203 Series a termes reels ou complexes

203 Séries à termes réels ou complexes: convergence absolue, semi-convergence. Règle d'Abel, application. Monier, Gourdon, Pommelet, Capes.

Les résultats sur les séries à termes réels positifs sont supposés connus. (Cf.leçon 202).

On pose E = ℝ ou ℂ . E est donc un Banach (evn complet). On suppose que ∀n∊ℕ, un∊E.

I. Séries absolument convergentes.

On va définir l'absolue convergence, et essayer de voir si elle est compatible avec les lois du K-ev E: Somme, multiplication par un scalaire, puis le "produit".

A. Définition et théorème fondamental.

Def.1: ^(MON) On dit que

0 n n

u

≥

∑

est absolument absolument absolument absolument convergente

convergenteconvergente convergente ssi

0 n

u

n

≥

∑

^converge.

Prop.1: ^(MON) Si

0 n n

u

≥

∑

^et

0 n n

v

≥

∑

sont abs. cv, alors pour tout λ∈E,

( )

0 n

n n

u λ v

≥

∑ +

est abs. cv.

Prop.2: ^(MON)

0 n n

u

≥

∑

^{abs. cvabs. cvabs. cvabs. cv ⇒}

0 n n

u

≥

∑

^{cvcvcvcv (1)}

et

0 0

n n

n n

u u

+∞ +∞

= =

∑

≤

∑

Contre-exemple: La réciproque est fausse, Séries de Riemann alternées

( )

0

1 ⁿ

n≥ n^α

∑

− ^.

Pour étudier la cv d'une série, on essaie d'abord de rechercher l'abs. cv, ce pour quoi on dispose de tous les outils (comparaisons, séries de référence) des séries à termes positifs. Mais si elle n'est pas abs. cv, elle ne diverge pas pour autant.

B. Produit de Cauchy.

Def.2: ^(MON) On appelle produit de Cauchyproduit de Cauchyproduit de Cauchyproduit de Cauchy de

0 n n

u

≥

∑

^et

0 n n

v

≥

∑

^{la série}

0 n n

w

≥

∑

définie par:

0 0

,

n n

n p n p p q

p p q

n w u v₋ u v

= + =

∀ ∈ =

∑

=

∑

⁽²⁾

Prop.3: ^(MON) Si les séries

0 n n

u

≥

∑

^et

0 n n

v

≥

∑

sont abs. cv, alors leur produit de Cauchy

0 n n

w

≥

∑

est abs. cv, et:

0 0 0

n n . n

n n n

w u v

+∞ +∞ +∞

= = =

=

   

   

   

∑ ∑ ∑

^.

Application: ^(MON)

(

^{z z, '}

)

^{, exp}

(

^{z z'}

)

^exp

( )

^{z . exp}

( )

^z'

∀ ∈ + = (3)

Contre-exemple: ^(POM) Cette Prop. est fausse pour des séries non abs. cv: prendre

( )

^{1 n}

n n

u v

n

=

=

− (4).

C. Séries commutativement convergentes^(GOU) Def.3: ^(GOU) On appelle séries commutativement séries commutativement séries commutativement séries commutativement convergentes

convergentes convergentes

convergentes les séries

0 n n

u

≥

∑

tq. pour toute bijection ϕ:→, la série _{( )}

0 n

u_ϕn

≥

∑

^converge.

Remarque:

0 n n

u

≥

∑

^{com. cv ⇒}

0 n n

u

≥

∑

^{cv .} (prendre φ=Id).

Prop.4: ^(GOU)

0 n n

u

≥

∑

abs. cv ⇒

0 n n

u

≥

∑

comm. cv , et

: ^BIJ

∀ϕ

 →

, _{( )}

0 0

n

n n

u_ϕ n u

≥ ≥

∑ = ∑

^(5).

Remarque: La réciproque est vraie pour les séries Réelles. ^(MON)

II. Séries semi-convergentes.

Def.4: On dit que

0 n n

u

≥

∑

^{est semisemi}semi----convergente^semiconvergenteconvergente ssi elle est convergente cv , mais non absolument cv. ^(MON)

A. Séries alternées.

Def.4:^(MON)On dit que

0 n n

u

≥

∑

à termes ℝ est alternéealternéealternéealternée ssi:

( ) ( )

, _n 1 ⁿ _n ou , _n 1 ⁿ _n

n u u n u u

∀ ∈ = − ∀ ∈ = − − _.

Prop.5: ^(MON)TSSATSSATSSATSSA. Soit

0 n n

u

≥

∑

à termes ℝ .

Si

( )

0

est alternée 0

n n

n n

n n

u

u u

≥

∞

∈

 

 →

 



∑

, alors

0 n n

u

≥

∑

converge. (6)

Exemple: Série de Riemann alternée

( )

0

1 ⁿ

n≥ n^α

∑

− ^{, α fixé.}

Si α≤0, diverge grossièrement;

Si 0<α≤1, semi-convergente par le TSSA;

Si α>1, absolument cv.

203 Séries à termes réels ou complexes: convergence absolue, semi-convergence. Règle d'Abel, application. Monier, Gour, Pom., Capes..

Méthode: ^(MON) Si le TSSA ne peut pas s'appliquer, on utilise un développement asymptotiquedéveloppement asymptotiquedéveloppement asymptotiquedéveloppement asymptotique à l'infini.

Cas de figure: série alternée dont le u_n contient encore du

( )

^{−1 n.}

Exemple:

( )

( )

2

1 1

n

n

n≥ n

−

∑

+ − ^{. (7)}

B. Règle d'Abel. (Capes)

C'est une généralisation du TSSA, que l'on retrouve en posant vn = (-1)ⁿ. Elle s'applique dans tout E Banach.

C'est l'équivalent pour les Σ de l'IPP pour les∫.(Gourdon)

Prop.6 Prop.6Prop.6

Prop.6:^(CAP)Soient

( )

ε_{n n∈}une suite ℝ ↘0, et

( )

^a_{n n∈}^{de K,}

à sommes partielles bornées, i.e. tq. ∃M∊ℝ+:

0

,

n k k

n a M

=

∀ ∈ ∑ ≤

Alors la série

0 n n n

ε a

≥

∑

^converge.

Exemple ExempleExemple

Exemple::::^(CAP)Pour tousθ∈−2π_,α∈]0;1],

1

in

n

e n^α

θ

≥

∑

^cv.

III. Notes.

(1) Cette Prop. n'est valable que dans E Banach, car elle utilise le critère de Cauchy:

Critère de Cauchy pour les séries ^(GOU): Une série

0 n n

u

≥

∑

à valeurs dans E^(*) converge ssi:

0, N : n N, p , u_n ... u_{n p}

ε ₊ ε

∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ + + <

(*)Ce critère est vrai dans E Banach.

(2) Le produit de Cauchy est parfois appelé "produit de convolution" ^(POM) .

(3) Pour tout z∈, la série

0 !

n

n

z

≥ n

∑

est abs. cv.

On applique alors le produit de Cauchy et le binôme de Newton.

(4) Pommelet p.144.:

( )

( )

1

1 1

n n

k

wn

k n k

=

= −

∑

− ^{, mais}

( )

²

k n−k ≤n , donc

( )

1 1

k n k n

≥

−

, et donc w_n ≥1, et la série

0 n n

w

≥

∑

diverge grossièrement.

(5) Vrai dans E Banach.

Pour les séries ℝ, la réciproque est ds Monier p.290.

(6) Démo TSSATSSATSSATSSA. Quitte à passer à l'opposé, on suppose :

( )

, _n 1 ⁿ _n

n u u

∀ ∈ = − . On note S_nla n^ième somme partielle. Montrons que les suites

(

S2p

)

_p

∈et

(

S2p 1

)

_p

+ ∈sont adjacentes. ∀p∊ℕ, on a:

2_p 2 2_p 2_p 1 2_p 2 2_p 1 2_p 2 0

S ₊ −S =u ₊ +u ₊ = −u ₊ + u ₊ ≤ , donc la suite

(

S2p

)

_p

∈est ↘.

2_p 3 2_p 1 2_p 2 2_p 3 2_p 2 2_p 3 0

S ₊ −S ₊ =u ₊ +u ₊ = u ₊

−

u ₊ ≥ ^, donc la suite

(

S2p 1

)

_p

+ ∈est ↗.

2 1 2 2 1 0

p p p p

S S u

+ − = +



∞

→

Donc elles sont bien adjacentes, par suite elles cv et ont la même limite.

Donc

( )

^S_{n n∈}cv vers cette limite, i.e.

0 n n

u

≥

∑

^cv.

(7) Développement asymptotique.

( ) ( )

( ) ( )

¹

1 1

1 1

1

n

n

n n

n

n n

−

− + −

 

− −

=  + 

 

 

( ) ¹ ( ) ^{1 1}

1

n n

O n

n n

 

− −  

=    − +       

( )

32

1

ⁿ

1 1

n O

n n

 

= − − +  

 

Or :

( )

1 ⁿ

n n

∑

− est semi-cv.

1

n n

∑

^diverge

3 2

1

n

O n

 

 

 

∑

est abs. cv.

Donc la série proposée dv.

Remarque: On a ( )

( )

( )

1 1

n 1

n

n

n n

− + −

∼ − , et pourtant les séries de terme général resp. ces expressions ne sont pas de même nature: c'est un bon contre-exemple à l'utilisation des règles de comparaison sur des séries à termes de signe non constant.