Scenario 1

a ´evaluer la qualit´e des solutions obtenues par ces algorithmes par rapport `a la m´ethode exacte

FEM. Par cons´equent, les m´ethodes de r´esolution sont appliqu´ees sur des probl`emes de petites et

moyennes instances, nomm´es respectivementP2 etP3. Les r´esultats obtenus sont compar´es `a ceux

obtenus par FEM.

En raison de la nature stochastique des m´eta-heuristiques, 10 ex´ecutions sont effectu´ees pour chaque

algorithme et sont r´ep´et´ees avec un nombre diff´erent de g´en´erations N

g

= 250, 1000 et 5000. Ces

valeurs sont s´electionn´ees apr`es de nombreux tests en fonction de la qualit´e des solutions finales

et du temps de convergence n´ecessaire. Pour chaque ex´ecution, nous comparons les fronts Pareto

obtenus en utilisant les diff´erentes m´etriques de performance. Nous calculons les moyennes Av.

(Average) et les ´ecarts types S.D. (Standard deviation) de ces m´etriques au cours de dix ex´ecutions

et pour les trois valeurs mentionn´ees de N

_g

comme indiqu´e plus tard dans les tableaux 4.5, 4.6,

4.10 et 4.11. Les figures ci-apr`es illustrent les fronts Pareto obtenus lors de la dixi`eme ex´ecution

des algorithmes.

4.4.2.1 Scenario 1

Dans ce sc´enario, nous consid´erons une version modifi´ee de l’exemple d´ecrit dans [174] pour

r´epondre au probl`eme ´etudi´e. Un syst`eme de 14 sous-syst`emes connect´es en s´erie est consid´er´e

pour le probl`eme P1. Chaque sous-syst`eme poss`ede trois ou quatre types disponibles des

compo-sants. Chaque type est caract´eris´e par le taux de d´efaillance nominal, le coˆut d’achat et le poids,

comme l’illustre le tableau 4.3. Nous ajoutons ´egalement le taux de r´eparation de chaque type dans

le tableau 4.3. En ce qui concerne les sous-syst`emes, les param`etres correspondants sont affich´es

dans le tableau 4.4. Nous supposons que le nombre de composants utilis´es dans le sous-syst`eme

i(i = 1, ...,14) varie entre une valeur minimale requise k

i

= 3 et une valeur maximale allou´ee

n

^max_i

= 10. De plus, l’un des quatres niveaux de d´ependance est s´electionn´e pour les composants

redondants d’un mˆeme sous-syst`eme i : ind´ependant (a

i

= 0), faible (a

i

= 0.5), lin´eaire (a

i

= 1)

ou fort (a

_i

= 1.5). L’objectif est de maximiser la disponibilit´e et de minimiser le coˆut du syst`eme

sous une contrainte de poids W

s

≤600.

La figure 4.2 pr´esente les fronts de Pareto obtenus par chaque algorithme lors de la dixi`eme

ex´ecution du probl`emeP1 avec N

g

= 250. Les r´esultats des m´etriques de performance appliqu´ees `a

ce probl`eme sont illustr´es dans les tableaux 4.5 et 4.6. Nous pouvons constater, `a partir du tableau

4.5, la sup´eriorit´e des algorithmes NSGA-II-P et NSGA-II-CD en termes de nombre de solutions

(NS) et de temps CPU (CT) vis-`a-vis SPEA-II. En termes des m´etriques SP et HRS, NSGA-II-CD

pr´esente les meilleures valeurs (valeurs inf´erieures) par rapport `a NSGA-II-P et SPEA-II. En outre,

trois comparaisons sont pr´esent´ees dans le tableau 4.6 bas´ees sur la distance de Riise (µ) et la

me-sure de Zitzler (C

₁

, C

₂

). Dans un premier lieu, NSGA-II-P est compar´e `a SPEA-II. Les r´esultats

r´ev`elent que la moyenne de µ est n´egative, ce qui signifie que le front de Pareto de NSGA-II-P

se trouve sous le front de Pareto de SPEA-II. De plus, la moyenne de C

₁

est inf´erieure `a celle de

C

2

. Ce qui montre que les solutions NSGA-II-P dominent les solutions SPEA-II. Par cons´equent,

NSGA-II-P surpasse SPEA-II en termes de convergence.

Dans un deuxi`eme lieu, NSGA-II-CD est ´egalement compar´e `a SPEA-II. De mˆeme, il a montr´e

plus d’avantages que SPEA-II comme Av.µ <0 et Av. C

₁

<Av. C

₂

.

Finalement, NSGA-II-P et NSGA-II-CD sont compar´es ensemble comme ils ont pr´esent´e une

meilleure performance que SPEA-II. La petite valeur de Av.µindique que les fronts Pareto de ces

deux algorithmes ´etaient tr`es proches. De plus, la valeur ´etait n´egative. En termes de la mesure de

Zitzler, NSGA-II-P domine NSGA-II-CD.

Parsuite, nous pouvons conclure que pour toutes les valeurs test´ees de N

g

, les r´esultats ´etaient

en faveur de NSGA-II-P et NSGA-II-CD. Ce dernier peut fournir une meilleure uniformit´e de la

dispersion des solutions, tandis que NSGA-II-P peut apporter une meilleure convergence. La figure

4.3a montre le front Pareto obtenu lors de la dixi`eme ex´ecution de l’algorithme avec N

_g

= 5000.

Nous avons s´electionn´e plusieurs solutions du front de Pareto de NSGA-II-P illustr´ees par la

fi-gure 4.2a pour ˆetre analys´ees. Table 4.7 pr´esente deux solutions ayant une valeur de disponibilit´e

relativement ´elev´ee. Leur configuration du syst`eme implique des composants d´ependants (faibles,

lin´eaires et forts). L’utilisation de composants d´ependants dans les sous-syst`emes peut aider `a

four-nir une disponibilit´e ´elev´ee du syst`eme.

impor-tant pour le concepteur du syst`eme d’´evaluer la performance des solutions en termes de retour

d’investissement (ROI). Ce dernier repr´esente le gain de la disponibilit´e par rapport `a

l’investisse-ment requis dans la conception du syst`eme en passant d’une solution, soiti`a une autre solution, soit

j. Il est calcul´e selon l’´equation (4.25) [123] o`uA

i

etA

j

repr´esentent respectivement la disponibilit´e

des deux solutionsietj.C

_i

etC

_j

sont leurs coˆuts respectifs.

ROI= ^A

ⁱ

^−A

^j

C

_i

−C

_j

^{, i6=j (4.25)}

Pour faire une application, 4 solutionsA,B,C etDsont s´electionn´ees du front de Pareto montr´e

par la figure 4.2a. Le ROI correspondant est ´evalu´e dans le tableau 4.8. Nous pouvons constater

qu’une augmentation de la disponibilit´e du syst`eme de 0.015 (de la solutionA`a la solutionB) exige

un investissement ´egal `a 4.6648. Alors qu’un gain de disponibilit´e du syst`eme d’environ 0.0009 (de

la solution C `a la solutionD) n´ecessite un investissement coˆuteux ´egal `a 19.1402. Par cons´equent,

son ROI correspondant est pire que celui obtenu par le premier cas. Cela r´ev`ele qu’un ´enorme

investissement ne donne pas toujours un gain de disponibilit´e du syst`eme. Une ´etude approfondie

doit se faire pour choisir les solutions ad´equates du probl`eme ´etudi´e.

Tableau 4.3 – Donn´ees d’entr´ee des composants pour les applications num´eriques

i Choix 1 (zi=1) Choix 2 (zi= 2) Choix 3 (zi=3) Choix 4 (zi=4) λi1 µi1 c^c_i1 wi1 λi2 µi2 c^c_i2 wi2 λi3 µi3 c^c_i3 wi3 λi4 µi4 c^c_i4 wi4 1 0.00532 0.0532 1 3 0.000726 0.0121 1 4 0.00499 0.0907 2 2 0.00818 0.0909 2 5 2 0.008180 0.1169 2 8 0.000619 0.0031 1 10 0.00431 0.0287 1 9 − − − − 3 0.013300 0.1400 2 7 0.011000 0.1375 3 5 0.01240 0.0954 1 6 0.004660 0.0932 4 4 4 0.007410 0.0674 3 5 0.012400 0.1378 4 6 0.00683 0.0854 5 4 − − − − 5 0.00619 0.0696 2 4 0.00431 0.0539 2 3 0.00818 0.1363 3 5 − − − − 6 0.004360 0.0623 3 5 0.005670 0.0872 3 4 0.00268 0.0298 2 5 0.000408 0.0051 2 4 7 0.010500 0.2100 4 7 0.004660 0.1165 4 8 0.00394 0.1313 5 9 − − − − 8 0.015000 0.0600 3 4 0.001050 0.0064 5 7 0.01050 0.1062 6 6 − − − − 9 0.002680 0.0063 2 8 0.000101 0.0003 3 9 0.000408 0.0017 4 7 0.000943 0.0038 3 8 10 0.014100 0.1141 4 6 0.006830 0.0615 4 5 0.001050 0.0121 5 6 − − − − 11 0.003940 0.0208 3 5 0.003550 0.0201 4 6 0.003140 0.0210 5 6 − − − − 12 0.002360 0.1115 2 4 0.007690 0.0436 3 5 0.013300 0.0890 4 6 0.011000 0.0756 5 7 13 0.002150 0.0174 2 5 0.004360 0.0186 3 5 0.006650 0.0377 2 6 − − − − 14 0.011000 0.0501 4 6 0.008340 0.0751 4 7 0.003550 0.0359 5 6 0.004360 0.0501 6 9

Tableau 4.4 – Donn´ees d’entr´ee des sous-syst`emes

Sous-syst`emei θi γi αi crt i 1 0.25 0.03 0.1 2 2 0.25 0.03 0.1 2 3 0.25 0.03 0.1 3 4 0.25 0.03 0.1 4 5 0.25 0.03 0.1 2 6 0.25 0.03 0.1 3 7 0.25 0.03 0.1 4 8 0.25 0.03 0.1 4 9 0.25 0.03 0.1 2 10 0.25 0.03 0.1 4 11 0.25 0.03 0.1 3 12 0.25 0.03 0.1 2 13 0.25 0.03 0.1 2 14 0.25 0.03 0.1 3

Tableau 4.5 – R´esultats exp´erimentaux pour le probl`eme P1 en termes de N S,SP,HRS etCT.

NSGA-II-P NSGA-II-CD SPEA-II

NS SP HRS CT(s) NS SP HRS CT(s) NS SP HRS CT(s) Ng= 250 ^{Av. 100 5.14 12.68 43.5 100 1.47 4.44 29.54 61.6 1.76 5.58 269.71} S.D. 0 6.91 14.86 1.06 0 0.68 3.12 0.61 15.7 0.49 2.6 18.09 Ng = 1000 ^{Av. 100 1.89 5.78 164.18 100 1.72 4.64 108.48 86.6 2.5 15.12 1040.02} S.D. 0 0.93 4.41 4.55 0 0.38 2.72 3.82 13.34 1.6 12.85 16.02 Ng = 5000 ^{Av. 100 3.1 7.2 837.93 100 2.11 4.05 538.47 86.7 1.92 13.37 5483.44} S.D. 0 1.78 7.53 27.23 0 0.55 1.82 12.58 6.97 1.34 7.57 531.96

Tableau 4.6 – Comparaison des fronts Pareto obtenus pour le probl`emeP1 en termes de µ,C

₁

et

C

2

.

NSGA-II-P/SPEA-II NSGA-II-CD/SPEA-II NSGA-II-P/NSGA-II-CD

µ C1 C2 µ C1 C2 µ C1 C2

Ng= 250 ^{Av. -0.229 10.5 77.47 -0.1684 14.7 67.06 -0.0164 28.9 55} S.D. 0.258 8.04 14.65 0.119 12.41 20.93 1.97E-02 17.19 17.75 Ng= 1000 ^{Av. -5.92E-02 23 46.18 -3.58E-02 26.5 50.05 -8.60E-03 30.4 52} S.D. 7.20E-02 12.04 30.26 6.78E-02 15.43 30.14 5.89E-03 13.94 13.22 Ng= 5000 ^{Av. -2.33E-02 12.5 39.8 -0.0205 16.3 23.28 -3.26E-03 29.8 45} S.D. 6.63E-02 8.47 35.48 6.39E-02 7.87 31.6 6.31E-03 14.05 15.65

Dans le document Optimisation de performances et maîtrise de la fiabilité dans la conception de systèmes de production (Page 164-167)