Corrigé du D.S.1 de SPE

Corrigé du D.S.1 de SPE

I - Soit a, b, a', b', n des entier relatifs avecn≠0 . Si a≡b[n] et a '≡b '[n] alors n divise a−b et n divise a '−b ', d'où n divise a−ba '−b '

c'est à dire n divise aa '−bb ' et donc aa '≡bb '[n].

II - n désigne un entier relatif,

1. Pour tout n entier relatif, on a :

n²3n2=n2n1 or n1∈ℤ, donc n²3n2 est divisible par n+2.

2. Pour tout n entier relatif, on a : 3n²13n23=n23n79, On en déduit que n2 | 3n²13n23⇔n2 | 9

En effet : Si n2 | 3n²13n23, alors il existe un entier relatif q tel que : 3n²13n23=qn2, d'oùn23n79=qn2, soit

9=qn2−n23n7=n2q−3n−7 avec q−3n−7∈ℤet donc n2 | 9. Réciproquement : Si n2 | 9, alors il existe un entier relatif q tel que : 9=n2q, d'où

3n²13n23=n23n7n2q=n23n7q, avec 3n7q∈ℤ et donc

n2|3n²13n23. 3. En conclusion :

n2=−9 ou n2=−3 ou n2=−1 ou n2=1 ou n2=3 ou n2=9. c'est à dire n=−11 ou n=−5 ou n=−3 ou n=−1 ou n=1 ou n=7. 4. Soit C la courbe d'équation y=3x²13x23

x²3x2 . On a 3x²13x23

x²3x2 = n23n79

n2n1 Des points de C ont des coordonnées entières si n2 | 3n²13n23 . Il faut donc que

n∈{−11;−5;−3;−1;1;7} or n doit être différent de -1 pour que y soit définie.

Il n'y a plus qu'à calculer les valeurs de y lorsque n∈{−11;−5;−3;1;7}. Or pour tout n∈{−11;−5;−3;1;7} , y∉ℤ.

En conclusion : il n'y a pas de points de cette courbe à coordonnées entières.

III -Notons P_n:u_n est divisible par 7.

1. u₀=1−1=0 et 0 est divisible par 7, donc la propriété P_n est vraie au rang zéro.

2. Supposons que la propriété est vraie à un certain rang n, alors il existe q∈ℤ tel que : 3²ⁿ−2ⁿ=7q

On a 3^2n1−2^n1=3²ⁿ×3²−2ⁿ×2 , or 3²ⁿ=2ⁿ7q

d'où 3^2n1−2^n1=2ⁿ7q×3²−2ⁿ×2=2ⁿ×77q=72ⁿq avec 2ⁿq∈ℤ et donc 7 divise 3^2n1−2^n1, c'est à dire que la propriété est vraie au rang n1

3. En conclusion: Par récurrence sur n , P_n est vraie pour tout n0 . IV -

1. n²n33n1=n³3n²3n1=n1³.

2. On a donc n1³=n²n33n1 et donc le reste de la division de n1³ par ⁿ²est 3n1 si 03n1n², c'est à dire si 0n et si _0n²_−3n−1 .=13,

n₁=3−



2 0;n₂=3



2 ≈3,3 et donc 03n1n² si n4.

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V –

1. 5040=1746×21548 1746=1548×1198 1548=198×7162 198=162×136 162=36×418 36=18×20

Le dernier reste non nul est 18 donc 5040∧1746=18 2. Soit n un entier relatif ; on pose : a=5n7,

a . On a : a=5n−112, Si d divise a et n−1 alors d divise 12 et réciproquement si d divise a et 12 alors d divise n−1. En conclusion : a∧n−1=n−1∧12,

b . n−1∧12.

Si n=12k alors n−1=12k−1=12k−111 et donc n−1∧12=1 Si n=12k1 alors n−1=12k et donc n−1∧12=12

Si n=12k2 alors n−1=12k1 et donc n−1∧12=1

Si n=12k3 alors n−1=12k2 et 12=2×60 et donc n−1∧12=2 Si n=12k4 alors n−1=12k3 et 12=3×40 et donc n−1∧12=3 Si n=12k5 alors n−1=12k4 et 12=4×30 et donc n−1∧12=4

Si n=12k6 alors n−1=12k5 et 12=5×22 et 5=2×21 et donc n−1∧12=1 Si n=12k7 alors n−1=12k6 et 12=6×20 et donc n−1∧12=6

Si n=12k8 alors n−1=12k7 et 12=7×15 et 7=5×12 et 5=2×21 et donc n−1∧12=1

Si n=12k9 alors n−1=12k8 et donc n−1∧12=4 Si n=12k10 alors n−1=12k9 et donc n−1∧12=3 Si n=12k11 alors n−1=12k10 et donc n−1∧12=2

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