Dvt 203 Regle d Abel

203 Séries à termes réels ou complexes: convergence absolue, semi-convergence.

Règle d'Abel, application

Capes

C'est une généralisation du TSSA, que l'on retrouve en posant vn = (-1)ⁿ. Elle s'applique dans tout E Banach.

Prop.6 Prop.6Prop.6

Prop.6:^(CAP)Soient

( )

ε_{n n∈»}une suite ℝ ↘0, et

( )

a_{n n}

∈»de K, à sommes partielles bornées, i.e. tq. ∃M∊ℝ+:

0

,

n k k

n a M

=

∀ ∈ ^» ∑ ≤

Alors la série

0 n n n

ε a

≥

∑

^converge.

Exemple ExempleExemple

Exemple::::^(CAP)Pour tousθ∈»−2π»,α∈]0;1],

1

in

n

e n^α

θ

≥

∑

^cv.

I. Développement

A. Démo de la règle d'Abel.

Soient

( )

ε_{n n∈»}une suite ℝ ↘0, et

( )

a_{n n}

∈»de K, à sommes partielles bornées, i.e. tq. ∃M∊ℝ+:

0

,

n k k

n a M

=

∀ ∈ ^» ∑ ≤

^.

Montrons que la série

0 n n n

ε a

≥

∑

^converge.

Remarquons que l'hypothèse

( )

ε_{n n}

∈» suite ℝ ↘0 implique que les ε_nsont positifs.

On va essayer de montrer que la suite

( )

S_{n n}

∈»converge.

On pose _{0 0}

0

,

n

n k

k

A a A a

=

=

∑

= . Il vient ∀ ∈p »*, a_p = A_p−A_p−1. Par hypothèse, les A_n sont majorés par M.

Exprimons S_nen fonction de A_n: Pour tout n∊ℕ, il vient:

( )

( )

0 0 1

0 1

0 0 1

1 1

1 1 1

1 1

0 0 0 0

1

1 0

on change les indices en "décalant":

n n

n p p p p p

p p

n n

p p p p

p p

n n n n

p p p p n n p p p p

p p p p

n

p p p n n

p

S a a A A

a A A

A A A A A

A A

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε ε ε

ε ε ε

−

= =

−

= =

− − −

+ +

= = = =

−

+

=

= = + −

= + −

= − = + −

= − +

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑

Or

ε

_n

A

_n

≤ M ε

_n, où

lim

_n

0

n

ε

→∞

=

, donc

lim

_{n n}

0

n

ε A

→∞

=

. (voilà pour le second terme de l'égalité ci-dessus).

Essayons de majorer le premier terme.

( ε

p

− ε

p₊1

) A

p

≤ M ( ε

p

− ε

p₊1

)

.

Or ¹

(

1

)

0

0 n

p p n

p

ε ε ε ε

−

+

=

− = −

∑

(série télescopique). On a

lim

_n

0

n

ε

→∞

=

, donc ¹

(

1

)

0

0

n

p p

p

ε ε

−

+

=

− →

∑

, et d'après la majoration ci- dessus, ¹

(

1

)

0 n

p p p

p

ε ε A

−

+

=

∑ −

est absolument convergente dans K complet, donc convergente.

Finalement, la suite

( )

S_{n n}

∈»converge, donc la série

0 n n n

ε a

≥

∑

^converge.

203 Séries à termes ℝ ou ℂ.: Abs. cv, semi-cv. Règle d'Abel, app° Capes

B. Exemple.

Pour tousθ∈»−2π»,α∈]0;1], étudier la cv de la série:

1

in

n

e n^α

θ

≥

∑

^.

On pose 1

n n^α

ε = et a_n =e^inθ. Vérifions que les hypothèses sont remplies:

Il est immédiat que

( )

ε_n cv ↘ 0.

Mq les sommes partielles A_n de

( )

a_n sont bornées. ¹

( )

1 0

n ip i n i p

n

p p

A e

^θ

e

^θ

e

^θ

−

= =

= ∑ = ∑

^.

Or

θ ∉ 2 π »

_{, donc}

_e

^iθ

_{≠ 1}

(dénominateur്0), l'écriture du second facteur comme somme partielle de série géométrique est bien définie, et il vient:

( )

2 2 2

1 2

2 2 2

2 sin

1 . 2

1 2 sin

2

n n n

i i i

in n

i i i

n i

i i i

e e e i n

A e e e e

e e e e i

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ

θ θ

−

+

−

 

 − 

−  

= = =

−  

 − 

 

.

D'où la majoration: ∀n∊ℕ*,

1

1 sin 2

n ip n

p

A e

^θ

M

θ

⁺

=

= ∑ ≤ = ∈ ^»

^.

Donc la règle d'Abel s'applique, et la série

1

in

n

e n^α

θ

≥

∑

converge.

N.B.:

N.B.:N.B.:

N.B.: Elle n'est pas abs. cv car

in 1

e

n^α n

θ

= α , et ceci n'est (Riemann), le terme général d'une série cv que pour α>1.