Produit Scalaire

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Cours de mathématiques

Chapitre 3

Produit Scalaire

Le concept de produit linéaire de deux vecteurs est né de la physique. Il sert à calculer le travail ou l’énergie produit par une force qui s’applique sur un corps en mouvement.

Le mathématicien allemand Hermann Günther Grassmann (1809-1877) et le physico- chimiste américain Willard Gibbs (1839-1903) le notent par un point ou par une croix. Il fut baptisé produit scalaire par Hamilton en 1853.

Le produit scalaire possède de multiples applications. En géométrie analytique il permet de déterminer le caractère perpendiculaire de deux droites ou d’une droite et d’un plan.

Aymar de Saint-Seine Année scolaire 2014–2015

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1. Expressions du produit scalaire

Définition 1 : Produit scalaire de deux vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs ^→u et ^→v est le nombre réel défini par :

→u·^→v =||^→u|| × ||^→v|| ×cos(^→u;^→v) Si ^→u =^→0 ou ^→v =^→0, alors ^→u·^→v =^→0.

Exemple :

O ^→u

→v _π

4

→u·^→v = ||^→u|| × ||^→v|| ×cos(^→u;^→v)

= 6×3√

2×cos(π 4)

= 6×3√ 2×

√2

= 18 2

Théorème 1 : Expression avec une projection orthogonale

Soient deux vecteurs ⁻OA⁻⁻⁻⁻^→ et ⁻OB⁻⁻⁻⁻^→ et H est le projeté orthogonal de B sur (OA). On a

−−−−−→

OA·⁻OB⁻⁻⁻⁻^→=⁻OA.⁻⁻⁻⁻^→⁻OH⁻⁻⁻⁻⁻^→=±OA×OH

Illustration :

b

O

bA

b

B

b

H O

b

B

b

A

b

H

−−−−−→

OA.⁻OB⁻⁻⁻⁻^→=⁻OA.⁻⁻⁻⁻^→⁻OH⁻⁻⁻⁻⁻^→=±OA×OH

Démonstration : voir exo 3.3

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Théorème 2 (admis) : Expression dans un repère orthonormé Soient^→u x

y

!

et ^→v x^′ y^′

!

deux vecteurs dans une base orthonormale(O;~i,~j) du plan.

On a

→u ·^→v =xx^′+yy^′ Soient ^→u





x y z



 et ^→v





x^′ y^′ z^′



 deux vecteurs dans une base orthonormale (O;~i,~j, ~k) de l’espace. On a

→u ·^→v =xx^′+yy^′+zz^′

Démonstration : Cette démonstration utilise des propriétés qui seront vues plus loin dans le cours.

Par hypothèse, ^→u =x^→ı +y^→ et^→v =x^{′ →}ı +y^{′ →}. Par conséquent,

→u ·^→v = (x^→i +y^→j )·(x^′^→i +y^′^→j )

= x^→i ·x^′^→i +x^→i ·y^′^→j +y^→j ·x^′^→i +y^→j ·y^′^→j

= xx^′^→i ·^→i +xy^′^→i ·^→j +yx^′^→j ·^→i +yy^′^→j ·^→j Or, puisque le repère est orthonormé,~i·~i =~j·~j = 1 et~i·~j =~j·~i = 0.

Par conséquent, ^→u ·^→v =xx^′+yy^′.

Exercice résolu 1 : Soient ^→u 5

7

!

et ^→v 3 6

!

. Calculer ^→u·^→v. Solution : On a

→u^→v = xx^′+yy^′

= 5×3 + 7×6

= 57

Théorème 3 : Propriétés du produit scalaire Pour tous vecteurs ^→u, ^→v, ^→w et pour tout réel α

• Commutativité :^→v ·^→u =^→u·^→v

• Distributivité des vecteurs : ^→u·(^→v +^→w) =^→u·^→v +^→u ·^→w

• Distributivité des nombres : ^→u·(α^→v) =α(^→u·^→v) = (α^→u)·^→v

2. Applications du produit scalaire

Théorème 4 : Norme et produit scalaire Pour tout vecteur ^→u, on a :

→u² =||^→u||²

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Démonstration : Si^→u =^→0 , alors l’égalité est vraie. Sinon, selon la définition :

→u·^→u = ||^→u|| × ||^→u|| ×cos(^→u;^→u)

= ||^→u||²cos(0)

= ||^→u||²

Théorème 5 : Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Autrement dit :

→u⊥^→v ⇐⇒^→u.^→v = 0

Démonstration : On suppose que^→u⊥^→v. On a alors (^→u;^→v) =±π

2 donc cos(^→u;^→v) = 0 et donc

→u .^→v =||^→u|| × ||^→v|| ×cos(^→u;^→v) = 0.

Réciproquement, si ^→u .^→v = 0 alors soit ||^→u|| = 0, soit ||^→v|| = 0 soit cos(^→u;^→v) = 0. puisque les vecteurs sont non nuls, les deux premiers cas ne sont pas vrais. Il reste donc cos(^→u;^→v) = 0, donc (^→u;^→v) =±π

2 et on a bien ^→u⊥^→v .

Théorème 6 : Relations métriques dans un triangle

Soit ABC un triangle. On note a =BC, b =CA, c=AB, A =CAB,[ B =ABC[ et C =BCA,[

b

A

bB

b

C

c b a

A B

C

On a :

Formule d’Al-Kashi :

a² =b²+c²−2bccosA b² =c²+a²−2cacosB c² =a²+b²−2abcosC Loi des sinus :

a

sinA = b

sinB = c sinC A = 1

2bcsinA= 1

2casinB = 1

2absinC

Démonstration : Formule d’Al-Kashi :

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Les formules étant circulaires, on ne démontrera que la première : a² = ⁻BC⁻⁻⁻^→·⁻BC⁻⁻⁻^→

= (⁻BA⁻⁻^→+⁻AC)⁻⁻^→ ·(⁻BA⁻⁻^→+⁻AC)⁻⁻^→

= ⁻BA⁻⁻^→·⁻BA⁻⁻^→+⁻BA⁻⁻^→·⁻AC⁻⁻^→+⁻AC⁻⁻^→·⁻BA⁻⁻^→+⁻AC⁻⁻^→·⁻AC⁻⁻^→

= c²+b²+ 2⁻BA⁻⁻^→·⁻AC⁻⁻^→

= b²+c²+ 2⁻AB⁻⁻^→·⁻AC⁻⁻^→

= b²+c²−2bccos(A)^b Loi des sinus :

On exprime la hauteur issue de C du triangle de deux façons différentes : sin(A) =^b h

b et sin(B^b) =h a donc

h=bsin(A) =^b asin(B)^b

donc a

sin(A)^b = b sin(B)^b

Pour avoir la dernière égalité, on raisonne de même avec la hauteur issue de B ou de A.

S= c×h

2 = c×bsinα

2 = 1

2bcsinα .

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