of-n subsystems in se- ries with redundant dependency”, International Journal Of Production Research, doi :10.1080/00207543.2017.1346319.

Articles dans des conf´ erences internationales avec actes r´ epertori´ es dans les bases de donn´ ees internationales

[C.1] Milia Habib, Hicham Chehade, Farouk Yalaoui, Nazir Chebbo, Iman Jarkass, “Availability optimization of a redundant dependent system using genetic algorithm”, IFAC-PapersOnline Volume 49, Issue 12, 2016, Pages 733-738, ISSN 2405-8963, IFAC 8th International Conference on Manufacturing Modelling, Management and Control (MIM 2016), Troyes, France, 28-30 June, 2016.

[C.2] Milia Habib, Farouk Yalaoui, Hicham Chehade, Nazir Chebbo, Iman Jarkass, “Design optimization and redundant dependency study of series k-out-of-n :G repairable systems”, IFAC-PapersOnLine, Volume 49, Issue 28, 2016, Pages 126-131, ISSN 2405-8963, 3rd IFAC Workshop on Advanced Maintenance Engineering, Services and Technology (AMEST 2016), Biarritz, France, 19-21 October, 2016.

[C.3] Milia Habib, Hicham Chehade, Farouk Yalaoui, Nazir Chebbo, Iman Jarkass, “Maximiza- tion of system availability with failure dependency”, 2016 IEEE International Multidiscipli- nary Conference on Engineering Technology (IMCET 2016), Pages 115-119, doi : 10.1109/IM- CET.2016.7777437, Beirut, Lebanon, 2-4 November 2016.

[C.4] Milia Habib, Farouk Yalaoui, Hicham Chehade, Nazir Chebbo, Iman Jarkass, “Availabi- lity analysis and redundant dependency modeling of k-out-of-n :G system”, 8 pages, 10th International Conference On Mathematical Methods In Reliability (MMR 2017), Grenoble, France, 3-6 Juillet 2017.

Communications dans des conf´ erences internationales sans actes

[C.1] Milia Habib, Farouk Yalaoui, Hicham Chehade, Nazir Chebbo, Iman Jarkass, “Evaluation

et optimisation des performances des syst` emes de production ` a la phase de conception”,

22nd Scientific International Conference The Social Avenues of the Research, (LAAS’16),

Holy Spirit University of Kaslik, Lebanon, 14-15 April, 2016.

Contexte de l’´ etude, g´ en´ eralit´ es et

´ etat de l’art

R´ esum´ e :

Ce chapitre est consacr´ e ` a la description du contexte g´ en´ eral de l’´ etude. Dans un premier temps, nous introduisons les terminologies et les notions caract´ erisant la sˆ uret´ e de fonctionnement des syst` emes (SDF). Nous nous int´ eressons ´ egalement ` a d´ ecrire et classifier les d´ efaillances qu’un syst` eme peut subir dans le domaine de la sˆ uret´ e en mettant l’accent sur les d´ efaillances d´ ependantes.

Dans un deuxi` eme temps, nous d´ ecrivons les techniques de mod´ elisation qui permettent d’´ evaluer les performances des syst` emes. Nous analysons ainsi les principales approches d’am´ elioration de la SDF. Par la suite, nous pr´ esentons les diff´ erentes m´ ethodes d’optimisation, y compris l’aspect multiobjectif en mettant l’accent sur leur application dans le domaine fiabiliste. Finalement, nous pr´ esentons le contexte dont cette th` ese fait l’objet. Dans ce cadre, nous d´ ecrivons la probl´ ematique

´

etudi´ ee bas´ ee sur la maˆıtrise et l’optimisation de la fiabilit´ e/disponibilit´ e dans la conception des syst` emes industriels.

9

1.1 Introduction

La complexit´ e croissante des syst` emes industriels, leur implication grandissante dans la vie

´

economique et sociale, la n´ ecessaire minimisation de leur coˆ ut de construction et d’exploitation dans un monde tr` es concurrentiel : tout n´ ecessite qu’une grande attention soit accord´ ee ` a la sˆ uret´ e de fonctionnement d` es la phase de conception. La sˆ uret´ e de fonctionnement est un concept g´ en´ erique qui englobe des notions fondamentales telles que la fiabilit´ e, la maintenabilit´ e, la disponibilit´ e et la s´ ecurit´ e [6].

Les syst` emes industriels tels que les syst` emes de production, sont compos´ es souvent de plusieurs sous-syst` emes comportant de composants d´ ependants, eux mˆ emes caract´ eris´ es par des compor- tements mettant en ´ evolution diff´ erents ph´ enom` enes. La performance de ces systemes d´ epend des configurations adopt´ ees, ainsi que des liens et des d´ ependances entre les composants. La mod´ elisation et l’´ evaluation des mesures de sˆ uret´ e de fonctionnement est un large domaine d’in- vestigation.

Dans le monde industriel, la phase de conception consiste ` a ´ etudier les diff´ erentes alternatives fonc- tionnelles et technologiques du syst` eme afin de mettre en place une d´ emarche efficace permettant de r´ epondre aux exigences des cahiers des charges. Chaque alternative est caract´ eris´ ee par sa fiabi- lit´ e, sa maintenabilit´ e, sa productivit´ e, etc. Une ´ etude pouss´ ee doit donc ˆ etre men´ ee de mani` ere ` a choisir les composants (et ´ eventuellement leur nombre) ` a utiliser ` a partir de composants disponibles sur le march´ e, dont les attributs tels que le coˆ ut, le poids, la fiabilit´ e, etc. peuvent ˆ etre connus.

Un ensemble de contraintes (coˆ ut d’investissement, taux de performance, fiabilit´ e du processus, ...) sont ` a respecter. La conception de syst` emes fiables peut ˆ etre formul´ ee alors par un probl` eme d’optimisation combinatoire. L’optimisation de la fiabilit´ e/disponibilit´ e en phase de conception des syst` emes est d´ esormais l’une des principales pr´ eoccupations des entreprises. Ce probl` eme pr´ esente un vrai int´ erˆ et dans le domaine de la sˆ uret´ e des syst` emes.

Dans ce contexte, le travail pr´ esent´ e dans ce m´ emoire se base sur l’optimisation de la conception et la maˆıtrise de la fiabilit´ e/disponibilit´ e de syst` emes industriels. Nous pr´ esentons dans la section suivante le concept de la sˆ uret´ e de fonctionnement des syst` emes et ses principales composantes.

1.2 Sˆ uret´ e de fonctionnement des syst` emes

L’´ etude de sˆ uret´ e de fonctionnement (SDF) est r´ ecente et elle s’est d´ evelopp´ ee au cours du

XXe si` ecle donnant ainsi naissance ` a une v´ eritable science de l’ing´ enieur. Selon Villemeur [2], la

sˆ uret´ e de fonctionnement est d´ efinie comme la Science des D´ efaillances, elle inclut leur connais- sance, leur ´ evaluation, leur pr´ evision, leur mesure et leur maˆıtrise. Au sens strict, elle est d´ efinie comme l’aptitude d’une entit´ e ` a satisfaire ` a une ou plusieurs fonctions requises dans des conditions donn´ ees. Elle regroupe les activit´ es d’´ evaluation pr´ evisionnelle de la fiabilit´ e, de la disponibilit´ e, de la maintenabilit´ e et de la s´ ecurit´ e. Ces activit´ es visent ` a minimiser les risques d’accidents et de dysfonctionnement des syst` emes. Leur prise en compte en phase de conception permet de mieux maˆıtriser et am´ eliorer le fonctionnement des syst` emes aussi bien sur le plan de la s´ ecurit´ e que sur le plan ´ economique.

1.2.1 Fiabilit´ e

On retrouve dans la litt´ erature plusieurs d´ efinitions de la fiabilit´ e, toutes ´ etant justifi´ ees et relatives ` a un secteur d’activit´ e donn´ e. L’Union Technique de l’Electricit´ e (UTE), sur recomman- dation de la commission ´ electrotechnique internationale, a propos´ e la d´ efinition suivante : la fiabilit´ e (Reliability ) est

l’aptitude d’un dispositif ` a accomplir une fonction requise, dans des conditions donn´ ees, pendant une dur´ ee donn´ ee

. Le terme dispositif d´ esigne entit´ e, c’est-` a-dire tout com- posant, sous-syst` eme ou syst` eme que l’on peut consid´ erer et essayer individuellement. Au sens math´ ematique, la fiabilit´ e est g´ en´ eralemenent caract´ eris´ ee ou mesur´ ee par la probabilit´ e que l’en- tit´ e accomplisse une ou plusieurs fonctions requises dans des consitions donn´ ees, pendant une dur´ ee donn´ ee [7]. L’expression math´ ematique de R(t) de l’entit´ e S ` a un instant t est :

R(t) = P rob {S non d´ efaillante sur intervalle [0, t]} (1.1) Cette expression r´ ev` ele que l’entit´ e S n’ait occup´ e que des ´ etats de marche pendant la dur´ ee [0, t].

L’aptitude contraire est appel´ ee

d´ efiabilit´ e

, sa mesure est not´ ee R(t) :

R(t) = 1 − R(t) (1.2)

On distingue plusieurs types de fiabilit´ e associ´ ee ` a un syst` eme [2] :

– La fiabilit´ e pr´ evisionnelle, qui estime une fiabilit´ e future ` a partir de consid´ erations sur la

conception des syst` emes. Elle est obtenue ` a partir d’un mod` ele math´ ematique, connaissant

la fiabilit´ e estim´ ee de ses composants. Alain Pag` es et Michel Gondran [7] ont pr´ esent´ e dans

leur ouvrage en 1980 une synth` ese des travaux effectu´ es ` a cette ´ epoque sur les m´ ethodes

d’´ evaluation de la fiabilit´ e pr´ evisionnelle des syst` emes. Ils ont ´ et´ e ´ etroitement associ´ es aux

pr´ eoccupations d’Electricit´ e de France concernant la fiabilit´ e des centrales, des r´ eseaux de transport et d’interconnexion.

– La fiabilit´ e intrins` eque, mesur´ ee au cours d’essais sp´ ecifiques effectu´ es selon un protocole d’essais bien d´ efini.

– La fiabilit´ e op´ erationnelle, ´ evalu´ ee en tenant compte des donn´ ees obtenues ` a partir de l’ob- servation et de l’analyse du comportement d’entit´ es identiques dans les mˆ emes conditions op´ erationnelles.

– La fiabilit´ e extrapol´ ee qui r´ esulte d’une extension (par extrapolation d´ efinie ou par interpo- lation) de la fiabilit´ e op´ erationnelle ` a des dur´ ees ou des conditions diff´ erentes.

1.2.2 Disponibilit´ e

Les ´ el´ ements constituant le syst` eme sont susceptibles d’avoir des d´ efaillances. Ces ´ el´ ements peuvent ˆ etre r´ eparables ou non r´ eparables. La disponibilit´ e (Availability ) instantann´ ee est l’aptitude d’une entit´ e ` a ˆ etre en ´ etat d’accomplir une fonction requise dans des conditions donn´ ees, ` a un instant donn´ e. De mani` ere g´ en´ erale, elle est mesur´ ee par la probabilit´ e que l’entit´ e S soit non d´ efaillante

`

a l’instant t. L’expression math´ ematique de A(t) de l’entit´ e S ` a un instant t est [8] :

A(t) = P rob {S non d´ efaillante ` a l’instant t} (1.3) Cette grandeur montre l’efficacit´ e de l’entit´ e et sa remise en op´ eration suite aux d´ efaillances. Elle repr´ esente la mesure dans laquelle un syst` eme ou un composant est op´ erationnel et accessible lorsqu’on fait appel ` a lui [9]. Il est ` a noter que la disponibilit´ e et la fiabilit´ e sont ´ equivalentes quand le syst` eme est non r´ eparable. Dans le cas g´ en´ eral (par exemple pour un syst` eme r´ eparable), on trouve la relation suivante :

A(t) ≥ R(t) (1.4)

L’aptitude contraire de la disponibilit´ e sera d´ enomm´ ee

indisponibilit´ e

, sa mesure est not´ ee A(t) :

A(t) = 1 − A(t) (1.5)

En pratique, on s’int´ eresse plus ` a l’´ evaluation de la disponibili´ e sur un intervalle de temps. On peut distinguer alors deux types qui sont souvent utilis´ es [10] :

– La disponibilit´ e moyenne ` a temps de fonctionnement (Average uptime availability) : c’est la

portion du temps durant lequel l’entit´ e ou le syst` eme S est disponible dans un intervalle de temps donn´ e [0, T ], elle est donn´ ee par :

A(T) = 1 T

Z

A(t) dt (1.6)

– La disponibilit´ e asymptotique (Steady state availability) : c’est la probabilit´ e que le syst` eme soit op´ erationnel dans un intervalle de temps tr` es large, elle est donn´ ee par :

A(∞) = lim

t→∞

A(t) (1.7)

Il est ` a noter que pour les syst` emes industriels avec des composants r´ eparables, le param` etre le plus int´ eressant utilis´ e pour ´ etudier les actions de maintenance est la disponibilit´ e stationnaire [11].

1.2.3 Maintenabilit´ e

La notion de maintenabilit´ e (Maintainability) ne concerne que les syst` emes r´ eparables. C’est l’aptitude d’une entit´ e ` a ˆ etre maintenue ou r´ etablie dans un ´ etat dans lequel elle peut accomplir une fonction requise, lorsque la maintenance est r´ ealis´ ee dans des conditions donn´ ees avec des proc´ edures et des moyens prescrits [2].

La maintenabilit´ e not´ ee M (t) est g´ en´ eralement mesur´ ee par la probabilit´ e que l’entit´ e S, ` a l’instant t, soit en ´ etat d’accomplir ses fonctions ` a cet instant, sachant qu’elle ´ etait en panne ` a l’origine (t = 0) [2], [8].

M(t) = P rob {S est r´ epar´ ee sur l’intervalle [0, t]/S est en panne ` a t = 0} (1.8) Il existe de nombreuses politiques de maintenance. L’un des principaux crit` eres de distinction est le moment de l’intervention par rapport ` a la panne. On distingue [2], [6] :

– La maintenance corrective se fait apr` es la d´ etection d’une panne. Elle suppose un nombre im- portant de r´ eparateurs (surtout sur des syst` emes de production pour lesquels la disponibilit´ e est cruciale) et une bonne gestion des pi` eces de rechange. Suivant la nature des interventions, on distingue deux types de remise en ´ etat de fonctionnement :

– La r´ eparation (maintenance curative) consiste ` a une remise en l’´ etat initial (´ etat de fonc- tionnement conforme aux conditions donn´ ees),

– le d´ epannage consiste ` a une remise en ´ etat provisoire qui sera obligatoirement suivi d’une

r´ eparation.

– La maintenance pr´ eventive ne consiste pas ` a r´ eparer les pannes, mais ` a les anticiper. Elle est ex´ ecut´ ee ` a des intervalles de temps pr´ ed´ etermin´ es et destin´ ee ` a r´ eduire la probabilit´ e de d´ efaillance du composant. Elle se subdivise ` a son tour en maintenances pr´ eventives syst´ ematiques, maintenances pr´ eventives conditionnelles, maintenances pr´ evisionnelles et proactives. Plus de d´ etails sur ces diff´ erents types peuvent ˆ etre trouv´ es dans [6].

1.2.4 S´ ecurit´ e

La s´ ecurit´ e (Safety ) est l’aptitude d’une entit´ e ` a ´ eviter de faire apparaˆıtre, dans des condi- tions donn´ ees, des ´ ev´ enements critiques ou catastrophiques. Elle est g´ en´ eralement mesur´ ee par la probabilit´ e qu’une entit´ e S ne laisse pas apparaˆıtre dans des conditions donn´ ees, des ´ ev´ enements critiques ou catastrophiques [2]. On distingue deux types de s´ ecurit´ e [12] :

– la s´ ecurit´ e-innocuit´ e vise ` a se prot´ eger des d´ efaillances catastrophiques dont les cons´ equences sont inacceptables vis-` a-vis du risque,

– la s´ ecurit´ e-confidentialit´ e correspond ` a la pr´ evention d’acc` es ou de manipulations non auto- ris´ ees de l’information.

D’autres concepts peuvent ˆ etre ´ egalement inclus dans la sˆ uret´ e de fonctionnement tels que la durabilit´ e, la continuabilit´ e, la serviabilit´ e [2]. Ces grandeurs ne sont pas ´ etudi´ ees dans ce manuscrit.

1.2.5 Principales caract´ eristiques utilis´ ees en fiabilit´ e

Il existe de nombreuses grandeurs qui peuvent caract´ eriser la sˆ uret´ e de fonctionnement des syst` emes. Dans cette partie, nous pr´ esentons les principales mesures utilis´ ees en fiabilit´ e [13].

D´ esignons par T la variable al´ eatoire caract´ erisant l’instant de d´ efaillance d’un dispositif donn´ e.

Notons par F (t) la fonction de r´ epartition correspondante, elle repr´ esente la probabilt´ e que le dispositif tombe en panne pendant l’intervalle de temps [0, t]. La fiabilit´ e R(t) s’exprime donc par la relation suivante :

R(t) = P rob (T > t) = 1 − P rob (T ≤ t) = 1 − F (t) (1.9) Il en r´ esulte que R(t) est une fonction d´ ecroissante de t sur [0, ∞[ et que R(t) + F (t) = 1.

La densit´ e de probabilit´ e de d´ efaillance, not´ ee par f (t), est telle que : f(t) = dF (t)

dt = lim

∆t→0

P rob (t < T ≤ t + ∆t)

∆T (1.10)

Soit encore :

f (t) = − dR(t)

dt (1.11)

On a donc la relation entre la fiabilit´ e et la densit´ e de d´ efaillance : R(t) = 1 −

Z

f (t)dt (1.12)

1.2.5.1 Taux de d´ efaillance

Le taux de d´ efaillance d’un dispositif ` a l’instant t est d´ efini par la fonction λ(t) telle que : λ(t) = lim

∆t→0

P rob (t < T ≤ t + ∆T /T > t)

∆T = − dR(t)

dt 1

R(t) = f(t)

1 − F (t) = f (t) 1 − R

0

f (t)dt (1.13) Physiquement, le produit λ(t)∆t repr´ esente la probabilit´ e conditionnelle qu’une d´ efaillance du dispositif se produise dans l’intervalle de temps [t, t + ∆t] sachant que ce dispositif n’est pas tomb´ e en panne avant t.

On a les relations suivantes entre la fiabilit´ e et le taux de d´ efaillance :

λ(t) = f(t)

R(t) (1.14)

λ(t) = − d[LogR(t)]

dt ⇔ R(t) = e

(1.15) Il est fr´ equant que des dispositifs pr´ esentent un taux de d´ efaillance en fonction du temps λ(t) suivant une courbe dite

en baignoire

. Cette courbe d´ ecrit l’´ evolution des composants au cours de leur cycle de vie qui suit trois phases comme montre la figure 1.1 [2], [1], [14]. Les trois p´ eriodes

Figure 1.1 – Taux de d´ efaillance en fonction du temps [1]

de la courbe en baignoire sont :

– p´ eriode de jeunesse dans laquelle le taux de d´ efaillance de composant d´ ecroit rapidement ` a cause de l’´ elimination des d´ efauts de jeunesse et au rodage, c’est la p´ eriode de d´ efaillance pr´ ecoce (Zone A),

– p´ eriode de vie utile dans laquelle le taux de d´ efaillance est approximativement constant. Les diff´ erents composants ont prouv´ e leur robustesse aux d´ efauts de jeunesse. Ils sont en phase de maturit´ e (Zone B),

– p´ eriode de vieillissement dans laquelle le taux de d´ efaillance augmente rapidement en fonction du temps, c’est la p´ eriode de d´ efaillance d’usure (Zone C).

1.2.5.2 Taux de r´ eparation

Pour une entit´ e r´ eparable, le taux de r´ eparation instantann´ e (µ(t)) exprime la probabilit´ e pour qu’une entit´ e S, qui a ´ et´ e en panne pendant un temps t, retrouve son aptitude ` a remplir sa fonction dans l’unit´ e de temps qui suit.

Math´ ematiquement, le taux de r´ eparation instantann´ e µ(t) s’´ ecrit [2] : µ(t) = lim

∆t→0

P [S est r´ epar´ ee sur [t, t + ∆t]/S en panne sur[0, t]

∆T (1.16)

1.2.5.3 Grandeurs temporelles

De nombreuses grandeurs temporelles peuvent caract´ eriser l’´ etat de fonctionnement du syst` eme : avant d´ efaillance, entre d´ efaillance, entre d´ efaillance et r´ eparation, etc. [14]. Villemeur [2]

pr´ esente quelques temps caract´ erisant de la SdF. De mˆ eme, il les illustre au moyen d’un graphique d´ ecrivant la relation existant entre eux (figure 1.2).

– La dur´ ee moyenne du bon fonctionnement du syst` eme jusqu’` a la premi` ere d´ efaillance (MTTF : Mean Time To First Failure). La d´ efinition est :

M T T F = Z

0

R(t)dt = Z

0

tf (t)dt (1.17)

– La dur´ ee moyenne des temps techniques de r´ eparation (MTTR : Mean Time To Repair ), – La dur´ ee moyenne de fonctionnement apr` es r´ eparation (M U T : Mean Up-Time),

– La dur´ ee moyenne d’indisponibilit´ e du syst` eme (MDT : Mean Down Time),

– La moyenne des temps entre deux d´ efaillances d’un syst` eme r´ eparable (MTBF : Mean Time

Between Failure).

Figure 1.2 – Repr´ esentation du MTTF, MUT, MDT, MTBF [2]

1.2.5.4 Lois de probabilit´ e

Il existe de lois fr´ equemment utilis´ ees en sˆ uret´ e de fonctionnement qui permettent d’analyser la dur´ ee de vie d’un composant. Les principales sont la loi exponentielle et la loi de Weibull [2].

– La loi exponentielle d´ ecrit le cas de composant dans la zone de vie utile. Le taux de d´ efaillance constant indique une distribution de d´ efaillance exponentielle. Cette loi est sans m´ emoire et souvent exploit´ ee par des processus markoviens homog` enes. Elle peut servir pour l’´ etude de d´ egradation des composants ´ electroniques. Elle est tr` es souvent retenue dans la litt´ erature car elle conduit ` a des calculs simples.

λ(t) ≡ λ ⇒ R(t) = exp(−λt), M T T F = 1

λ (1.18)

De mˆ eme, si le taux de r´ eparation µ(t) est constant, on en d´ eduit : µ(t) ≡ µ ⇒ M(t) = 1 − exp(−µt), M T T R = 1

µ (1.19)

– La loi de Weibull est largement utilis´ ee pour mod´ eliser les donn´ ees de fiabilit´ e en raison de son param´ etrage ais´ e et multiforme.

λ(t) = β θ

t θ

, θ > 0, β > 0, t ≥ 0 (1.20)

Les param` etres θ et β sont respectivement les param` etres d’´ echelle et de forme. La loi de

Weibull permet de rep´ esenter un taux de d´ efaillance croissant (β > 1) ainsi que d´ ecroissant (β < 1) avec le temps. En g´ en´ eral, elle correspond bien aux composants m´ ecaniques pour lesquels les taux de d´ efaillances sont rarement constants.

1.3 D´ efaillance

1.3.1 Principales causes de d´ efaillance

Les d´ efaillances des composants du syst` eme peuvent avoir plusieurs causes. Une classification a ´ et´ e faite par Villemeur [2] qui regroupe les d´ efaillances en trois cat´ egories : d´ efaillance premi` ere, d´ efaillance seconde et d´ efaillance de commande. La d´ efaillance premi` ere r´ esulte d’une cause interne d’un composant et non de la d´ efaillance d’un autre composant. Pour un composant en exploitation, elle peut ˆ etre dˆ ue au vieillissement naturel, ` a des probl` emes d’usure, ` a des d´ efauts de conception, fabrication ou de sp´ ecifications techniques, etc. La d´ efaillance seconde est une d´ efaillance d’un composant dont la cause directe ou indirecte est une d´ efaillance d’un autre composant. Autres causes peuvent aussi ˆ etre ` a l’origine de cette d´ efaillance telles que des contraintes excessives en dehors de la conception, des conditions particuli` eres dans l’environnement, des erreurs humaines.

La d´ efaillance de commande est dˆ ue aux signaux incorrects de commande et de contrˆ ole.

Nous nous int´ er´ essons dans cette th` ese ` a la deuxi` eme cat´ egorie o` u la d´ efaillance d’un composant peut affecter autres composants dans le syst` eme. C’est l’un des aspects des d´ efaillances d´ ependantes.

Dans le paragraphe suivant, on d´ ecrit bri` evement les d´ efaillances d´ ependantes pour bien situer nos travaux.

1.3.2 D´ ependance et classification

Les syst` emes modernes sont souvent des syst` emes multi-composants tr` es dynamiques et soumis

`

a des interventions externes (maintenance, etc.). Des d´ ependances et des interactions complexes (mat´ erielles, humaines, environnementales, etc.) sont fr´ equemment pr´ esentes. D’apr` es Thomas [15], les composants d’un syst` eme maintenu peuvent avoir trois types d’interactions : la d´ ependance

´

economique, la d´ ependance structurelle et la d´ ependance stochastique. La d´ ependance ´ economique

intervient lorsque le coˆ ut de remplacement ou de r´ eparation d’un ensemble de composants est

moins que la somme de leurs coˆ uts de remplacement ou de r´ eparation individuellement. La

d´ ependance structurelle intervient lorsque la maintenance d’un composant d´ efaillant entraˆıne

un arrˆ et de fonctionnement de certains autres composants. La d´ ependance stochastique est

pr´ esente lorsque l’´ etat d’un composant peut affecter l’´ etat des autres composants ou leurs taux de d´ efaillance. Elle existe souvent dans les syst` emes industriels. La prise en compte de ce type de d´ ependance d` es la phase de conception permet une ´ evaluation plus pr´ ecise de la performance du syst` eme. Pour cela, nous nous concentrons dans ce manuscrit sur la d´ ependance stochastique qui met en jeu les d´ efaillances d´ ependantes des composants.

En effet, de nombreux travaux de la litt´ erature ont consid´ er´ e que les composants du syst` eme tombent en panne ind´ ependamment les uns des autres. Ceci a ´ et´ e mod´ elis´ e en supposant que les variables d’´ etats des composants sont des variables al´ eatoires ind´ ependantes. Cette hypoth` ese sim- plifie consid´ erablement la mod´ elisation ainsi que l’analyse statistique du syst` eme [8]. Cependant, pour la plupart des cas pratiques, cette hypoth` ese de l’ind´ ependance de d´ efaillance est souvent viol´ ee [16], [17], [18].

Nous pouvons distinguer plusieurs groupes de d´ efaillances d´ ependantes, parmi lesquels nous citons [8] :

– Les d´ efaillances ` a cause commune (DCC) : ce sont des d´ efaillances d´ ependantes dans les- quelles deux ou multiples ´ etats d’´ echec des composants existent simultan´ ement, ou dans un court intervalle de temps et sont dˆ us ` a une mˆ eme cause [8]. Les principales causes de ces d´ efaillances peuvent ˆ etre des conditions environnementales extrˆ emes (vibrations, radia- tions, humidit´ e, inondation, etc. ), d´ efaillance d’un ´ equipement externe au syst` eme, erreurs humaines, erreurs dans la conception ou l’installation du syst` eme, erreurs de maintenances [19]. La cause principale de DCC n’est pas alors la d´ efaillance d’un autre composant dans le syst` eme. Les d´ efaillances ` a cause commune ont ´ et´ e consid´ er´ ees dans plusieurs travaux tels que de Guey et al. [20] en 1986, Pan et al. [21] en 1995, Xie et al. [22] en 2004 , Levitin et al. [23] en 2013 ou encore de Yuge et al. [24] en 2016.

– Les d´ efaillances en cascade, appel´ ees aussi propagation d’´ echecs dans lesquelles la d´ efaillance d’un composant se propage vers un ensemble de composants du syst` eme. Nous pouvons les trouver dans les syst` emes de production, les syst` emes de distribution d’´ electricit´ e, etc.

Plusieurs auteurs se sont int´ eress´ es ` a ce type de d´ ependance comme Chang et al.[25] et Eusgeld et al. [26] en 2011, Levitin et al. [23] en 2013.

– D´ ependance redondante : Une d´ ependance parmi des composants est appel´ ee d´ ependance

redondante si chacun des composants est une redondance pour les autres composants. Ce

concept a ´ et´ e d´ efini par Yu et al. [27] en 2006 pour les syst` emes parall` eles (` a composants en

redondance active). Cette d´ ependance consid` ere la distribution de charge entre les composants et pr´ esente un vrai int´ erˆ et pour l’optimisation de la SDF des syst` emes. Prenons l’exemple d’un syst` eme ` a charge r´ epartie entre les composants redondants du syst` eme. La d´ efaillance d’un composant peut entraˆıner une charge accrue sur les composants survivants et, par cons´ equent, une probabilit´ e de d´ efaillance plus ´ elev´ ee. La d´ ependance redondante a fait l’objet de plusieurs travaux [28], [29], [5], [30], [31]. Nous nous sommes int´ eress´ es dans ce travail ` a la mod´ elisation de cette d´ ependance pour diff´ erents types des syst` emes que nous pr´ esentons dans les chapitres suivants.

Il est ` a noter que les ´ etudes r´ ecentes de la SDF accordent une grande attention aux probl` emes des d´ efaillances d´ ependantes. Plusieurs concepts et classifications sont propos´ es dans la litt´ erature afin d’´ evaluer d’une mani` ere plus concr` ete et pr´ ecise les performances des syst` emes r´ eels. Un ´ etat de l’art plus d´ etaill´ e sera fait dans le chapitre suivant.

1.4 Mod´ elisation

La mod´ elisation est une ´ etape essentielle qui pr´ eoccupe l’ing´ enieur fiabiliste. Elle vise ` a ana- lyser les syst` emes en vue d’´ evaluer leur fiabilit´ e/disponibilit´ e. Un syst` eme peut ˆ etre d´ ecrit par un ensemble des composants comportant des interactions entre eux afin d’assurer une fonction re- quise. La m´ ed´ elisation peut ˆ etre illustr´ ee par un diagramme de fiabilit´ e. Celui-ci est constitu´ e des blocs repr´ esentant g´ en´ eralement des composants, des sous-syst` emes ou des fonctions. Elle consiste

`

a rechercher les liens entre ces blocs [2].

1.4.1 Mod` eles des syst` emes

Nous pr´ esentons dans cette partie les diff´ erents mod` eles de syst` emes utilis´ es en sˆ uret´ e de fonc- tionnement [2], [7], [6].

1.4.1.1 Syst` emes s´ eries

Un syst` eme est dit du type s´ erie lorsque la d´ efaillance de l’un de ses composants entraˆıne la d´ efaillance du syst` eme.

Consid´ erons un syst` eme s´ erie ` a n composants (Figure 1.3). Prenons E

l’´ ev´ enement

le composant

i ayant une fiabilit´ e R

(t) fonctionne sur l’intervalle [0, t]

. Suite ` a la d´ efinition du syst` eme s´ erie,

la fiabilit´ e du syst` eme est alors donn´ ee par la probabilit´ e de l’´ ev´ enement E

= (E

et E

et ... et