Projet 2

Projet 2

Dalissier Eric

1 Introduction

On a sous quelque hypoth`ese et raisonnement issue des math´emathiques probabilistes, l’´equation de Black-Scholes sous la forme suivante :











∂u

∂t − σ₁²x² 2

∂²u

∂x² − σ²₂y² 2

∂²u

∂x² −qσ₁σ₂xy ∂²u

∂x∂y −rx∂u

∂x −ry∂u

∂y +ru= 0 u(x, y,0) = (K−x−y)⁺ sur ∂Ω

u(L, y, t) =u(x, L, t) = 0 sur ∂Ω

(1)

Ici, on pose Ω=(0, L)².

On doit ´ecrire l’´equation (1) sous forme divergentiele, c’est `a dire de la forme :

∂u

∂t −div(K∇u) +µ∇u+νu= 0 (2)

On d´eduit tout de suite que les termes : ∂u

∂t etu restent inchanger.

D’o`u :

ν = r Il nous reste donc `a identifier :

σ²₁x² 2

∂²u

∂x² − σ₂²y² 2

∂²u

∂x² −qσ₁σ₂xy ∂²u

∂x∂y −rx∂u

∂x −ry∂u

∂y avec −div(K∇u) +µ∇u

Pour cela nous avons d´evelopp´e −div(K∇u) puis identifi´e les d´eriv´ees partielles secondes. Cela nous a donn´e :

K =







σ²₁x² 2

qσ₁σ₂xy qσ₁σ₂xy 2

2

σ₂²y² 2







Comme les composantes de K d´ependent de x et de y, ces d´eriv´ees par rapport a l’une o`u l’autre des variables ne sont pas nulles. C’est d’ailleurs ce qui nous permet de trouver ν.

On a :

µ∇u−K₀₀^{0 ∂u}_∂x−K₀₁^{0 ∂u}_∂y −K₁₀^{0 ∂u}_∂x −K₁₁^{0 ∂u}_∂y = −rx −ry ∂u

∂x∂u

∂y

On a apr`es avoir remplac´e et identifi´e : µ=





x(−qσ₁σ₂

2 −σ²₁ +r) y(−qσ₁σ₂

2 −σ₂²+r)



 (3)

On va ensuite ´ecrire sous forme variationnelle l’´equation (3). Comme le temps et l’espace n’ont pas du tout le mˆeme comportement. On va se servir d’une approximation par diff´erence finie pour la partie en temps de l’´equation, et d’´element fini pour la partie en espace. Dans le calcule de la formulation variationnelle, on ne prendra pas en compte le terme ^∂u_∂t :

On prend V ={v ∈H¹ tel que x^∂v_∂x ∈L¹(Ω) et v = 0 si x=L ouy =L}.

On multiplie l’´equation (3) par v ∈V puis on int´egre en espace donc sur [0, L].

R

Ω(−div(K∇u)v +µ∇uv+νuv) dxdy = 0 On utilise une formule de Green :

R

Ω(K^t∇u∇v+µ∇u v+νuv )dxdy−R

ΓK∇u.−→n vdΓ = 0 On veut que le terme en R

ΓK∇u.−→n vdΓ soit nul. On a d´ej`a la condition v = 0 en x = L et y=L. Il nous reste donc :

R

Γx=0K∇u.−→n vdΓ et R

Γy=0K∇u.−→n vdΓ

On pose donc la condition ∇u = 0 pour x = 0 ou y = 0. Ainsi on retombe sur l’´equation que l’on trouve par les distributions.

On a donc le probl`eme variationnelle de (3) suivant : Trouver u∈ V tel que pour toutv∈ V :

AvecV ={v ∈ L²(Ω),∂v

∂x ∈ L²(Ω),∂v

∂y ∈ L²(Ω), ∂v

∂−→ν ∈ L²(Γ₁)S

L²(Γ₄)}





 R

Ω( ^v∂u_∂t +K^t∇u∇v+µ∇u v+νuv )dxdy= 0 K∇u.−→n = 0 pour x= 0

K∇u.−→n = 0 pour y= 0

(4)

On discr´etise la formulation variationnelle afin de pouvoir l’´etudier num´eriquement.

Pour le temps, on utilisera un sch´ema d’Euler semi-implicite.

Pour l’espace, on utilisera la m´ethode des ´el´ements finis de degr´e 1 sur des triangles.

On ´ecrit les w_h sur chaque triangle car si x∈T_k (le k^`eme triangle) alors : w_h^k(x, y) = w_h^k(q₀^k)λ^k₀(x, y) +w_h^k(q₁^k)λ^k₁(x, y) +w^k_h(q^k₂)λ^k₂(x, y) q^k_i ´etant les sommets du triangle Tk.

λ^k_i(x, y) sont les coordonn´ees barycentrique de T_k.

Comme la restriction au triangle T_k estP¹ et que les w^k_h(q^k_i)∈ R , on a que les λ^k_i(x, y) ∈P¹. Donc on peut les ´ecrire sous la forme :

λ^k_i(x, y) =a_i+b_ix+c_iy pour i = 0, 1, 2

On a enfin que λ^k_i(q^k_j) =δ_ij. ( cela traduit la propri´et´e que les coordonn´ees barycentrique d’un sommet valent 1 en ce sommet et 0 ailleurs. Avec ces deux propri´et´es de λ^k_i, on a que :

w^k_h(q_i^k) =w^k_h(q₀^k)λ^k₀(q_i^k) +w_h^k(q₁^k)λ^k₁(q_i^k) +w_h^k(q₂^k)λ^k₂(q^k_i) = δ_ij avec j=0,1,2

On se ram`ene donc a la mˆeme situation qu en 2 dimensions. Avec w_h la base canonique de V_0h ={v_h ∈ L²(Ω), ∂v_h

∂x ∈ L²(Ω), ∂v_h

∂y ∈ L²(Ω), ∂v

∂−→ν ∈ L²(Γ₁)S

L²(Γ₄), v_h = 0 pour t= 0}.

Pour d´eterminer lesa_i, b_i ,c_i, on se sert de la propri´et´e suivante : les λ^k_i valent 1 au sommet q^k_i et 0 au sommet q^k_j pourj 6=i. On obtient ainsi le syst`eme suivant :







λ^k₀(q^k₀) =a₀+b₀x^k₀ +c₀y₀^k = 1 λ^k₀(q^k₁) =a₀+b₀x^k₁ +c₀y₁^k = 0 λ^k₀(q^k₂) =a₀+b₀x^k₂ +c₀y₂^k = 0

On applique une m´ethode de Kramer pour r´esoudre ce syst`eme, on obtient :

λ^k₀ =

−→

q₁^kq^k∧

−→

q₂^kq^k

−→

q₁^kq₀^k∧

−→

q₂^kq₀^k

(5)

avec q^k= x

y

. On a de mˆeme : λ^k₁ =

−→

q₂^kq^k ∧

−→

q₀^kq^k

−→

q₂^kq₁^k ∧

−→

q₀^kq₁^k λ^k₂ =

−→

q₀^kq^k ∧

−→

q₁^kq^k

−→

q₀^kq₂^k ∧

−→

q₁^kq₂^k Ou ´ecrit autrement :

λ^k₀ = (x^k₁y^k₂ −x^k₂y₁^k)−(y^k₂ −y₁^k)x+ (x^k₁ −x^k₂)y (x^k₁ −x^k₀)(y₂^k−y₀^k)−(y^k₁ −y^k₀)(x^k₂ −x^k₀) λ^k₁ = (x^k₂y^k₀ −x^k₀y₂^k)−(y^k₀ −y₂^k)x+ (x^k₂ −x^k₀)y (x^k₂ −x^k₁)(y₀^k−y₁^k)−(y^k₂ −y^k₁)(x^k₀ −x^k₁) λ^k₂ = (x^k₀y^k₁ −x^k₁y₀^k)−(y^k₁ −y₀^k)x+ (x^k₀ −x^k₁)y (x^k₀ −x^k₂)(y₁^k−y₂^k)−(y^k₀ −y^k₂)(x^k₁ −x^k₂)

(6)

Et la propri´et´e des coordonn´ees barycentrique : λ^k₀ +λ^k₁+λ^k₂ = 1

On aura ainsi les coordonn´ees barycentriques de chaque point dans chaque triangles du maillage facilement, en fonction des coordonn´ees des sommets du triangles.

Maintenant interessons-nous `a la formule `a discr´etiser.

Donc on obtient la formulation suivante apr`es avoir discr´etis´e avec le sch´ema d’Euler semi- implicite puis pass´e sous forme variationnelle :

∀v ∈V_0h

Z

Ω

(u^m+1v−u^mv

δt +K∇u^m+1∇v +µ∇u^mv+νu^m+1v)dxdy = 0 puis on remplace les v et les u^m+1 et u^m par leur expression dans la base wⁱ deV_0h : u_h = X

i/q^j∈Γ/

u_h(q^(j))w^(j) etv_h = X

i/qⁱ∈Γ/

w⁽ⁱ⁾ On obtient ainsi :

Z

Ω

(vu^m+1−vu^m

δt +

X

i/qⁱ∈∂Ω/

[(K∇(u^m+1_h (q^(j))w^(j))∇(w⁽ⁱ⁾)+

µ∇(u^m_h(q^(j))w^(j))w⁽ⁱ⁾+

νu^m+1_h (q^(j))w^(j)w⁽ⁱ⁾])dxdy= 0

On a que U^m = X

j/q^j∈∂Ω/

u^m_h(q^(j)). De mˆeme pour U^m+1. En multipliant tout pourδt6= 0, on a : X

k/Tk∈∂Ω/

Z

T_k

((w^j, wⁱ)U^m+1−(w^j, wⁱ)U^m+

δt(K∇w^j,∇wⁱ)U^m+1+δtµ(∇w^j, wⁱ)U^m+δtν(w^j, wⁱ)U^m+1)dxdy = 0 On factorise ensuite par U^m etU^m+1, et met U^m d’un cˆot´e du signe ´egale et U^m+1. Finalement on a :

((w^j, wⁱ) +δt[(K∇w^j,∇wⁱ) +ν(w^j, wⁱ)])U^m+1 = ((w^j, wⁱ)−δt[µ(∇w^j, wⁱ)])U^m (7) Sur chaque Tk, on en prend l int´egrale.

Passons maintenant a la m´ethode de r´esolution num´erique du probl`eme. Pourm= 0, on connait U<sup>0</sup> d’apr`es les conditions initiales du probl`eme.Donc on va r´esoudre tout d’abord :

AU¹ =BU⁰ (8)

AvecA_i,j = X

i,qi∈Ω

Z

Tk

((w^j, wⁱ) +δt[(K∇w^j,∇wⁱ) +ν(w^j, wⁱ)])dxdy et B_i,j = X

i,qi∈Ω

Z

Tk

((w^j, wⁱ)−δt[µ(∇w^j, wⁱ)])dxdy

Une fois ce syst´eme r´esolut en rajoutant pour les points du maillage sur le bord les conditions ad´equates.

On r´esoud pour m = 1, car on connaˆıtra alors U¹. On peut calculer ainsi tout de mani`ere r´ecurcive tous les U^m. On laisse ensuite tourner notre programme sfemGC2.cpp. Qui r´esoudra tout cela.

2 Etude par diff´ erences finies

On va faire la d´eriv´ee par rapport `a K et `a q par diff´erence fini. Tout d abord au lieu de recalculer une nouvelle fois le vecteur solution. Nous le stockons. Ensuite on va refaire le calcule pour une autre valeur de K ou de q, selon la d´eriv´ee voulue. Enfin pour terminer, on regarde quel ´etait le K ou le q le plus grand en fonction de K et q initiale. Si la deuxi`eme variable rentr´ee est plus grande, on prendra la valeur n´egative du vecteur solution. En r´esumer :

Pour la d´eriv´ee par rapport a K

On fait u^M=uK−uK⁰

K−K⁰ si K > K⁰ sinon u^M=−u_K−u_K⁰

K−K⁰

Pour la d´eriv´ee par rapport a q

On fait u^M=u_q−u_q⁰

q−q⁰ si q > q⁰ sinon u^M=−u_q−u_q⁰

q−q⁰

3 Etude par diff´ erentiation automatique

On a chang´e les double enddouble, dans R2.hpp. On a aussi pour cela rajouter le #include

”ddouble.h”. Puis on a retir´e letypedef R dans DA.cpp. Enfin on a remplac´e#include ”GC.hpp”

par #include ”GCDA.hpp” dans DA.cpp. Pour le reste, cela a ´et´e du d´ebugage, par exemple retirer les op´erateurs qui posent des probl´emes de choix au compilateur.

Enfin pour le faire fonctionner, on initialise la 2<sup>i`eme</sup> variable de chaque param`etre a 0.. Et l on met 1 a la variable K si l’on veut la d´eriv´ee par rapport `a K.

La diff´erentiation automatique est une mani`ere num´erique de calculer les d´eriv´ees, et justement elle est en cela beaucoup plus longue que la m´ethode des diff´rences finies, car demande plus de calcul. Mais cela donne une bonne estimation de la d´eriv´ee que l’on doit obtenir. Cette m´ethode peut donc valider ou non le calcul d’une d´eriv´ee.

comparaison entre diff´erence fini en vert et diffrentiation automatique en rouge pour q

comparaison entre diff´erence fini en vert et diffrentiation automatique en rouge pour K

4 Open GL

Pour la programmation des isolignes, nous avons cr´e´e plusieurs sous programme. Tout d’abord isolect qui charge le fichier ”isoval.dat” contenant la liste des isovaleurs `a tracer. Il charge tout cela dans un vecteur auquel il rajoute en premi`ere et derni`ere ligne une valeur tr`es petite , et une valeur tr´es grande respectivement.Cela permet d’´eviter les surprises d’isolignes non colori´ees.

A la suite de cela on a modifi´e le programmeSetColor, pour qu’il puisse attribuer, une couleur a chaque isoligne.

Ensuite on a rencontr´e le probl`eme de savoir o`u une isoligne coupait chacun des triangles. On a donc cr´e´e le programme Labeliseur. Enfin on a cr´e´e le programme Calpoint qui calcule le point d’intersection entre une isoligne et le cot´e d’un triangle. Pour se faire, on se sert d une m´ethode de proportionnalit´e entre l’isovaleur et la diff´erence des coordonn´eesz de sommets de ce segment. Cette m´ethode a malheureusement ses limites dans le cas de surface courbe, si le maillage est trop grossier. Voila une visualisation de ce que l’openGL fait :

Visualisation de la solution de l’´equation de black and scholes

5 Programmes et r´ esultats :

Les codes rajout´es `a sf emGC2.cpp risquant d’encombrer le rapport. Nous demanderons au lecteur d’aller le voir si il veut plus d’information.

Dans les modifications faites, on a : chang´e la condition initiale en temps

fait un chargement des donn´ees initiales grace au fichier ”projet.txt”

une fonctionne qui calcul le barycentre, et peut le stocker dans ”g.data”

calculer les constantes K µ`a partir des coordonn´ees du barycentre de chaque triangle prend en compte des conditions aux limites sp´ecifiques du probl´eme ( nulles sur Γ₁ et Γ₄ ) modifi´e matlap2d pour prendre en compte le terme en (∇w^j, wⁱ) de B

rajouter la sortie du fichier ”uh.txt” pour FreeFem++

creation de fichier d’execution pour FreeFemm++, et pour gnuplot

fait un menu int´ractif dans sf emGC2 qui permet d’obtenir tous les r´esultats du projet

Ensuite on a aussi ´ecrit un programme en java, qui permet de rentrer les donn´ees. Voir pour le codeentreur.java. Il poss`ede mˆeme un bouton qui efface la fenˆetre et quitte le programme. Les donn´ees sont stock´ees dans ”projet.txt”.

6 Remerciements

Je tiens `a remercier tout particulierement, pour leur aide tr`es pr´ecieuse, Messieur Alain PERRONNET et Hanen AMOR, sans qui ce projet n’aurait pu avancer.