Feuille d'exercices 8. Limites de fonctions

Feuille d'exercices 8. Limites de fonctions

Exercice I.

Montrer, en utilisant la dénition de limite, que les fonctions suivantes admettent une limite au pointaindiqué : 1. f(x) = 3x+ 2 et a= 1

2. f(x) =x² et a=−3

3. f(x) = 1

x + 1 et a= 2 4. f(x) =√

x+ 2 et a= 5 Exercice II.

Déterminer les limites des fonctions suivantes en+∞ et−∞, si possible : 1. f(x) =e^x− 1

x

2. f(x) = ln(x) + 3x²−5 3. f(x) = 2√

x− 4

x² +e^−3x 4. f(x) =x⁴−2x³+ 1 5. f(x) = −3x²+ 1

2x+ 7

6. f(x) = −4x+ 1 2x+ 3 7. f(x) = x²+ 1

x³ 8. f(x) =x⁵−e^2x

9. f(x) =x²(lnx)⁴−x⁴+ 2x 10. f(x) =x+√

x²−x+ 2

11. f(x) = (3 +x²)e^x 12. f(x) = e^3x+1

x²+ 4 13. f(x) = ln(x²+ 2)

x+ 1

14. f(x) = ln(x+ 3)−ln(x−1) 15. f(x) =√

x+ 1−√ x

Exercice III.

Déterminer les limites des fonctions suivantes en0 : 1. f(x) = ln(x)−2x+ 1

2. f(x) =e^x+ 1 x −3

3. f(x) = 3x²−2x+ 5−4e^2x

4. f(x) =xe^x1 5. f(x) =x^x

6. f(x) = ln(x²+ 1) x

7. f(x) = ln(x+ 1) x² 8. f(x) = 1−e^−x

2x 9. f(x) = (1 +x)^lnx Exercice IV.

Déterminer les limites des fonctions suivantes au(x) point(s) indiqué(s) : 1. f(x) = x²+ 2|x|

x en 0 et−∞

2. f(x) = x³+√ x

x²+x en 0⁺ et+∞

3. f(x) = (x⁵)^x

(5^x)⁵ en 0⁺ et+∞

4. f(x) = 1 +x+x³

2^x en 0

5. f(x) =xEnt(1

x) en 0⁺ 6. f(x) =

px+√ x+√

√ x

x+ 1 en +∞

7. f(x) = (1 +x)^1x en 0et+∞

8. f(x) =

1 +1 x

x

en 0et+∞

Exercice V.

Même exercice : 1. f(x) = x²−4

x²−3x+ 2 en x₀ = 2 2. f(x) = e^x−e³

x−3 en x0 = 3 3. f(x) = xⁿ−1

x−1 en x₀ = 1

4. f(x) = (x−2)²ln(x³−8) en x0 = 2⁺ 5. f(x) = 1

x−1− 2

x²−1 en x0 = 1 6. f(x) = 2xln(x+√

x) en x0 = 0+

7. f(x) =xln(x+1

x) +e^x−e^x2

x²−x en +∞

1

Exercice VI.

Déterminer les limites suivantes : 1. a. lim

x→+∞

e^2x 3x² b. lim

x→−∞

e^3x+1 (lnx)⁴

c. lim

x→+∞

√x [ln(x⁴)]³ d. lim

x→+∞x⁴e⁻

√x

e. lim

x→−∞

exp(3x²) x⁶ f. lim

x→0⁺

ln√ x x² 2. a. lim

x→0⁺

3x²+ (lnx)²− 1

√x

b. lim

x→+∞

exp(x²)−e^3x+x²

c. lim

x→−∞(e^−3x−1

x +x−e^x2) d. lim

x→+∞(ln(x²+ 1)−2 lnx)

Exercice VII.

1. a. Montrer que∀x≥1, lnx≤√

x, puis en déduire lim

x→+∞

lnx x .

b. Rééchir à une méthode comparable permettant de déterminer lim

x→+∞

e^x x , puis lim

x→+∞

lnx

x^α et lim

x→+∞

e^x

x^α, pour un α >0 quelconque.

2. a. Montrer que∀x∈R, x+ 1≤e^x ≤xe^x+ 1. b. En déduire un encadrement de e^x−1

x , puis déterminer lim

x→0⁺

e^x−1 x . 3. a. Montrer que∀x∈]−1; +∞[, x

1 +x ≤ln(x+ 1)≤x. b. En déduire un encadrement de ln(x+ 1)

x , puis déterminer lim

x→0⁺

ln(x+ 1) x . Exercice VIII.

Déterminer les éventuelles asymptotes des fonctions suivantes : 1. f(x) = 6x−1

2x+ 4 2. f(x) =−3x−7 + 2

x 3. f(x) = 2x+√

x−5

4. f(x) =x²−2x+ 3 5. f(x) = 3√

x−1

6. f(x) = ln(e^2x+e^x+ 1) 7. f(x) = ln(3^x+ 2^x)

8. f(x) =x+p

(x²−4x+ 3) 9. f(x) = 3x²+ 10

x+√

x−5+ 7 lnx 10. f(x) =e^1xp

x(x+ 2)

Exercice IX.

Même exercice : 1. f(x) = x²+e^x

x+ 1 2. f(x) = e^x−e^−x

e^x+e^−x 3. f(x) = x²+xlnx

x+ 1 4. f(x) = xe^x+ 1 e^x+ 1

2