séries numériques et convergence

Séries numériques BTS-Génie optique

Définition :

On appelle série numérique de terme général unoù ^{( )}un n_Nest une suite numérique et ^{( )}sn n_Nla suite de sommes partiels : s_nu1u2u3...u_n

L'élément un est appelé nième terme de la série ou terme général de la série et Sn est appelé nième somme partielle de la série. La série est notée :

0 n n

u





Les premiers terme de la série :S0u0 ; S1u0u1 ; S2u0 u1 u2 ; S3u0 u1 u2u3 ; etc .

C

onvergence d'une série numérique Définition :

On dit que la série de terme général ^{( )}un n_Navec un⁰est convergente si la suite de terme général

0 1 ...

n n

S u  u u est convergente. C’est-à-dire lim_n sⁿ S

  : on note

0 n n

S ^u







. on dit que la série de terme généralunconverge vers S . dans le cas contraire on dit que la série est divergente.

Propriété 1 Si

0 n n

u



 est une série numérique convergente alors _n^lim_^{un 0}. Démonstration : on suppose que

0 n n

u



 est une série convergente et notons S sa limite. Posons

0 n

n k

k

S u







1 ¹ 0 n

n k

k

S _ ^ u







^{; 1 1}

0 0

n n

n n k k n

k k

S S _ u ^ u u

 

 







 ; on a par hypothèse _n^{lim Sn}_n^lim_^Sn1S Donc _n^lim_^{SnSn1}_n^lim_^Sn_n^lim_^{Sn1   S S 0} _n^lim_^un

attention la réciproque est fausse

c'est une condition nécessaire mais pas suffisante par contre si la condition_n^lim_^un0n'est pas réalisé alors on dit que

0 n n

u



 diverge grossièrement.

Exemples de séries qui divergent grossièrement

0

( 1)ⁿ

n



 diverge en effet : ( 1) ⁿ n’a pas de limite en ^ ; ²

0 n

n



 diverge , en effet :_n^lim_^{n2  }

2 2 2

1

n 1 n

 n





 diverge , en effet : lim ²₂ ¹ 1 0 1

n

n n



  

 ;

0

2ⁿ

n



diverge , en effet : _n^{lim 2n  }

propriété 3 :

0 n n

u



 converge et

0 n n

v



 _converge pour tous nombres (( ; )  R² ;

 

0 n n

n

u v

 





 _converge.

Et on a :

     

0 0 0 0 0

n n n n n n

n n n n n

u v u v u v

     

    

    

    

Remarque , si une des séries converge et l'autre diverge ( et également si les deux séries divergent ) on ne peut rien en conclure concernant la somme des séries.

Séries à termes positifs

Définition : une série à termes positifs ou à termes dans ^{R +} est une série dont le terme général est positif.

Remarque importante : Soit

0 n n

u



 la série de termes général un, la suite des sommes partielles Sn définie par :

1 2 3

0

... ⁿ

n n p

p

S u u u u u



    



est une suite croissante donc on peut utiliser les théorèmes relatifs aux suites croissantes et majorées.

Suite majorée, suite minorée, suite bornée

Une suite numérique ^{( )u}_{n n}Nest majorée , si il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n : un M M est alors un majorant de la suite ^{( )u}_{n n}N.

Une suite numérique ^{( )u}_{n n}Nest minorée , si il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n : un m m est alors minorant de la suite ^{( )u}_{n n}N

Une suite numérique est bornée si et seulement si elle est minorée et majorée à la fois.

propriétés :

Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Toute suite monotone et non bornée est divergente.

Propriété : Une série

0 n n

u



 à termes dans R ^soit convergente si et seulement si il existe un réel M positif tel que :

 n  ,

0 n

n k

k

S u M









Remarques : Si

0 n n

u



 à termes dans R ^ est convergente alors :  n N ,

0 0

n

n k k

k k

S u ^u

 









Si

0 n n

u



 à termes dans R ^ est divergente alors :

0

lim _n lim ⁿ _k

n n k

S u

   



 

Séries géométriques

Définition : on appelle série géométrique toute série dont le terme général est qⁿoù ^qla raison est un réel.

Si ^{q 1}, on sait que

1 0

1 1

p p

n n

q q

q





 





Si ^{q 1} , _n^lim_^qn10 donc

0

lim 1

1

p n

n n

S q

  q

 



 et la série converge .

Si ^{q 1}, _n^lim_^{qn1 } donc la série diverge

Si ^{q 1}, ^qn1n’a pas de limite en ^, car ^qn1est alternativement positif et négatif et sa valeur absolue tend vers ^ .Restent les deux cas les plus simples : ^q1et ^{q 1}.

Si ^q1,

0 n 1

n p p

S q n







  ( tend vers^), donc la série Sn diverge .

Si ^{q 1},

0

( 1)

p n n

n

q





  ^{, si p}est pair cette somme vaut 1, si ^pest impair cette somme vaut 0.

Donc la série Sndiverge . Théorème : La série géométrique

0 n n

q





 ^{de raison q0}converge si, et seulement si , ^{q 1} Si ^{q 1}et ^q0, alors

0

1 1

n n

S q

q





 



 Série de Riemann :

Théorème : la série de terme général ¹

n^ : où ^est un réel fixé,converge lorsque ^{ 1}, diverge si ^{ 1} . Preuve : On sait déjà que la série est divergente pour  ¹, et pour tout entier n n 0 on a si ¹ :

1 1

0 n n^ en utilisant le théorème de comparaison des séries on en déduit que la série de Riemann est divergente ( vers + ) pour  ¹ et donc pour  ¹.

Supposons donc que ^{ 1}et considérons la fonction f définie sur [1 ; + [ par : ^{f x( ) 1}

x^



la fonction f est strictement décroissante, continue, et positive sur [1 ; + [, ^{f x'( )} ₁ ⁰

x^



   

On en déduit que pour tout ^n2et tout ^{x [n 1; ]n} : ^{f x( ) 1}

n^

 ceci implique :

1 1

1

1 1 ⁿ 1

n n

n n

n

dt dt t

t^ n^ n^ n^

 



 

   

 

 

, on obtient alors :

2 3 1

1 2 1 1

1

1 1 1 1

1 ... 1 ( ) ( ) ... ( ) 1 ( ) 1

2 3 1

n n n

f t dt f t dt n f t dt f t dt t

n

    

 



 

     







 



 



    

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 ; cette limite est finie puisque >1

1 1 1 1 1 1

n

t n

 

 

 ^{ }    ^  

 

                

Donc d'après le théorème de comparaison la série de Riemann est convergente pour  ¹. Si ^{ 1}, on a de la même façon ₁

1 n 1

ndx

x 



n^



^{, donc}

1

1 ln( 1)

n

n^  n



^{, donc}

1

lim ⁿ 1

n^



n^  

2 3 1 1

1 ( ) 2 ( ) ... ⁿ1 ( ) ⁿ ( ) 1ⁿ ( ) _n

n n

f t dt f t dt f t dt ^ f t dt ^ f t dt S

      

    

^{, donc}

1 1 1

1 1

1

1 1 1 1

1 1 1 ( 1)

n n

Sn dt t

t n

    

   



 

 





          ^{et Sn}_¹_1^{, donc 1}₁ n^lim Sⁿ S ₁







  

 

 Règle du "n u^ _n" Soit

0 n n

u



 une série à termes positifs , S’il existe  ¹ tel que n^lim n u^ n l

  Ralors la série



un ^converge

S’il existe  ¹tel que n^lim n u^ n ⁰

  alors la série



un ^diverge

Théorème de comparaison de séries : admis

Soit (un) et (vn) deux suites à termes positifs. Si pour tout nN, on a : 0 un v_nalors :

Si la série de terme général vn est divergente alors il en est de même de la série de terme général un

Si la série de terme général vn est convergente alors il en est de même de la série de terme général un

Exemple

Soit la série ₂

1

arctan

n

n n





 . Pour tout n0, on a : ^{0 arctan}_{2 2} 2 n

n n

   , donc ^{0 1}₂

n 2

u n

   . La série

2 2

1 1

1 1

2 2

n n n n

 

 

 

 

 

converge ( théorème de Riemann)donc la série ₂

1

arctan

n

n n





 est convergente . Théorème : critère d’équivalence

On considère les séries

 

^S_{n nN}de terme général un⁰ et

 

^Sn' _nN de terme général vn⁰

Si les suites

 

^u_{n nN}et

 

^v_{n nN} sont équivalentes, alors les séries sont de même nature (elles sont toutes deux divergentes ou toutes deux convergentes).

Remarque : si unvn ou si un est négligeable devant vn _, les hypothèses de ce théorème sont vérifiées.

Règle de D'Alembert Soit

0 n n

u



 une série à termes positifs , alors :

Si l1 alors la série converge, si l1 la série diverge. Par contre si l1 on ne peut pas conclure.

Si ^{lim n 1 1}

n n

u l

u



   la série



^u_nconverge ; Si ^{lim n 1 1}

n n

u l

u



   la série



^u_ndiverge. Si ^{lim n 1 1}

n n

u l

u



   on ne peut pas conclure . Séries alternée

Définition : une série est alternée si deux termes consécutifs quelconques de cette série sont de signe contraire. Son terme général peut se mettre sous la forme : u_n ( 1)ⁿv_n ou u_n  ( 1)^n1v_n avec vn⁰. Théorème :

Si la suite ^{( )}vn décroît vn_1vnet converge vers 0(_n^lim_^{vn 0}) alors la série ^{( )}un converge.

ou Si une série alternée



unest telle que la suite |un| est décroissante (c’est-à-direun_1  un )et de limite nulle(n^lim un ⁰

  ), alors elle converge Série absolument convergente :

définition : une série



un est dite absolument convergente si la série



un converge.

propriété : toute suite absolument convergente est convergente. Si la série (u_n ) converge alors la série ( )u_n converge aussi. Dans ces conditions on dit que la série ( )u_n est absolument convergente .