Mod` eles des syst` emes

a rechercher les liens entre ces blocs [2].

1.4.1 Mod`eles des syst`emes

Nous pr´esentons dans cette partie les diff´erents mod`eles de syst`emes utilis´es en sˆuret´e de

fonc-tionnement [2], [7], [6].

1.4.1.1 Syst`emes s´eries

Un syst`eme est dit du type s´erie lorsque la d´efaillance de l’un de ses composants entraˆıne la

d´efaillance du syst`eme.

Consid´erons un syst`eme s´erie `ancomposants (Figure 1.3). PrenonsE

i

l’´ev´enement

le composant

iayant une fiabilit´e R

_i

(t) fonctionne sur l’intervalle [0, t]

. Suite `a la d´efinition du syst`eme s´erie,

la fiabilit´e du syst`eme est alors donn´ee par la probabilit´e de l’´ev´enement E

s

= (E

1

etE

2

et ...et

E

_n

). En d’autres termes, c’est la probabilit´e que chacun de ces composants soit en fonctionnement

normal sur [0, t].

R(t) =P(E

s

) =

n

Y

i=1

R

i

(t) (1.21)

La relation (1.21) est vraie si lesn composants sont stochastiquement ind´ependants.

1 2 n−1 n

Figure 1.3 – Repr´esentation d’un syst`eme s´erie

1.4.1.2 Syst`emes parall`eles

Un syst`eme parall`ele est un syst`eme dont la d´efaillance se produit si et seulement si tous ses

composants sont d´efaillants. C’est le cas de la redondance active.

Consid´erons un syst`eme parall`ele `a ncomposants (Figure 1.4). Prenons E

i

l’´ev´enement

le

com-posantiayant une fiabilit´e R

_i

(t) fonctionne sur l’intervalle [0, t]

. Suite `a la d´efinition du syst`eme

parall`ele, la fiabilit´e du syst`eme est alors donn´ee par la probabilit´e de l’´ev´enement E

p

= (E

1

ou

E

₂

ou ...ou E

_n

), en d’autre terme, c’est la probabilit´e qu’au moins un de ces composants soit en

fonctionnement normal sur [0, t].

R(t) =P(E

_p

) = 1−

n

Y

i=1

(1−R

_i

(t)) (1.22)

1

2

n−1

n

1.4.1.3 Syst`emes s´eries-parall`eles ou parall`eles-s´eries

Un syst`eme s´erie-parall`ele est un syst`eme constitu´e de sous-syst`emes parall`eles en s´erie. Tandis

qu’un syst`eme parall`ele-s´erie est un syst`eme constitu´e de sous-syst`emes s´eries en parall`ele. Prenons

E

Si

l’´ev´enement

le sous-syst`emeifonctionne sur l’intervale [0, t]

. La fiabilit´e du syst`eme s´

erie-parall`ele est donn´ee par :

R(t) =P(E

S1

etE

S2

et...etE

Sn

) (1.23)

La fiabilit´e du syst`eme parall`ele-s´erie est donn´ee par :

R(t) =P(E

S1

ou E

S2

ou ...ou E

Sn

) (1.24)

Il est `a noter que ce sont les relations entre la d´efaillance du syst`eme et les d´efaillances des

com-posants qui pr´ecisent les termes

s´eries

ou

parall`eles

et non pas l’architecture r´eelle du

syst`eme.

1.4.1.4 Syst`emes redondants k/n

On distingue entre deux notionsk sur n ou k/n. Ces notions sontk sur n:G (k/n :G) et k

sur n:F (k/n:F) avec k≤n. La premi`ere d´esigne un syst`eme `a ncomposants qui fonctionne si

et seulement si au moinskcomposants parmi lesnfonctionnent. Tandis que la deuxi`eme d´ecrit un

syst`eme `a n composants qui est en panne si au moinsk composants parmi nsont en panne. Une

redondance partielle est alors impl´ement´ee dans ces configurations [11].

Soit X

t

la variable al´eatoire qui compte `a l’instant t le nombre de composants qui fonctionnent

dans le syst`eme. La fiabilit´e d’un syst`eme ksurn:Gs’´ecrit alors :

R(t) =P(X

_t

≥k) (1.25)

La fiabilit´e d’un syst`eme ksur n:F est donn´ee par :

R(t) = 1−P(X

t

< n−k) (1.26)

Il est `a noter que deux types particuliers sont aussi pr´esents : le syst`eme cons´ecutif k/n : G

(k≤n), qui fonctionne lorsquekcomposants cons´ecutifs parmi lesnfonctionnent [32] et le syst`eme

cons´ecutif k/n : F (k ≤ n) [33] qui tombe en panne d`es que k composants cons´ecutifs parmi les

n sont en panne. Les syst`emes s´eries et parall`eles sont des cas particuliers des syst`emes k/n. Ils

correspondent respectivement `ak=netk= 1.

1.4.1.5 Syst`emes `a redondance passive

Un syst`eme `a n composants est dit en redondance passive si un composant parmi les n

fonc-tionne `a la fois. D`es que le composant actif tombe en panne, un autre prend le rel`eve `a l’aide

des commutateurs. Le calcul de la fiabilit´e du syst`eme est souvent simplifi´e en supposant que les

commutateurs sont parfaits et que le d´emarrage d’une redondance passive est fait sans d´elai [34].

Consid´erons un syst`eme constitu´e de deux composants, dont un composant est en redondance

pas-sive lorsque l’autre est en service. Soit T

₁

et T

₂

les deux variables al´eatoires correspondant aux

dur´ees de fonctionnement des composants. La fiabilit´e du syst`eme s’´ecrit alors :

R(t) =P(T

1

+T

2

)≥t (1.27)

1.4.1.6 Syst`emes coh´erents

Consid´erons un syst`eme `ancomposants dont le dysfonctionnement d´epend de l’occurence des

´

ev´enements dits

de base

. D´esignons deux variables binairesx

_i

, i= 1, ..., netz

_i

pour repr´esenter

respectivement l’´etat du composantiet l’occurence de l’´ev´enement ind´esirable [27].

x

_i

=











0, si le composantiest d´efaillant.

1, si le composantiest non d´efaillant

(1.28)

z

_i

=











0, si l’´ev´enement ind´esirable survient.

1, si l’´ev´enement ind´esirable ne survient pas

(1.29)

La fonction de structure est donn´ee par la fonction ψ :

z=ψ(x), x= (x

1

, ..., x

n

) (1.30)

Consid´erons deux vecteursx= (x

1

, ..., x

n

) ety= (y

1

, ..., y

n

). On d´efinit une relation d’ordre de

la mani`ere suivante :

La fonction de structure est dite coh´erente si et seulement si elle v´erifie la relation suivante :

∀x, y x≤y ⇒ψ(x)≤ψ(y) (1.32)

Un syst`eme ayant une fonction de structure coh´erente est dit coh´erent. Notons que la plupart des

syst`emes ´etudi´es sont des syst`emes coh´erents [34]. Cependant, il existe plusieurs types de syst`emes

r´eels qui sont non coh´erents. Ces derniers ont une fonction de structure qui n’augmente pas de

mani`ere monotone avec le nombre d’unit´es en fonctionnement. Pusieurs travaux ont ´etudi´e ce type

des syst`emes dans la litt´erature [35], [36], [37], [38].

Les syst`emes non coh´erents ont ´et´e mod´elis´es et ´evalu´es initialement par Heidtmann [35]. Ils sont

caract´eris´es par trois param`etres k, l et n et sont d´efinis par des syst`emes k-to-l-out-of-n. Ces

syst`emes fonctionnent lorsque pas moins que k et pas plus que l parmi les n unit´es fonctionnent.

Notons sil=n, le syst`eme se r´eduit au syst`eme coh´erentk-out-of-n:G. Les syst`emes qui tombent

en panne dans le cas o`u il y a une sous-production ou une surproduction d’unit´es ou services font

partie des syst`emes non coh´erents. Consid´erons comme exemple, un syst`eme multiprocesseur k

-to-l-out-of-no`u les ressources telles que les bus, la m´emoire et l’unit´e I/O sont partag´es entre les

diff´erents processeurs. Ce syst`eme n’atteindra pas sa capacit´e maximale quand moins quek

proces-seurs sont utilis´es. D’autre part, lorsque le nombre de processeurs utilis´es exc`edel, sa performance

diminue aussi en raison de la congestion de trafic sur un bus de bande passante limit´ee. Ainsi, on

mod´elise ce syst`eme en supposant qu’il ´echoue pour ces deux cas extrˆemes. Ces mod`eles peuvent

aussi trouver dans les syst`emes de communications, les r´eseaux informatiques ou de transport [36].

1.4.1.7 Syst`emes multi-´etats

Les syst`emes multi-´etats (SMEs) sont des syst`emes qui peuvent avoir diff´erents niveaux de

performance et plusieurs modes de d´efaillance. Le comportement de tels syst`emes est mod´elis´e

alors par plus de deux ´etats avec des niveaux de performances diff´erents associ´es `a chacun de ces

´

etats. Ce type de syst`emes peut concerner n’importe quelle configuration structurelle s´erie-parall`ele,

k surn, etc. [39], [40]. Les syst`emes binaires font un cas particulier des syst`emes multi-´etats.

En ce qui concerne sa fonction de structure, le SME a le mˆeme concept que le syst`eme coh´erent.

Consid´erons un SME `a n composants dont chacun a k ´etats diff´erents. L’´etat de composant i `a

l’instant t est suppos´e donn´e par g

_i

(t), i = 1, ..., n. qui prend ses valeurs `a partir des K ´etats

possibles. La performance du syst`eme est donc une fonction de l’ensemble des performances des

composants :

φ(g

1

(t), ..., g

n

(t)) (1.33)

D´esignons parW la demande de service du syst`eme, une fonction d’acceptante F est alors d´efinie :

F(φ(g

1

(t), ..., g

n

(t)))≥W (1.34)

1.4.1.8 Autres syst`emes

Dans certains cas, les syst`emes peuvent prendre une diff´erente forme des configurations

pr´ec´edentes (s´eries, parall`eles, etc. ) et souvent plus complexe. Lorsqu’il en est ainsi, des m´ethodes

d’analyses plus pouss´ees sont n´ecessaires pour ´evaluer les performances du syst`eme.

Dans le document Optimisation de performances et maîtrise de la fiabilité dans la conception de systèmes de production (Page 41-46)