Décembre 2012

PanaMaths

[1 - 3]

Décembre 2012

Soit n un entier naturel.

Calculer les sommes :

i j n

+ =

∑ i j ^et

i j k n

i j k

+ + =

∑

Analyse

Le premier calcul est assez simple et sert, comme on peut s’en douter, au second.

Résolution

On a :

( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )

( )

2

0 0 0 0 0

2

1 1 2 1

2 6

1 3 2 1

6

1 1

6 1 6

n n i n n n

i j n i j i i i

i j i j i n i n i i

n n n n n

n

n n n n

n n n

n n

−

+ = = = = = =

= = − = −

+ + +

= −

= + ⎡⎣ − + ⎤⎦

+ −

=

= −

∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

(

^{2 1}

)

i j n 6 i j n n

+ =

= −

∑

Pour le calcul de la deuxième somme, on va tirer parti du résultat obtenu ci-dessus.

On a d’abord :

0 n

i j k n k i j n k

i j k k i j

+ + = = + = −

∑

=

∑ ∑

D’après le résultat précédent, on a :

( ) ( )

^{2 1}

i j n k 6

n k n k i j

+ = −

⎡ ⎤

− ⎣ − − ⎦

∑

=

PanaMaths

[2 - 3]

Décembre 2012

D’où :

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

0

2 2 2

0

4 3 2 2 2

0

4 3 2 2 2

0 0 0 0

1 6

1 1 2

6

1 3 3 1 1

6

1 3 3 1 1

6

n

i j k n k

n

k n

k

n n n n

k k k k

n k n k i j k k

kn k n kn k

k nk n k n n k

k n k n k n n k

+ + = =

=

=

= = = =

⎡ ⎤

− ⎣ − − ⎦

=

⎡ ⎤

= − ⎣ − − + ⎦

⎡ ⎤

= ⎣− + − − + − ⎦

⎧ ⎫

= ⎨− + − − + − ⎬

⎩ ⎭

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑ ∑ ∑

En utilisant classiquement :

•

( )

0

1 2

n

k

k n n

=

= +

∑

^;

• 2

( )( )

0

1 2 1

6

n

k

n n n

k

=

+ +

∑

= ^;

• 3 ²

( )

²

0

1 4

n

k

n n k

=

= +

∑

^;

• 4

( )( ) (

²

)

0

1 2 1 3 3 1

30

n

k

n n n n n

k

=

+ + + −

∑

= ^.

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ^{( )( )} ( ) ^{( )}

( ) ( ) ( ) ^{( )} ( ) ^{( )} ( )

( ) ( )

4 3 2 2 2

0 0 0 0

2

2 2

2 2

2 2 2 2

2

1 3 3 1 1

6

1 2 1 3 3 1 1

1 3

6 30 4

1 2 1 1

3 1 1

6 2

1 2 2 1 3 3 1 45 1 10 3 1 2 1 30 1

360

1 4 2 3 3

360

n n n n

i j k n k k k k

i j k k n k n k n n k

n n n n n n n

n

n n n n n

n n n

n n n n n n n n n n n

n n n n

+ + = = = = =

⎧ ⎫

= ⎨− + − − + − ⎬

⎩ ⎭

⎡ + + + − +

= ⎢− +

⎢⎣

+ + + ⎤

− − + − ⎥

⎦

+ ⎡ ⎤

= ⎣− + + − + + − − + + − ⎦

= + − − +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( ) ( )

( )

( ) ( ) ^{( )} ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

3 2 3 2 3

3 2 2 3 2 3 2 3

3 2 3 2

2 2

2 2

1 45 45 10 6 3 2 1 30 30

1 12 12 4 6 6 2 45 45 60 30 20 10 30 30

360

1 1

3 3 12 12 4 4

360 120

1 1

1 4 1 1 4

120 120

1 4

12

n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n

n n n n

n n n n n n

n n n n

n n n n n

n n n

⎡ − + + − + − − + − ⎤

⎣ ⎦

+ ⎡ ⎤

= ⎣− − + − − + + + − − + + + − ⎦

+ +

= − − + = − − +

+ ⎡ ⎤ +

= ⎣ − − − ⎦= − −

− −

= 0

PanaMaths

[3 - 3]

Décembre 2012

(

^{2 1}

)(

^{2 4}

)

i j k n 120

n n n

i j k

+ + =

− −

∑

=

Par exemple, avec n=3, on a :

3

0 0 3

i j k

i j k

+ + =

= × ×

∑

^{+ × ×0 1 2+ × ×0 2 1}

1 0 2

+ × × + × × + × ×1 1 1 1 2 0 2 0 1

+ × × + × ×2 1 0 + × ×3 0 0

=1 Avec la formule obtenue, il vient :

(

^{2 1}

)(

^{2 4}

)

³

(

^{32 1}

) (

^{32 4}

)

^{3 8 5}

120 120 120 1

n n − n − = × − × − = × × =

Résultat final

Pour tout n entier naturel :

(

^{2 1}

)

i j n 6 i j n n

+ =

= −

∑

(

^{2 1}

)(

^{2 4}

)

i j k n 120

n n n

i j k

+ + =

− −

∑

=