Examen de robotique Décembre 2012
Documents autorisés. NOM :
Calculatrice école autorisée. Prénom :
Durée : 3 heures.
Problème : Manipulateur suspendu
Soit le manipulateur suspendu suivant :
Il peut être modélisé par le schéma suivant :
a3 a4
d2
+
+ +
x0 = z1
x1
x2 x3 x4
Ce robot PRRR est représenté dans la position où ses coordonnées articulaires q1 q2 q3 et q4 sont toutes nulles.
1. Placer les axes manquants sur la figure (rendre le sujet en fin d’examen).
2. Remplir le tableau de DH de ce robot :
Axes α a d θ
1
2 - π/2 q2 - π/2
3
4
3. Donner l’expression des matrices M01 M12 M23 et M34 .
4. Dans la suite on considère que le robot évolue dans le plan de la figure, c’est à dire que q2 = 0. Dans ce cas particulier, calculer la matrice homogène M04 . 5. Vérifier le modèle géométrique de la question précédente pour toutes les
coordonnées articulaires nulles. Même question pour q1 et q2 nulles et pour q3 = q4 = - π/2 .
6. Déterminer le Jacobien J de ce robot tel que :
0Cˆ0 = vx vz ωy
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟ =J
q1
q3
q4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟
avec vx et vz les coordonnées de la vitesse de O4 dans le repère de base et ωy la vitesse de rotation de R4 autour de l’axe y du repère de base.
7. Le robot est utilisé pour soulever une charge de 20 kg dans la configuration où q1 q2 et q3 sont nulles et q4 = - π/2 .Dans ce cas, calculer en régime statique les efforts des actionneurs.
Exercice : Euler-‐Lagrange
Soit un robot à un axe rotoïde représenté dans sa configuration nulle (q1 = 0) :
Le corps est un parallélépipède de longueur 2l, de masse m et d’inertie J autour de l’axe q1 dont le sens positif est indiqué sur la figure.
1. Calculer le Lagrangien de ce robot.
2. Appliquer l’équation d’Euler-‐Lagrange à ce robot avec un couple moteur Γ . 3. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à ce robot. Conclure.
+
