Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques
MM003
Lundi 17 D´ecembre 2012
Analyse R´ eelle
Corrig´e de l’examen
I
1) La formule des accroissements finis, appliqu´ee `a hentre 0 etz donne (1 +kzk2)'(z) '(0) =|h(z) h(0)|6kzk.sup
w kh0(w)k
Pourw= (u, v), on a@1h(w) = (1+kwk2)@1'(w)+'(w).2uet@2h(w) = (1+kwk2)@2'(w)+'(w).2v donc, en identifiant l’espace euclidienR2 `a son dual,h0(w) = (1 +kwk2)'0(w) + 2'(w).w et
kh0(w)k6(1 +kwk2)k'0(w)k+ 2kwk.|'(w)|6(1 +kwk2)k'0(w)k+ (1 +kwk2).|'(w)| 6(1 +kwk2).(|@1'(w)|+|@2'(w)|+|'(w)|)6q(')
On en d´eduit que '(z) '(0)
1 +kzk2 6 kzk
1 +kzk2.q(').
2) Pour✓2[0,2⇡], notons ˜g(✓) =g(cos✓,sin✓). Donc, en int´egrant en coordonn´ees polaires, Z
kzk>"F(z).'(z)dz = Z 1
"
r dr Z 2⇡
0
1
r2˜g(✓).'(rcos✓, rsin✓)d✓
Pourr >0 fix´e, on a Z 2⇡
0
⇣'(rcos✓, rsin✓) '(0) 1 +r2
⌘.˜g(✓)d✓=Z 2⇡
0
'(rcos✓, rsin✓).˜g(✓)d✓ '(0) 1 +r2
Z 2⇡
0
˜ g(✓)d✓
= Z 2⇡
0
'(rcos✓, rsin✓).˜g(✓)d✓
puisqueZ 2⇡
0
˜
g(✓)d✓= 0. Donc
hS", 'i=Z +1
"
dr r
Z 2⇡
0
⇣'(rcos✓, rsin✓) '(0) 1 +r2
⌘.˜g(✓)d✓
On a, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, K" :=Z +1
"
dr r
Z 2⇡
0
'(rcos✓, rsin✓) '(0)
1 +r2 .|g(✓)˜ |d✓ 6Z +1
"
dr r
Z 2⇡
0
r
1 +r2.kgk1q(')d✓
62⇡kgk1q(')Z +1
"
dr 1 +r2 62⇡.kgk1.q(').⇡
2
Il r´esulte alors du th´eor`eme de convergence domin´ee que K =Z ⇣
'(rcos✓, rsin✓) '(0) 1 +r2
⌘.˜g(✓) d✓ dr r = sup
">0K" 6⇡2kgk1q(')<+1 Et puisque la fonction : (r, ✓) 7! 1
r
⇣'(rcos✓, rsin✓) '(0) 1 +r2
⌘.˜g(✓) est int´egrable sur ]0,+1[⇥[0,2⇡], l’int´egrale hS", 'i converge vers hS, 'i := Z
(r, ✓)dr d✓ quand " tend vers 0, en vertu du th´eor`eme de convergence domin´ee. On a alors
|hS, 'i|= lim
"!0|hS", 'i|6K 6⇡2kgk1q(')
Comme la fonction S sur D(R2) est clairement lin´eaire, la majoration ci-dessus montre que S est continue pour la topologie de S(R2), c’est-`a-dire que S est une distribution temp´er´ee. Si '2D(R2), >0 et ' :x7!'(x
), on a, en posantr = s:
hS", ' i=Z +1
"
'(rcos✓
,rsin✓
).˜g(✓)d✓dr
r =Z +1
"/
'(scos✓, ssin✓).˜g(✓)d✓ ds
s =hS"/ , 'i donc, en passant `a la limite hS, ' i=hS, 'i, ce qui signifie que S est homog`ene de degr´e 2.
II
1) Pourufix´e dansRd, la fonctionPu:t7!P(a+tu) est un polynˆome ent, qui s’annule en tout point de{t2R:a+tu2V}, qui est un voisinage de 0 dansR. On a doncPu⌘0, et en particulier P(a+u) =Pu(1) = 0, quel que soit u2 Rd, c’est-`a-dire P ⌘ 0, contrairement `a l’hypoth`ese. On en d´eduit que Z est d’int´erieur vide.
Puisque 'est continue, l’ensemble V ={x 2Rd :'(x) 6= 0} est un ouvert de Rd. Pour tout x 2 V, on a P(x).'(x) = 0 puisque P.' = 0, donc P(x) = 0, etx 2 Z, c’est-`a-dire V ⇢Z. Il en r´esulte que V =; et que '= 0. Donc kerM ={0}, etM est bijective de S surV.
2) Puisque' est de classe C⌫ et que ses di↵´erentielles d’ordre< ⌫ ena sont nulles, la formule de Taylor-Lagrange enadonne
| (x)|= (x) X
k<⌫
1
k! (k)(a)(x a, . . . , x a) 6 1
⌫!kx ak⌫ sup
y2Rd
(⌫)(y)
L⌫
Et si ceci est valable pour tout point adeZ, on obtient en passant `a la borne inf´erieure :
| (x)|6 1
⌫!⇢(x, Z)⌫. sup
y2Rd
(⌫)(y)
3) Par la formule de Leibniz, on a
@↵ q(y) = X
6↵
c↵, @ ↵
⇣(1 +kyk2)q⌘
.@ (y)
avec des constantes c↵, , et puisque Wq : y 7! (1 kyk2)q est un polynˆome de degr´e 2q en y, Q↵, =c↵, .@↵ Wq est un polynˆome de degr´e62q.
2
Pour tout x = (x1, x2, . . . , xd)2 Rd et tout j 6 d, on a |xj|6q
1 +x2j 6q
1 +kxk2, donc, pour 2Nd et µ>| |:=P
j j, x :=
Yd j=1
xjj 6(1 +kxk2)µ/2 Il en r´esulte que si Q=P
| |62qc x est un polynˆome de degr´e62q, on a quel que soity 2Rd :
|Q(y)| 6 (1 +kyk2)qP
|c |. En particulier, il existe des constantes C↵, telles que, pour tout y 2Rd, on ait|Q↵, (y)|6C↵, (1 +kyk2)q.
En vertu du rappel de l’´enonc´e, on a, pour 2 C1, (⌫)(x) L
⌫ 6 M⌫.sup|↵|=⌫|@↵ (x)|, donc a fortiori (⌫)(x) L
⌫ 6M⌫.P
|↵|=⌫|@↵ (x)|.
En combinant ces in´egalit´es, on obtient, pourx2Rd : (1 +kxk2)q| (x)|6 M⌫
⌫! .⇢(x, Z)⌫. X
|↵|=⌫
X
6↵
C↵, sup
y
(1 +kyk2)q|@ (y)| 6p⌫,q( ).⇢(x, Z)⌫.⇣M⌫
⌫! X
|↵|=⌫
X
6↵
C↵,
⌘
et il su↵fit de poser L⌫,q= M⌫
⌫!
X
|↵|=⌫
X
6↵
C↵, pour conclure.
4) La formule de d´erivation d’un produit donne
@j(P⌫.') = (@jP⌫).'+P⌫.@j'=⌫P⌫ 1.@jP.'+P⌫.@j'=P⌫ 1.(⌫@jP.'+P.@j')
Plus g´en´eralement, on v´erifie par r´ecurrence sur r = |↵| 6 ⌫ l’existence d’une fonction C1, ↵, telle que @↵ = P⌫ r. ↵. Si cette propri´et´e est vraie pour r 1 et si |↵| =r, il existe j 6 d et
2Nd tels que| |=r 1 et@↵ =@j(@ ). Alors
@↵ =@j(P⌫ r+1. ) =P⌫ r.(P.@j + (⌫ r+ 1)@jP. )
et il suffit de poser ↵=P.@j +(⌫ r+1) .@jP pour achever la d´emonstration par r´ecurrence.
Il en r´esulte que si|↵|< ⌫ et sia2Z, on a P⌫ |↵|(a) = 0 donc@↵ (a) = 0.
5) Si '2S et =P⌫.', il r´esulte de4) que @↵ s’annule en tout point de Z si |↵|< ⌫. On peut alors appliquer3) et on a pour toutx2Rd et tout q 2N:
(1 +kxk2)q+m⌫|P(x)⌫.'(x)|= (1 +kxk2)q+m⌫| (x)|6L⌫,q+m⌫.⇢(x, Z)⌫.p⌫,q+m⌫( ) Par hypoth`ese, ⇢(x, Z)6c.(1 +kxk2)m.|P(x)|. Donc
(1 +kxk2)q+m⌫|P(x)⌫.'(x)|6c⌫.L⌫,q+m⌫.(1 +kxk2)m⌫.|P(x)|⌫p⌫,q+m⌫( ) et, si x /2Z, on obtient, en divisant par (1 +kxk2)m⌫|P(x)|⌫,
(1 +kxk2)q|'(x)|6c⌫.L⌫,q+m⌫.p⌫,q+m⌫( ) =c⌫.L⌫,q+m⌫.p⌫,q+m⌫(P⌫.')
On a montr´e au1)que l’ensembleZ est d’int´erieur vide. L’in´egalit´e ci-dessus est alors valable pour x dans une partie dense de Rd, donc partout puisque la fonction (1 +kxk2)q.' est continue. En passant `a la borne sup´erieure, on a donc finalement
p0,q(') = sup
x
(1 +kxk2)q|'(x)|6c⌫.L⌫,q+m⌫.p⌫,q+m⌫(P⌫.'). 3
6) Si la suite ('n) dansS v´erifie que (P.'n) converge vers 0 dans S, on montre par r´ecurrence sur ⌫ que si|↵|=⌫, alors (P⌫+1.@↵'n) converge vers 0 dans S. C’est une tautologie si ⌫ = 0. Si c’est vrai pour⌫ 1 et si|↵|=⌫, il existej 6det 2Ndtels que| |=⌫ 1 et@↵'n =@j(@ 'n).
Alors la suite ( n) = (P⌫.@ 'n) converge vers 0 par hypoth`ese de r´ecurrence, et
@j(P⌫.@ 'n) =P⌫ 1.(⌫.@jP.@ 'n+P.@↵'n)
donc P⌫+1.@↵'n = P.@j(P⌫.@ 'n) ⌫.@jP.(P⌫.@ 'n) =P.@j n ⌫.@jP. n. L’application@j est lin´eaire continue de S dans S, ainsi que la multiplication par les polynˆomes P et ⌫.@jP. Il en r´esulte que (P⌫+1.@↵'n) converge vers 0 dans S.
7) Supposons que la suite (P.'n) converge vers 0 dans S. Il r´esulte de 6) que la suite (P⌫+1.@↵'n) converge vers 0 dansS si|↵|=⌫. On d´eduit alors de 5)que
p0,q(@↵'n)6c ⌫ 1.L⌫+1,q+m⌫+m.p⌫+1,q+m⌫+m(P⌫+1.@↵'n)!0 , donc que, pour tout⌫,
p⌫,q('n) = sup
|↵|6⌫p0,q(@↵'n)!0 ,
c’est-`a-dire que la suite ('n) tend vers 0 dans S. Si une suite ( n) dans V converge vers 0, la suite ('n) = (M 1 n) dansS v´erifie que (P.'n) = ( n) converge vers 0 dans le sous-espace V deS ; donc ('n) tend vers 0, et ceci montre la continuit´e de l’application lin´eaireM 1:V !S. 8) Si T est une distribution temp´er´ee, T est lin´eaire continue de S dans C, et S0 = T M 1 est une forme lin´eaire continue sur le sous-espace V deS. Il r´esulte donc du th´eor`eme de Hahn- Banach que S0 se prolonge en une forme lin´eaire continue S sur S, c’est-`a-dire une distribution temp´er´ee.
Pour'2S, on a hP.S, 'i=hS, P.'i, et puisqueP.'=M'2V, on a hP.S, 'i=hS, P.'i=hS0, P.'i=T M 1(M') =hT, 'i pour toute '2S, ce qui signifie que P.S=T.
III
1) On aP(z tuz) = (x t"z)2 y2 1 ="2z.(t "zx)2 y2 1 = (t |x|)2 (y2+ 1), et cette quantit´e est nulle pourt=s, o`u sest le nombre|x| p
y2+ 1. Doncz s.uz 2Z pour s=|x| p
y2+ 1 = x2 (y2+ 1)
|x|+p
y2+ 1 = P(z)
|x|+p
y2+ 1 . Et puisque ⇢(z, Z) 6 kz (z s.uz)k = ks.uzk = |s| et que |x|+p
y2+ 1 > p
y2+ 1 > 1 , on voit que ⇢(z, Z) 6 |P(z)|
|x|+p
y2+ 1 6|P(z)|, et que P satisfait la condition (⇤) de IIavec c= 1 et m= 0.
2) Il r´esulte alors imm´ediatement de II que toute distribution temp´er´ee T sur R2 peut ˆetre
“divis´ee” par P, c’est-`a-dire qu’il existe S2S0(R2) telle queT =P.S.
En particulier la fonction constante 1 est une distribution temp´er´ee, et il existeS⇤ 2S0(R2) telle que P.S⇤= (x2 y2 1)S⇤ = 1. Alors U =F(S⇤) 2S0(R2). Puisque F(1) = (2⇡)2 0, que F(x2S⇤) = @2
@x2F(S⇤) = @2U
@x2 etF(y2S⇤) = @2
@y2F(S⇤) = @2U
@y2, on voit que F(P.S⇤) = @2U
@y2
@2U
@x2 U =F(1) = (2⇡)2 0
et que 1
4⇡2U est une solution fondamentale temp´er´ee de l’op´erateur di↵´erentiel @2
@y2
@2
@x2 1.
4
