Liste 24

(1)

1 Exercice 1

La courbe (C) ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur . On note f la dérivée de la ' fonction f. On sait que :

− la courbe (C) coupe l'axe des ordonnées au point ^A

 

^{0; 2} ^;

− la courbe (C) admet pour asymptote l’axe des abscisses ;

− la tangente en A à la courbe (C) coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse 4.

1. À partir du graphique et des renseignements fournis : a. Déterminer ^lim

 

x f x

   et ^lim

 

x f x

   . b. Déterminer f(0) et f'(0)

2. Soit g la fonction définie sur par ^{g x}

 

^ ^{f x}

 

¹ ^.

a. Déterminer, en justifiant avec soin, _x^lim_{  }^{g x}

 

^et ^lim

 

x g x

   .

b. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d’abscisse 0.

c.

Exercice 2

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

On considère une fonction f définie et dérivable sur . Le tableau de variations de la fonction f est le suivant :

x  − 2 2 

 

f x



−1

3

0 1) On peut affirmer que …

0

(C)

y

1 x 1

(2)

–

1

lim ( ) 2

x f x

   . –

0

lim ( )

x f x

  . – lim ( )

x f x

  . – lim ( )

x f x

  .

2) La courbe représentative de la fonction f admet ...

– pour asymptotes les droites d’équation y = −1 et y = 3.

– pour asymptotes les droites d’équation x = −2 et x = 2.

– la droite d’équation y = 0 pour asymptote.

– la droite d’équation x = 0 pour asymptote.

3) Dans l’équation f (x) = 0 admet ...

– 0 solution – 1 solution – 2 solutions.

– 3 solutions.

4) Dans l’inéquation f (x) > 3 … – n’a pas de solution.

– a pour solutions l’ensemble des réels x > 2.

– a toutes ses solutions positives.

– a toutes ses solutions négatives.

Exercice 3

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée C

f

d’une fonction f dérivable sur .

On sait que :

− la droite D est tangente à la courbe C

f

au point

^A



^^2;1

 ;

− la courbe C

_f

admet deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses aux points

d’abscisse −1 et 3 ;

(3)

3

D

A

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.

On désigne par

f'

la fonction dérivée de la fonction f alors :



f '( 2) 1



f'( 2)  3



f '( 2)  f '( 1)

2.

L’équation

^f^'

 

^x ^⁰

admet :

 une solution  deux solutions  trois solutions

3. f'

est définie sur par :



'( ) ³⁽ ₂ ³⁾⁽ ² ¹⁾ 19

x x

f x x x

 

  



3 3

  

² 1



'( ) 25

x x

f x  





'( ) ³⁽³₂ ⁾⁽ ¹⁾

4 9

f x x x

x x

 

  

4.

Soit g la fonction définie sur par

^{g x}^{( )}^



^{f x}^{( )}



²

. Au point d’abscisse − 2, la tangente à la courbe représentative de la fonction g a pour équation :



y9x19



y  6x 13



y  6x 11

Exercice 4

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée Cf d’une fonction f dérivable sur



^0;^



. On désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f.

On sait que :

− L’axe des abscisses est asymptote à la courbe Cf au voisinage de + ∞.

− la courbe Cf admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point A

− la tangente à la courbe C_f au point B passe par le point de coordonnées



^5,5;0,5



O y

1 x

1 C_f

A

B

(4)

1) À partir du graphique et des renseignements fournis : a. Déterminer ^lim

 

x f x

 . b. Déterminer ^f ^{' 1}

 

^et ^f ^{' 3}

 

^

c. Résoudre ^f ^'

 

^x ^⁰^.

2) On considère la fonction g qui à x associe ^{g x}

 

^ ^{f x}

 

¹

a. Préciser l’intervalle de définition I de la fonction g.

b. Calculer

 

0

lim

x g x

 et ^lim

 

x g x

 . c. Calculer ^g^{' 1}

 

^et^g^{' 3}

 

^

d. Étudier les variations de la fonction g sur I.

3) On considère la fonction h qui à tout réel x strictement positif associe ^{h x}

 

^f ¹

x

    .

a. Calculer ^lim_x_₀^{h x}

 

^et_x^lim_^{h x}

 

. Que peut-on déduire pour la courbe représentative de la fonction h ?

b. Calculer ' ¹ h  3

  

Exercice 5

Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée Cf d’une fonction f dérivable sur . On désigne par f la fonction dérivée de la fonction f. '

On sait que :

− la droite D d’équation y2x8 est asymptote à la courbe Cf en + ∞;

− la courbe Cf admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point ^A

 

^{3; 2} ^;

(5)

5

A

À partir du graphique et des renseignements fournis : 4) Déterminer ^lim

 

x f x

 .

5) On note g la fonction définie sur par g x( )f x( )2x8. Déterminer ^lim

 

x g x



6) Déterminer f

 

3 et f' 3

 



7) Quelle est parmi les trois courbes tracées ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f ? '

courbe C1 courbe C2 courbe C3

8) Une seule des trois propositions suivantes est exacte, déterminer laquelle.

a. f'(2)f'(4)0 b. f'(2)f'(4)0 c. f'(2)f'(4)0 9) On considère la fonction h inverse de la fonction f. C’est-à-dire la fonction h définie sur par

   

¹

h x  f x .

a. Déterminer ^lim

 

x h x



O y

1 2

C_f

D

O 1

O 1 2

0,5 O

1 2

(6)

b.

Quelle est parmi les trois courbes de la question 4, celle qui représente la fonction h ?