PanaMaths
[1 - 2]Décembre 2012
Calculer, pour tout entier naturel n non nul, les sommes :
0 n k
k n
=
k
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ et
0
1 1
n k
n
k k
=
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ +
Analyse
Deux calculs de base pour s’entraîner à manipuler des sommes, en particulier ici en réindexant.
Résolution
S’agissant de la première somme, on peut supposer n≥1. Il vient alors :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
0 0
1
1 1
0 1
0
!
! !
!
1 ! !
1 !
1 ! 1 1 !
1 !
! 1 !
1
n n
k k
n
k n
k n
k n
k
n n
k k
k k n k
n
k n k
n n
k n k
n n
k n k
n n k
= =
=
=
−
=
−
=
⎛ ⎞=
⎜ ⎟ −
⎝ ⎠
= − −
= −
− ⎡⎣ − − − ⎤⎦
= −
− −
⎡ ⎤
⎣ ⎦
⎛ − ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
On a classiquement :
1
1 0
1 2
n
n k
n k
− −
=
⎛ − ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
(somme des coefficients binomiaux de la n-ième ligne du triangle de Pascal) et, finalement :1 0
2
n
n k
k n n k
−
=
⎛ ⎞=
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
On constate que l’expression obtenue reste valable pour n=0.
PanaMaths
[2 - 2]Décembre 2012
Pour la deuxième somme, nous procédons de façon tout à fait similaire :
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
0 0
0
0
0 1
1 1
0 1
1 1 !
1 1 ! !
!
1 ! !
1 1 !
1 1 ! 1 1 !
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1
0 1
1 2 1
1
n n
k k
n
k n
k n
k n
k n
k n
n n
k
k k k n k
n
k n k
n
n k n k
n k n
n k n
n n
k n
n
= =
=
=
= +
= +
=
+
⎛ ⎞=
+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ + −
= + −
= +
+ + ⎡⎣ + − + ⎤⎦
⎛ + ⎞
= + ⎜⎝ + ⎟⎠
⎛ + ⎞
= + ⎜⎝ ⎟⎠
⎡ ⎛ + ⎞ ⎛ + ⎤⎞
= + ⎢⎣ ⎜⎝ ⎟ ⎜⎠ ⎝− ⎟⎠⎥⎦
= −
+
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
1)
0
1 1
2 1
1 1
n
n k
n k
k n
+
=
⎛ ⎞= −
+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ +
∑
Résultat final
Pour tout n entier naturel :
1 0
2
n
n k
k n n k
−
=
⎛ ⎞=
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
(
1)
0
1 1
2 1
1 1
n
n k
n k
k n
+
=
⎛ ⎞= −
+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ +
