Arithmétique Feuille 5

Arithmétique Feuille 5

On notePl’ensemble des nombres premiers, et sip∈P, on notevp(k)la valuationp-adique dek, c’est-à-dire l’exposant depdans la décomposition en facteurs premiers dek.

Exercice5.1

Montrer que, pour toutn∈N, 6 divisen(n²+ 5).

Exercice5.2

Résoudre l’équation3x²+xy = 11, où les inconnuesxetysont dansZ.

Exercice5.3

Montrer que11|(2¹²³+ 3¹²¹).

Exercice5.4

On considère une applicationf :N^∗×N^∗−→N^∗vérifiant pour toutm, n∈N^∗,

• f(m, n) =f(n, m),

• f(m, m) =m,

• f(m+n, n) =f(m, n) Déterminerf.

Exercice5.5

Soitm∈N^∗. Posonsa=m!et, pour touti∈ {0, . . . , m},αi =a(i+ 1) + 1.

Montrer queα0, . . . , αmsont deux à deux premiers entre eux.

Exercice5.6

Montrez que siα, βetγ sont trois rationnels tels queα+β√

2 +γ√

3 = 0alors ils sont tous trois nuls.

Exercice5.7

Résoudre l’éqnationx²−2y²= 3, en l’inconnue(x, y)∈Z².Indication : modulo 8.

Exercice5.8

Soienta≥0etn≥2deux entiers. Montrer les assertions suivantes.

1. Siaⁿ−1est premier, alorsa= 2etnest premier.

2. Siaⁿ+ 1est premier, aveca≥2, alorsnest pair.

3. Siaⁿ+ 1est premier, aveca≥2, alorsaest pair etnest une puissance de 2.

Exercice5.9

1. Résoudre 1’équation10x≡14 [15]en l’inconnuex∈Z. 2. Résoudre l’équation10x≡14 [18]en l’inconnuex∈Z.

3. Plus généralement, si(a. b)∈Z²etm∈N^∗comment résoudre l’équationax≡b[m]?

Exercice5.10

Résoudre les systèmes suivants, en l’inconnuex∈Z:

®x ≡1 [6]

x ≡2 [7] et

®3x ≡2 [5]

5x ≡1 [6].

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FEUILLE V - ARITHMÉTIQUE

Exercice5.11

Soitpun nombre premier etk∈ {1, . . . , p−1}. Montrer quepdivise

Çp−1 k

å

−(−1)^k.

Exercice5.12

1. Par combien de0se termine le nombre100!?

2. Soitn∈N. On sait qu’il existe une famille d’entiers naturels(vp)p∈Pne contenant qu’un nombre fini d’entiers non nuls telle quen! =Y

p∈P

p^vp.

Donner une expression dev_pen fonction denetp.

Exercice5.13

Pour tout entier natureln, on désigne parf(n)la somme des chiffres de l’écriture denen base 10.

Calculezf◦f◦f(N), oùN = 4444⁴⁴⁴⁴.

Exercice5.14

En exprimantcos(3θ)etcos(4θ)en fonction decos(θ), montrer quecos Å2π

7 ã

n’est pas rationnel.

Exercice5.15

On noteAl’ensemble des nombres premiers de la forme4k−1, oùk∈N^∗. Montrer queAest infini.

Exercice5.16

Soitkun entier supérieur ou égal à 2.

1. Soienta, b∈Z^∗tels quea∧b= 1.

On suppose qneabest la puissancek-ème d’un entier.

Démontrer queaetbsont (au signe près) des puissancesk-ièmes d’entiers.

2. Résoudre l’équationx²+x=y^kd’inconnuesx, y∈Z.

3. Soitp∈P. Résoudre 1’équationx²+px=y² d’inconnuesx, y∈N. Indication: Distinguer le cas oùpdivisexdu cas contraire.

Quentin De Muynck 2 Sous licencecbea