PanaMaths
[1 - 3]Décembre 2012
Soit n un entier naturel.
Calculer les sommes :
i j n
+ =
∑ i j et
i j k n
i j k
+ + =
∑
Analyse
Le premier calcul est assez simple et sert, comme on peut s’en douter, au second.
Résolution
On a :
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
2
0 0 0 0 0
2
1 1 2 1
2 6
1 3 2 1
6
1 1
6 1 6
n n i n n n
i j n i j i i i
i j i j i n i n i i
n n n n n
n
n n n n
n n n
n n
−
+ = = = = = =
= = − = −
+ + +
= −
= + ⎡⎣ − + ⎤⎦
+ −
=
= −
∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑
(
2 1)
i j n 6 i j n n
+ =
= −
∑
Pour le calcul de la deuxième somme, on va tirer parti du résultat obtenu ci-dessus.
On a d’abord :
0 n
i j k n k i j n k
i j k k i j
+ + = = + = −
∑
=∑ ∑
D’après le résultat précédent, on a :
( ) ( )
2 1i j n k 6
n k n k i j
+ = −
⎡ ⎤
− ⎣ − − ⎦
∑
=PanaMaths
[2 - 3]Décembre 2012
D’où :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
0
2 2 2
0
4 3 2 2 2
0
4 3 2 2 2
0 0 0 0
1 6
1 1 2
6
1 3 3 1 1
6
1 3 3 1 1
6
n
i j k n k
n
k n
k
n n n n
k k k k
n k n k i j k k
kn k n kn k
k nk n k n n k
k n k n k n n k
+ + = =
=
=
= = = =
⎡ ⎤
− ⎣ − − ⎦
=
⎡ ⎤
= − ⎣ − − + ⎦
⎡ ⎤
= ⎣− + − − + − ⎦
⎧ ⎫
= ⎨− + − − + − ⎬
⎩ ⎭
∑ ∑
∑
∑
∑ ∑ ∑ ∑
En utilisant classiquement :
•
( )
0
1 2
n
k
k n n
=
= +
∑
;• 2
( )( )
0
1 2 1
6
n
k
n n n
k
=
+ +
∑
= ;• 3 2
( )
20
1 4
n
k
n n k
=
= +
∑
;• 4
( )( ) (
2)
0
1 2 1 3 3 1
30
n
k
n n n n n
k
=
+ + + −
∑
= .( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4 3 2 2 2
0 0 0 0
2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
1 3 3 1 1
6
1 2 1 3 3 1 1
1 3
6 30 4
1 2 1 1
3 1 1
6 2
1 2 2 1 3 3 1 45 1 10 3 1 2 1 30 1
360
1 4 2 3 3
360
n n n n
i j k n k k k k
i j k k n k n k n n k
n n n n n n n
n
n n n n n
n n n
n n n n n n n n n n n
n n n n
+ + = = = = =
⎧ ⎫
= ⎨− + − − + − ⎬
⎩ ⎭
⎡ + + + − +
= ⎢− +
⎢⎣
+ + + ⎤
− − + − ⎥
⎦
+ ⎡ ⎤
= ⎣− + + − + + − − + + − ⎦
= + − − +
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
3 2 3 2 3
3 2 2 3 2 3 2 3
3 2 3 2
2 2
2 2
1 45 45 10 6 3 2 1 30 30
1 12 12 4 6 6 2 45 45 60 30 20 10 30 30
360
1 1
3 3 12 12 4 4
360 120
1 1
1 4 1 1 4
120 120
1 4
12
n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n n
n n n
⎡ − + + − + − − + − ⎤
⎣ ⎦
+ ⎡ ⎤
= ⎣− − + − − + + + − − + + + − ⎦
+ +
= − − + = − − +
+ ⎡ ⎤ +
= ⎣ − − − ⎦= − −
− −
= 0
PanaMaths
[3 - 3]Décembre 2012
(
2 1)(
2 4)
i j k n 120
n n n
i j k
+ + =
− −
∑
=Par exemple, avec n=3, on a :
3
0 0 3
i j k
i j k
+ + =
= × ×
∑
+ × ×0 1 2+ × ×0 2 11 0 2
+ × × + × × + × ×1 1 1 1 2 0 2 0 1
+ × × + × ×2 1 0 + × ×3 0 0
=1 Avec la formule obtenue, il vient :
(
2 1)(
2 4)
3(
32 1) (
32 4)
3 8 5120 120 120 1
n n − n − = × − × − = × × =
Résultat final
Pour tout n entier naturel :
(
2 1)
i j n 6 i j n n
+ =
= −
∑
(
2 1)(
2 4)
i j k n 120
n n n
i j k
+ + =
− −
