Feuille d’exercices 1

(1)

UNIVERSIT´ E PIERRE ET MARIE CURE Ann´ee 2007/2008

MIME 22 LM 125

Groupe 22.4

Feuille d’exercices 1

Quelques points de logique

Exercice 1 Donner la n´ egation des affirmations suivantes : 1. Tous les chats sont blancs.

2. Au moins un chat est blanc avec des yeux verts.

3. ∀x ∈ R , ∃n ∈ Z : x < n.

Exercice 2 Traduire en langage “courant” l’expression :

∀x ∈ R , ∃n ∈ Z : n ≤ x < n + 1.

Exercice 3 Ecrire ` ´ a l’aide de quantificateurs la phrase “tout nombre entier est pair ou impair”.

Exercice 4 Soit f une application R → R . Traduire en “langage courant” puis nier la phrase suivante :

∀η ∈ R

^∗₊

, ∀x ∈ R , ∃ε ∈ R

^∗₊

, ∀y ∈ R : (|x − y| < ε ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ η).

Exercice 5 Donner la contrapos´ ee des implications suivantes : 1. n est premier ⇒ n = 2 ou n est impair.

2. Si c’est une poule, elle pond des oeufs.

3. Si vous ne comprenez pas, posez une question.

4. Ce qui est rare est cher.

Raisonnement par r´ ecurrence

Exercice 6 Pour tout n ∈ N prouver l’in´ egalit´ e 2

ⁿ

> n.

Exercice 7 Soit f : N → N une application strictement croissante. Montrer que f (n) ≥ n pour tout entier n ∈ N . Que dire lorsque f est surjective ?

Exercice 8 Montrer que pour tout n ∈ N

^∗

on a

n

X

k=1

k(k + 2) = 1

6 n(n + 1)(2n + 7)

et

_n

X

k=1

1 k(k + 1) = n n + 1 .

1

(2)

Exercice 9 Soit q ∈ R et q 6= 1. Montrer que pour n ∈ N on a

n

X

k=0

q

^k

= 1 − q

ⁿ⁺¹

1 − q .

Exercice 10 Soit (F

ⁿ

)

^n∈N

la suite d´ efinie par F

0

= 0, F

1

= 1 et F

ⁿ

= F

n−1

+ F

n−2

pour tout entier n ≥ 2. Montrer par r´ ecurrence que pour tout entier n ≥ 3 on a la relation

F

ⁿ

F

n−3

− F

n−1

F

n−2

= (−1)

ⁿ

.

Th´ eorie des ensembles

Exercice 11 Soient f : E → F et B ⊂ F . Montrer que B = f (f

⁻¹

(B)) si et seulement si B ⊂ Imf .

Exercice 12 1. Soient f : E → F et f

^′

: E

^′

→ F deux applications.

D´ emontrer l’´ equivalence suivante :

(∃u : E → E

^′

: f = f

^′

◦ u) ⇔ (Imf ⊂ Imf

^′

).

2. Soient f : E → F et f

^′

: E → F

^′

deux applications. D´ emontrer l’´ equivalence : (∃v : F → F

^′

: f

^′

= v◦f ) ⇔ (∀x

1

, x

2

∈ E : f (x

1

) = f (x

2

) ⇒ f

^′

(x

1

) = f

^′

(x

2

)).

Exercice 13 Soient E et F deux ensembles et f : E → F une application.

D´ emontrer les propri´ et´ es suivantes : 1. ∀A, B ⊂ E, A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B).

2. ∀A, B ⊂ E, f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).

3. ∀A, B ⊂ E, f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).

4. ∀A, B ⊂ F, f

⁻¹

(A ∪ B) = f

⁻¹

(A) ∪ f

⁻¹

(B).

5. ∀A, B ⊂ F, f

⁻¹

(A ∩ B) = f

⁻¹

(A) ∩ f

⁻¹

(B).

6. ∀A ⊂ E, A ⊂ f

⁻¹

(f (A)).

7. ∀A ⊂ F , f (f

⁻¹

(A)) ⊂ A.

Exercice 14 Soit E un ensemble. La fonction caract´ eristique d’un sous- ensemble A ⊂ E est l’application f : E → {0, 1} d´ efinie par

f (x) =

0 si x / ∈ A 1 si x ∈ A.

Soient A et B deux sous-ensembles de E. Notons f et g leurs fonctions ca- ract´ eristiques. Montrer que les applications suivantes sont des fonctions ca- ract´ eristiques pour des sous-ensembles que l’on d´ eterminera :

1. 1 − f 2. f g

3. f + g − f g 4. f + g − 2f g

2

(3)

Exercice 15 On note P (E) l’ensemble des parties d’un ensemble E.

1. D´ eterminer P({0, 1}).

2. Montrer que si Card(E) = n alors Card(P (E)) = 2

ⁿ

. 3. Est-il vrai que P (A ∩ B) = P (A) ∩ P(B) ?

4. Est-il vrai que P (A ∪ B) = P (A) ∪ P(B) ?

Exercice 16 Soient f : A → B et g : B → C deux applications. D´ emontrer les propri´ et´ es suivantes :

1. g ◦ f injective ⇒ f injective.

2. g ◦ f surjective ⇒ g surjective.

Montrer par des exemples que les r´ eciproques sont fausses.

Exercice 17 Soit f : X → Y une application. Montrer que les conditions suivantes sont ´ equivalentes :

1. f est injective.

2. ∀A, B ⊂ X, f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).

3. ∀A, B ⊂ X, A ∩ B = ∅ ⇒ f (A) ∩ f (B) = ∅.

Exercice 18 Soit f : X → Y une application. D´ emontrer les propri´ et´ es sui- vantes :

1. ∀A ⊂ Y , f (f

⁻¹

(A)) = A ∩ f (X).

2. f est surjective si et seulement si ∀A ⊂ Y , f (f

⁻¹

(A)) = A.

3. f est injective si et seulement si ∀A ⊂ X, A = f

⁻¹

(f (A)).

4. f est bijective si et seulement si ∀A ⊂ X , Y − f (A) = f (X − A).

Exercice 19 Soit App(A, B) l’ensemble des applications de A dans B. ´ Etant donn´ ee f ∈ App(A, B) on obtient deux applications naturelles f

^∗

: App(B, C ) → App(A, C) et f

∗

: App(C, A) → App(C, B) d´ efinies par f

^∗

(g) = g ◦ f et f

∗

(g) = f ◦ g. D´ emontrer les propri´ et´ es suivantes :

1. f : A → B est injective ⇔ pour tout ensemble C, l’application f

^∗

est surjective ⇔ pour tout ensemble C, l’application f

∗

est injective.

2. f : A → B est surjective ⇔ pour tout ensemble C, l’application f

^∗

est injective ⇔ pour tout ensemble C, l’application f

∗