Approches d’am´ elioration de la sˆ uret´ e de fonctionnement des syst` emes

syst`emes

Dans le domaine de la SDF des syst`emes, nous trouvons plusieurs approches utilis´ees pour

renforcer la performance des syst`emes. Kuoet al.[61] ont cit´e les options principales pour am´eliorer

la fiabilit´e du syst`eme.

– Augmenter la fiabilit´e des composants (allocation de fiabilit´e),

– Ajouter des composants redondants (allocation de redondance),

– Augmenter la fiabilit´e des composants et ajouter des composants redondants (allocation de

fiabilit´e et de redondance),

Les premi`eres ´etudes de la SDF ont port´e sur l’allocation de la fiabilit´e. Puis, tr`es vite, les

chercheurs ont commenc´e `a traiter l’allocation de redondance et la combinaision de ces deux

probl`emes [62]. Il est `a noter que le terme allocation ici signifie allocation par optimisation. Nous

donnons dans la suite une br`eve description des principaux probl`emes d’allocation.

1.5.1 Allocation de fiabilit´e

Le probl`eme d’allocation de fiabilit´e consiste `a d´eterminer la fiabilit´e `a allouer aux diff´erents

composants d’un syst`eme. La fiabilit´e du syst`eme ne doit pas ˆetre inf´erieure `a une valeur pr´ed´efinie

tout en satisfaisant des contraintes de ressources. Celles-ci sont g´en´eralement le coˆut, le poids, le

volume.

Deux mod´elisations sont fr´equemment rencontr´ees pour ce probl`eme, `a savoir la maximisation de

la fiabilit´e, sous contraintes de ressources (formulation primale), et la minimisation du coˆut (ou

une autre ressource) sous contrainte de fiabilit´e (formulation duale).

Consid´erons un syst`eme constitu´e de nsous syst`emes op´erant selon une structure s´erie. Soientm

ressources telles que g

_ij

(R

_j

) d´esigne la consommation de la ressource i (1≤ i≤ m) par le

sous-syst`eme j (1≤j≤n) en fonction de la fiabilit´e de celui-ci not´eeR

j

. D´esignons parb

i

la quantit´e

totale disponible en ressource i. Le probl`eme d’allocation de fiabilit´e pour ce syst`eme, peut ˆetre

formul´e de la mani`ere suivante [63] :

M aximiser R

_s

=

n

Y

j=1

sous contraintes :

n

X

j=1

g

ij

(R

j

)≤b

i

,1≤i≤m (1.41)

R

_j,min

≤R

_j

≤R

_j,max

,1≤j ≤n (1.42)

0≤R

j

≤1,1≤j≤n (1.43)

Selon les hypoth`eses consid´er´ees, des bornes inf´erieures et sup´erieures sont parfois impos´ees `a la

fiabilit´e (R

_j,min

etR

_j,max

). Dans le cas d’un syst`eme quelconque constitu´e de n sous-syst`eme, la

fonction objective (1.40) sera remplac´ee parM aximiser R

s

=f(R

1

, R

2

, ..., R

n

). L’expression de la

fonctionf d´epend de la nature du syst`eme ´etudi´e (s´erie, parall`ele, s´erie-parall`ele, etc.). La fiabilit´e

du sous-syst`eme j, not´eeR

j

, peut correspondre `a la fiabilit´e d’un composant ou ˆetre une fonction

de la fiabilit´e de plusieurs composants [62].

D´esignons parC

j

(R

j

) la fonction coˆut du sous-syst`emej qui d´epend de la fiabilit´e des composants

du sous-syst`emej. NotonsR

₀

la fiabilit´e requise du syst`eme. Le probl`eme de minimisation du coˆut

sous contrainte de fiabilit´e pour le syst`eme s´erie-parall`ele peut ˆetre formul´e par :

M inimiser C

s

=

n

X

j=1

C

j

(R

j

) (1.44)

sous contraintes :

R

s

=

n

Y

j=1

R

j

≥R

0

(1.45)

R

_j,min

≤R

_j

≤R

_j,max

,1≤j ≤n (1.46)

0≤R

j

≤1,1≤j≤n (1.47)

Le probl`eme d’allocation de fiabilit´e a fait l’objet de plusieurs travaux [64], [65], [66], [67]. Yalaoui

et al. [64] ont ´etudi´e en 2005 le probl`eme d’allocation de fiabilit´e dans un syst`eme de type

s´erie-parall`ele. Le syst`eme est constitu´e de technologies diff´erentes en redondance active. Ils ont

d’abord propos´e de m´ethodes de r´esolution pour un probl`eme `a un seul ´etage (un sous-syst`eme)

qui sont ensuite exploit´ees pour le cas multi-´etages. Une condition th´eorique d’existence d’une

solution optimale est d´evelopp´ee. En plus, une seconde approche bas´ee sur une fonction

approxi-mative est propos´ee. Kuo et Wan [65] ont pass´e en revue des recherches effectu´ees jusqu’au 2007

concernant les probl`emes d’optimisation de la fiabilit´e et leurs m´ethodologies de solution. Yue et

al. [67] ont propos´e en 2015 de m´ethodes pour r´esoudre l’allocation de fiabilit´e des logiciels

mu-litiples utilis´es dans les syst`emes multim´edias. Des contraintes budg´etaires ont ´et´e prises en compte.

1.5.2 Allocation de redondance

Le probl`eme d’allocation de redondance (RAP) vise `a d´eterminer le nombre de composants

`

a mettre en parall`ele (active, passive ou k/n) dans le syst`eme [68]. Cette allocation se fait de

mani`ere `a maximiser la fiabilit´e ou la disponibilit´e du syst`eme sous contraintes de poids, d’espace,

de budget ou autres. Comme pour le probl`eme d’allocation de fiabilit´e, on rencontre deux principales

formulations pour ce probl`eme : la maximisation de fiabilit´e ou de disponibilit´e sous contrainte de

ressources ou la minimisation du coˆut sous contrainte de fiabilit´e ou de disponibilit´e.

Notonsh

_ij

(x

_j

) la consommation de la ressource i(1≤i≤m) par le sous-syst`eme j (1≤ j ≤n)

en fonction du nombre de composants en redondance x

j

. Le nombre x

j

est suppos´e born´e par

une valeur minimalel

_j

et une valeur maximale u

_j

. En consid´erant les mˆemes notations pr´esent´ees

pr´ec´edemment, le probl`eme d’allocation de redondance peut ˆetre mod´elis´e de la mani`ere suivante

[61], [63] :

M aximiser R

_s

=

n

Y

j=1

R

_j

(x

_j

) (1.48)

n

X

j=1

h

ij

(x

j

)≤b

i

,1≤i≤m (1.49)

l

_j

≤x

_j

≤u

_j

,1≤x

_j

≤n (1.50)

La contrainte (1.49) implique que les fonctions h

_ij

(x

_j

) sont s´eparables pour chaque sous-syst`eme

[61]. Dans le cas o`u elles ne sont pas s´eparables, cette contrainte s’´ecrit : h

i

(x

1

, x

2

, ..., x

n

) ≤

b

_i

, i = 1, ..., m. Autres formulations pour ce probl`eme ont ´et´e pr´esent´ees par Misra [69]. Pour

les syst`emes r´eparables, la disponibilit´e est la mesure appropri´ee pour ´evaluer la performance du

syst`eme. La fonction objective (1.48) peut ˆetre remplac´ee par la maximisation de la disponibilit´e

M aximiser A

s

=Q

n

Le probl`eme de minimisation du coˆut sous contrainte de fiabilit´e peut ˆetre formul´e comme suit :

M inimiser C

_s

=

n

X

j=1

C

_j

(x

_j

) (1.51)

sous contraintes :

R

_s

=

n

Y

j=1

R

_j

(x

_j

)≥R

₀

(1.52)

l

j

≤x

j

≤u

j

,1≤j≤n (1.53)

1.5.3 Allocation combin´ee de fiabilit´e et de redondance

Le probl`eme d’allocation de fiabilit´e et de redondance regroupe les deux probl`emes pr´esent´es

pr´ec´edemment. Il s’agit d’am´eliorer la fiabilit´e du syst`eme en d´eterminant les niveaux de redondance

et la fiabilit´e des composants [70], [66]. Ce probl`eme peut ˆetre formul´e pour un syst`eme quelconque

comme suit [61] :

M aximiser R

_s

=f(R

₁

, R

₂

, ..., R

_n

, x

₁

, x

₂

, ...x

_n

) (1.54)

sous contraintes :

n

X

j=1

d

ij

(x

j

, R

j

)≤b

i

,1≤i≤m (1.55)

l

_j

≤x

_j

≤u

_j

, x

_j

∈_N

^∗

,1≤j≤n (1.56)

0≤R

j

≤1,1≤j≤n (1.57)

Avec les notations introduites pr´ec´edemment, on noted

ij

(x

j

, R

j

) la consommation de la ressourcei

par le sous-syst`emej en fonction dex

_j

etr

_j

(cas des fonctions s´eparables). D’apr`es Kuo et Prasad

[61], ce probl`eme de programmation en nombres mixtes est tr`es difficile `a r´esoudre, mais semble ˆetre

une situation plus r´ealiste que l’allocation de fiabilit´e ou de redondance seule. Plusieurs travaux

de la litt´erature ont trait´e l’allocation combin´ee de fiabilit´e et de redondance [71], [70], [66], [72].

Kimet al.[72] se sont int´eress´es en 2017 `a un nouvel aspect du probl`eme d’allocation de fiabilit´e et

de redondance qui prend en compte la strat´egie de redondance optimale `a mettre en place (active

ou passive). En outre, une fonction de la fiabilit´e d’un sous-syst`eme redondant passif ayant un

commutateur imparfait est propos´ee. Le probl`eme formul´e est un mod`ele de programmation non

lin´eaire `a nombres entiers mixtes. Il est r´esolu en utilisant un algorithme g´en´etique.

1.5.4 Autres probl`emes d’allocation

Les probl`emes que nous venons de pr´esenter peuvent aussi se formuler `a l’aide de mod`eles `a

deux ou plusieurs objectifs (minimisation du coˆut et maximisation de la fiabilit´e ou de la

dispo-nibilit´e) sous des contraintes d’espace, de non n´egativit´e des variables continues et d’int´egralit´e

du nombre des composantsx

_i

dans chaque sous-syst`eme. Cette allocation multiobjectif est d´ecrite

dans la section suivante (1.6.2).

Dans le cas des syst`emes r´eparables, plusieurs options peuvent ˆetre envisag´ees afin d’am´eliorer la

disponibilit´e du syst`eme telles que la r´e-allocation des composants interchangeables, l’application

des actions de maintenance pr´eventive et/ou corrective, l’allocation de pi`eces de rechange, la

prise en consid´eration de la d´ependance des d´efaillances des composants en profitant de leurs

r´epartitions des charges, l’allocation des taux de r´eparation et de d´efaillance des composants

tels que la disponibilit´e du syst`eme soit optimis´ee, l’impl´ementation des tests, des op´erations de

surveillances et/ou diagnostics, etc. [69], [73], [27]. Barabadyet al.[74] se sont int´eress´es en 2007 `a

la mesure de la contribution d’une composante individuelle `a la disponibilit´e globale du syst`eme.

Ils sont bas´es sur la mesure de l’indice d’importance de disponibilit´e d’un composant/sous-syst`eme.

L’´etude r´ev`ele que les mesures d’importance de disponibilit´e pourraient ˆetre appliqu´ees dans

l’´elaboration d’une strat´egie d’am´elioration de la disponibilit´e. Le sous-syst`eme/composant ayant

la plus grande valeur de mesure d’importance a le plus grand effet sur la disponibilit´e du syst`eme.

Dans le document Optimisation de performances et maîtrise de la fiabilité dans la conception de systèmes de production (Page 54-58)