Etat de l’art sur les mod` eles de d´ ependances de d´ efaillance

R´ecemment, une grande attention a ´et´e accord´ee dans la litt´erature aux syst`emes `a unit´es

d´ependantes. De nombreux travaux ont ´etudi´e les syst`emes multi-´etats `a d´efaillances de cause

commune [39], [130], les syst`emes avec une propagation d’´echec `a effet s´electif [23], les syst`emes `a

charge r´epartie [22], [131] ou autres types qui sont introduits conform´ement aux exigences r´eelles

de l’industrie. Plusieurs mod`eles ont ´et´e propos´es pour d´ecrire diff´erents aspects de la d´ependance.

Vaurio [132] a pr´esent´e deux approches qui permettent d’introduire la d´ependance de d´efaillances

dans l’analyse du syst`eme : les m´ethodes implicites et les m´ethodes explicites. Les m´ethodes

im-plicites utilisent les probabilit´es jointes pour ´evaluer la corr´elation de probabilit´e des d´efaillances

`

a cause commune (DCC). Elles remplacent tous les produits P(X

i

)P(X

j

) par la probabilit´e jointe

P(X

_i

∩X

_j

) o`uX

_i

repr´esente un ´ev´enement de base correspondant au composanti. La d´ependance,

en g´en´eral, induit que la probabilit´e jointe n’est pas ´egale au produit des probabilit´es individuelles de

ses ´ev´enements de base. Cette approche s’applique si les probabilit´es jointesP(X

_i

∩X

_j

) sont connues

ou peuvent ˆetre calcul´ees `a partir des corr´elations ou de probabilit´es conditionnelles. Les m´ethodes

explicites cherchent les ´ev´enements de base mutuellement ind´ependants, puis les ´ev´enements des

d´efaillances au niveau du composant sont repr´esent´es par l’union d’´ev´enements ind´ependants. Ces

m´ethodes peuvent ˆetre g´er´ees facilement en utilisant les arbres de d´efaillances.

Le mod`ele du facteurβa ´et´e introduit par Fleming en 1974, il est couramment utilis´e pour mod´eliser

les DCCs [8]. Consid´erons par exemple, un syst`eme `a n composants identiques dont chacun a un

taux de d´efaillance constant λ. La d´efaillance d’un composant est suppos´ee dˆue `a l’une des deux

causes. La premi`ere concerne uniquement le composant ind´ependemment des autres composants,

alors que la deuxi`eme est un ´ev´enement externe qui provoque la d´efaillance simultann´ee de tous

les composants. D´esignons par λ

_I

et λ

_C

les taux de d´efaillance correspondant respectivement au

premier et au deuxi`eme type. En supposant que ces deux types de d´efaillance sont ind´ependants,

le taux de d´efaillance total du composant peut ˆetre ´ecrit alors sous la forme de la somme de ces

deux taux de d´efaillance.

λ=λ

_I

+λ

_C

(2.1)

Le facteurβ repr´esente la proportion relative d’une d´efaillance de cause commune parmi toutes les

d´efaillances d’un composant. Il est introduit de la mani`ere suivante :

β = ^λ

^C

λ

I

+λ

C

= ^λ

^C

λ ^(2.2)

Ainsi, nous aurons :

λ

_C

=βλ, andλ

_I

= (1−β)λ (2.3)

Les travaux de Fricks et Trivedi [17] en 1997 et Guo et Yang [133] en 2008 ont introduit le mod`ele

du facteur β dans les mod`eles markoviens pour mod´eliser les DCCs.

Dans l’analyse de la fiabilit´e des structures, les dur´ees de vie des composants sont g´en´eralement

d´ependantes. Deux composants dans un syst`eme peuvent partager la mˆeme charge ou ˆetre

sou-mis au mˆeme stress. Ainsi, les deux variables al´eatoires de la dur´ee de vie sont li´ees entre elles,

ou peuvent ˆetre positivement d´ependantes [134]. Il existe pluseurs notions de la d´ependance

bivariante dans la litt´erature [135]. La d´ependance en quadrant positif (PDQ Positive

qua-drant dependent) est la plus connue et la plus simple `a appliquer. Deux variables al´eatoires

X et Y sont dites positivement d´ependantes en quadrant si elles respectent l’in´egalit´e suivante

P(X ≤x, Y ≤y)≥P(X ≤x)P(Y ≤y) pour tous les xety. C’est une notion de d´ependance plus

forte que la corr´elation positive. Il est `a noter que la plupart des distributions bivariantes dans la

th´eorie de la fiabilit´e sont positivement d´ependantes.

Kotz el al. [136] ont ´etudi´e comment le degr´e de la corr´elation entre deux composants en

redon-dance active affecte l’augmentation de la dur´ee de vie moyenne du syst`eme dans lequel les deux

composants ´etaient PDQ. Une autre distribution bivariante exponentielle, nomm´ee FGM, a ´et´e

pro-pos´ee suite aux travaux de Farlie, Gumbel et Morgenstern. Elle permet de d´ecrire la d´ependance

de d´efaillance dans un syst`eme. La distribution cumulative de FGM exponentielle est donn´ee par

[137] :

F(x, y) = (1−exp(−λx))(1−exp(−µy))(1 +αexp(−λx−µy)) |α| ≤1 (2.4)

X et Y sont consid´er´es comme PDQ siα positif et comme ind´ependants si α´egal `a z´ero.

Hamadani et Nasrabadi [138] ont ´etudi´e en 2007 l’effet d’ajouter un composant redondant `a

la dur´ee de vie r´esiduelle moyenne du syst`eme. Ils ont consid´er´e deux composants d´ependants

pour diff´erentes structures du syst`eme. La distribution FGM bidimensionnelle a ´et´e utilis´ee pour

repr´esenter la distribution conjointe de deux composants d´ependants. Une comparaison avec le cas

de composants ind´ependants a ´et´e ´etablie. Les r´esultats ont montr´e que l’ajout d’un composant

en redondance passive ou en s´erie dans un syst`eme `a composants d´ependants va avoir un impact

positif sur la dur´ee de vie r´esiduelle moyenne du syst`eme. Cette derni`ere sera plus grande que

celle d’un cas similaire `a composants ind´ependants. De mˆeme, lorsque le composant est ajout´e en

redondance active, la d´ependance a un effet positif, sauf pour la dur´ee de vie pr´ecoce du syst`eme.

Cela serait plus clair pour un param`etre de d´ependance `a valeur plus ´elev´ee.

Il est `a noter que tous les mod`eles de d´ependances pr´ecit´es sont bas´es sur des mesures probabilistes

obtenues par des approches statistiques. Cependant, il existe autres mod`eles de d´ependances bas´es

sur des m´ecanismes d´eterministes relatifs `a des processus stochastiques. R´ecemment, un grand

int´erˆet leur est accord´e du fait qu’ils permettent de mod´eliser le comportement dynamique du

syst`eme. Dans cette cat´egorie de mod`eles, nous trouvons les cas o`u le taux de d´efaillance des

com-posants survivants est li´e aux r`egles diverses de la r´epartition de charges. Une hypoth`ese courante

dans les syst`emes multi-composants est que le taux de d´efaillance d’un composant survivant

aug-mente en raison de l’augmentation de sa charge, induite par la d´efaillance des autres composants

du syst`eme [139], [140], [129]. Les syst`emes `a charges r´eparties sont g´en´eralement trouv´es dans

les g´en´erateurs ´electriques partageant une charge ´electrique dans une centrale ´electrique, dans les

unit´es centrales (CPUs) d’un ordinateur multiprocesseur, dans les cˆables d’un pont suspendu [61].

Kvam et al.[141] ont mod´elis´e la d´ependance entre les composants du syst`eme `a partir de la

pers-pective des charges r´eparties. Ils ont consid´er´e deux exemples r´eels pour lesquels la r`egle de partage

de charge pourrait s’appliquer. Le premier exemple concerne les centrales d’´energie nucl´eaire o`u

les composants sont ajout´es de mani`ere redondante aux syst`emes pour prot´eger le noyau contre la

fusion. L’´echec d’un syst`eme backup pourrait affecter n´egativement le fonctionnement du syst`eme.

Cela peut induire une augmentation significative de la probabilit´e de fusion. Le deuxi`eme exemple

´

etudie la r´esistance de fibre par rapport aux fibres composites dans l’industrie textile. Un paquet

des fibres soumis `a une charge de traction stable peut ˆetre consid´er´ee comme un syst`eme parall`ele.

Le taux de d´efaillance des fibres individuelles d´epend comment la charge de ce stress global est

partag´ee dans les fibres intactes. Pour un tel syst`eme, la r`egle de partage de charge d´epend des

propri´et´es physiques des fibres composites. Dans [142], la fiabilit´e d’un syst`emes multi-d’´etat a

´

et´e analys´ee en consid´erant la r´epartition de charges et la propagation d’´echec `a effet s´electif.

Dans [143], la d´ependance de d´efaillance a ´et´e consid´er´ee lors de l’optimisation d’un syst`eme s´

erie-parall`ele. Dans [144], un syst`eme parall`ele `a charge r´epartie avec une d´ependance de d´efaillance a

´

et´e ´etudi´e. La th´eorie de renouvellement Markovienne a ´et´e utilis´ee pour obtenir la disponibilit´e et

le temps moyen du bon fonctionnement du syst`eme jusqu’`a la premi`ere d´efaillance (MTTF).

Selon Yuet al.[28], la d´efaillance d’un composant dans un syst`eme multi-composants peut r´eduire

la fiabilit´e du syst`eme sous deux aspects : la perte de sa contribution `a la fiabilit´e totale du syst`eme,

et la reconfiguration du syst`eme sous forme de la r´epartition de charges parmi les composants

sur-vivants. Cette reconfiguration peut ˆetre d´eclench´ee par les d´efaillances des composants ainsi que

par l’ajout de la redondance. C’est dans ce contexte, que la notion de la d´ependance redondante a

´

et´e introduite. Nous pr´esentons ce concept pour les syst`emes parall`eles dans la partie suivante.

Dans le document Optimisation de performances et maîtrise de la fiabilité dans la conception de systèmes de production (Page 77-80)