CONTINUITE
Exercice d'introduction : act 1 p 63
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative.
Dire que f continue sur I signifie C peut être tracée sans lever le crayon.
Propriété (admise):
Toute fonction dérivable sur I est continue sur I
Attention : la réciproque est fausse
Ex : la fonction f définie sur ℝ par f(x)=2x+3 si x 1 et f(x)=-3x+8 si x > 1 est une fonction continue mais n'est pas dérivable en 1.
Propriété :
Toute fonction définie par opération (somme, produit, quotient) de fonctions continues est continue sur chaque intervalle constituant son ensemble de définition.
Propriété :
- Une fonction polynôme est continue sur ℝ
- Une fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
- La fonction racine carrée est continue sur ℝ+.
Ex : 52 p 7- (lecture graphique intervalle où f continue) - 53 p 76 (fonc par interv) – 15 p 69 (impôts) 54 p 76 et 57 p 76 (recherche valeur pour qu'une fonction par interv soit continue)
Propriété des valeurs intermédiaires:
Exercice d'introduction : act 2 p 63
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b deux réels de I.
Pour tout réel k entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c entre a et b tel que f(c) = k
Théorème :
Si f est continue et strictement monotone sur [a;b]
alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b) , l’équation f (x) = k admet une et une seule solution dans [a;b].
Exercice : Déterminer le nombre de solutions de l’équation x3 - 3 x - 5 = 0 sur [- 3 ; 3 ] puis donner une valeur approchée à 10-2 prés de ces solutions.
Ex : 64 p 77 – 70 p 77
