Localisation à la manière de Goldie et applications

H ENRI I MMEDIATO

Localisation à la manière de Goldie et applications

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1970, tome 7, fascicule 3

, p. 1-54

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L O C A L I S A T I O N A LA M A N I E R E DE G O L D I E ET A P P L I C A T I O N S

par H e n r i I M M E D I A T O

Ce t r a v a i l p r é s e n t e une n o u v e l l e m é t h o d e de l o c a l i s a t i o n d a n s les a n n e a u x u n i t a i r e s » r e l a - tivement à un idéal b i l a t è r e . Il est d i v i s é en six c h a p i t r e s : les q u a t r e p r e m i e r s d é v e l o p p e n t la t h é o r i e g é n é r a l e et les d e u x d e r n i e r s sont c o n s a c r é s aux a p p l i c a t i o n s .

L ' i d é e g é n é r a l e de la t h é o r i e c o n s i s t e , à p a r t i r d'une f a m i l l e t o p o l o g i s a n t e i d e m p o t e n t e 3^ d ' i d é a u x à d r o i t e d'un a n n e a u A et d'un idéal b i l a t è r e 3*-clos I de A» à c o n s i d é r e r des " p u i s - s a n c e s s y m b o l i q u e s à d r o i t e " H^Q, n»l de I par

r a p p o r t à 3? . Ces p u i s s a n c e s s y m b o l i q u e s à d r o i t e forment une s u i t e d é c r o i s s a n t e d ' i d é a u x b i l a t è r e s .

1

On l o c a l i s e c h a q u e a n n e a u A / H ^ par r a p p o r t à la f a m i l l e i m a g e d i r e c t e de 3*> p a r le m o r p h i s m e c a n o n i q u e de A dans A / Hⁿ- L'idéal I est a l o r s d i t

" l o c a l i s a b l e à d r o i t e p a r r a p p o r t à 5 i" si les l o c a l i s é s (A/H ) f o r m e n t un s y s t è m e p r o j e c t i f

° n d' a n n e a u x .

En p a r t i c u l a r i s a n t la f a m i l l e 3*, on o b t i e n t les n o t i o n s d'idéal l o c a l i s a b l e à d r o i t e et d'idéal c l a s s i q u e m e n t l o c a l i s a b l e à d r o i t e . Tout idéal I d'un a n n e a u c o m m u t a t i f u n i t a i r e A est c l a s s i q u e m e n t l o c a l i s a b l e à d r o i t e et l ' a n n e a u dit " l o c a l i s é à d r o i t e c l a s s i q u e de A s e l o n I"

est le s é p a r é de l'anneau de f r a c t i o n s g é n é r a l i s é de A selon la p a r t i e m u l t i p l i c a t i v e des é l é m e n t s n o n d i v i s e u r s de zéro m o d u l o I, pour la t o p o l o g i e -m-adique, -m é t a n t l'idéal e n g e n d r é p a r l ' i m a g e c a n o n i q u e de I.

Les e x e m p l e s d ' a p p l i c a t i o n s du s i x i è m e c h a p i t r e c o n c e r n e n t , q u a n t au p r e m i e r , d e s o r d r e s d ' A s a n o p a r t i c u l i e r s e t , q u a n t au s e c o n d , u n

a n n e a u de p o l y n ô m e s à d e u x i n d é t e r m i n é e s n o n c o m m u t a - tives sur un c o r p s c o m m u t a t i f . D a n s ce s e c o n d e x e m p l e ,

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l'anneau c o n s i d é r é n'est j a m a i s n o e t h é r i e n , de sorte que la l o c a l i s a t i o n de G o l d i e ne p e u t pas s'appliquer ; le l o c a l i s é à d r o i t e c l a s s i q u e o b t e - nu dans cet e x e m p l e ne p e u t , d ' a u t r e p a r t , j a m a i s être un l o c a l i s é de G a b r i e l , de sorte que les r é s u l t a t s o b t e n u s ne p e u v e n t p a s l'être par la m é t h o d e de G a b r i e l . La l o c a l i s a t i o n c o n s i d é r é e est c e p e n d a n t i m p o r t a n t e car elle c o n d u i t à des n o t i o n s de f r a c t i o n s r a t i o n n e l l e s et de s é r i e s f o r m e l l e s .

C H A P I T R E I - P R E L I M I N A I R E S .

1.1 R a p p e l s et n o t a t i o n s . S o i e n t A un a n n e a u u n i - t a i r e , M un A - m o d u l e à d r o i t e et N un s o u s - m o d u l e

A de M . P o u r un é l é m e n t x de M , on n o t e ( N ; x ) , ou s i m p l e m e n t ( N / x ) l'idéal à d r o i t e de A f o r m é des é l é m e n t s a de A tels que xoc a p p a r t i e n n e à N . On d i t q u ' u n e f a m i l l e 3? d ' i d é a u x à d r o i t e de A est topoloQ^iantz si :

1° P o u r tout i d é a l à d r o i t e J de A , on a 1*3* et I £ J = > JeS?

2° Ifc3* et J Ê 3 ? ==> i n J e ^ P 3° (VJc30 ( V c u A ) ( ( J/ a )Ae 3 ? ) .

On dit que la f a m i l l e e s t , de p l u s , >tdem- potavitt, si l'on a :

4° P o u r tout idéal à d r o i t e J de A , o n a : ( 3 U 3 0 ( V a e l ) ( ( J a )^Ae 3 0 = > JcSr .

P o u r un A - m o d u l e à d r o i t e M et un s o u s - m o d u l e N de M , l ' e n s e m b l e :

C £ ^M( N ) = { x e M | ( N / x)^Ac 3 * }

où 3?est une f a m i l l e t o p o l o g i s a n t é d ' i d é a u x à d r o i t e de A , e s t a p p e l é la ^-ctotliKZ de N d a n s M . On dit que N est ^-cZo* d a n s M si

C i l3 ? M( N ) = N

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On dit que N est

^-tiatlonnzl

c i l3 ?^{M ( N )} * ^M M

Le s o u s - m o d u l e ( 0 ) e s t a u s s i n o t é 3P M et a p p e l é le s o u s - m o d u l e

^-6lngut>izn

P o u r les d é f i n i t i o n s des n o t i o n s de m o d u l e

ty-lnjtdtli

p o u r r a se r e p o r t e r , p a r e x e m p l e , à ( ( i l ) , p . 3 7 ) . 1•2 Image d i r e c t e d'une f a m i l l e t o p o l o g i s a n t e et

i d e m p o t e n t e d ' i d é a u x à d r o i t e p a r u n m o r p h i s m e s u r j e c t i f d ' a n n e a u x .

1.2.1 PROPOSITION : Solznt A un anne.au unltalKz, J

un idzal bllatlKt de A , f : A •> A/J la moKph^mz canonlquz, 3* une iamlllz topo- logi^antz Idzmpotzntz d'idzaux à dKoltz dt A ,

la ^amlllz topotogliantz idzmpo- tzntz Imagz dlKzctz de 3* pan. f ( ( 9 ) , p. 64).

kloKh, pouK tout Idzal à dioltz K de A / J , on a :

1° (Va c A ) ( f "1 ((K.'f ( a ) )A / J) = ( f " 1 ( K ) / a ) A ) 2° < > f "1 ( K ) ^

3° Ke^y <==> O F c * » (K-f (F)) . 4° CilA/J( K ) = f { C ^A( f " ' ( K ) ) >

La p r e m i è r e r e l a t i o n e s t c l a i r e . L a d e u x i è m e

s'en d é d u i t i m m é d i a t e m e n t en tenant c o m p t e du f a i t que tout é l é m e n t de A/J peut s'écrire sous la f o r m e f ( a ) . L e s t r o i s i è m e et q u a t r i è m e r e l a t i o n s v i e n n e n t de la s e c o n d e et du fait que f est s u r j e c t i f .

1.2.2

PROPOSITION

le* kypotkè*e* et notation*

de

*olt

un k/Z-module à droite, muni d e la ttKuctuKe de k-module Induite.

paK f. On a :

1° Il y a coïncidence entn.e le* kl3-*ou*- module* de M et le* A -4ou4-module* d e

M.

2° VN *ou*-module d e M, Il y a équivalence.

entKe :

a) N e.*t e**entlel dan* M en tant que k-*ou*-module.

b) N e*t e**entlel dan* M en tant que A/J -*ou*-module•

3° ( V N « M ) ( C A^{& M}( N ) = C J l ^^M( N ) ) .

4°

Il y a équivalence entKe :

a)

$-e**entlel dan*

b ) N e-6^ 3 * * - e ^ e n - t - t e ^ dan-6 M

en tant que kl2-module.

L a p r e m i è r e a s s e r t i o n r é s u l t e du fait que t o u t é l é m e n t de A/J s'écrit sous la forme f ( a ) p o u r u n a e A . L a s e c o n d e r é s u l t e de la p r e m i è r e . La t r o i s i è m e

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a s s e r t i o n v i e n t du fait que p o u r u n x ^ M , on a l ' é g a - lité :

( N / x )^A = f "¹ ( ( N / x )^{A / J})

La q u a t r i è m e a s s e r t i o n r é s u l t e de la t r o i s i è m e et du fait que la C e s s e n t i a l i t é est é q u i v a l e n t e à l ' e s - s e n t i a l i t é , j o i n t e à la ^ - r a t i o n n a l i t é .

En p a r t i c u l i e r , p o u r N = 0 , la p r o p r i é t é 3°

s'écrit 3*M = 3?'M.

A v e c les n o t a t i o n s p r é c é d e n t e s , on va s ' i n t é r e s s e r m a i n t e n a n t au p r o b l è m e de l ' e x i s t e n c e d'un p r o l o n -

g e m e n t de f : A A/J en u n m o r p h i s m e d ' a n n e a u x f : A ^ ( A / J ) ^^f , r e n d a n t c o m m u t a t i f le d i a g r a m m e d ' a n n e a u x :

A ^{f v} A / T

S ><

V

A ^ . d é s i g n e le l o c a l i s é d e G a b r i e l de A p a r r a p p o r t à

3*

par r a p p o r t à 3»' .

1 . 2 . 3 PROPOSITION. Soit A un anne.au unitaire., O u n e

Camille, topologltantz Idempo tente, d'Idlaux

à droite, de. A tulle, que. > A « 0 - Soient J

un Idéal bllatlKc 'S-clos de A et 3?' la Camille Image de 3? рак le motipklsme canonique, f : A + A / J .

Роил, q u e f 4 e рл.о£сжде en un moA-pfi-c^me

d

anneaux

£a^>t>t que Vune des conditions équiva-

lentes suivantes soit réalisée :

7* L'Idéal à diolte Cl^ **( J ) de est

bllatéie.

A

C o m m e \yA » 0 et C £ _ ( J ) « J , A^ est e n v e l o p p e

i n j e c t i v e de A et ( A/ J ) ^ , est e n v e l o p p e ^ - i n j e c t i v e de A/J ( ( 9) p . 1 0 6 ) .

A/ J est ^'-essentiel dans ( A / J ) ,, donc ^ - e s s e n t i e l d a n s ( A / J ) ^f dfa p r è s 1.2.2 et 1 ' e n v e l o p p e ^ - i n j e c t i v e d e ( A / J ) ^f est a u s s i le l o c a l i s é de A / J p a r r a p p o r t à ^ . D a n s ( A / J ) ^ l ' e n s e m b l e X d e s é l é m e n t s a n n u l é s p a r J est un A/ J- m o d u l e c o n t e n a n t A / J donc A/ J e s t J - e s s e n -

tiel d a n s X et ^ - e s s e n t i e l dans X d ' a p r è s 1 . 2 . 2 . C o m m e X c o n t i e n t a u s s i ( A / J ) ^ , q u i est m a x i m a l p o u r

la V-essentialité, on a X = ( A / J ) ^f.

Le m o r p h i s m e f : A -* A / J se p r o l o n g e en u n m o r p h i s m e de A - m o d u l e s à d r o i t e f ^ : A ^ - * ( A / J ) ^ . C o m m e le s o u s - m o d u l e 3*-singulier de ( A / J) ^ e s t n u l , ce p r o l o n g e m e n t est u n i q u e .

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Si f se p r o l o n g e en f^f : A,. ( A / J ) _ , , comme ( A / J ) ^f est c o n t e n u d a n s ( A / J ) ^ , ff et c o ï n c i - d e n t , de sorte q u e k e r f ^ e s t un idéal b i l a t è r e p u i s q u e f e s t , par h y p o t h è s e , u n m o r p h i s m e d ' a n - n e a u x .

R é c i p r o q u e m e n t si k e r f e s t un idéal b i l a t è r e de A^_, l'image *^mf ^ de ^{e s t u n} A ^ - m o d u l e a n n u l é par k e r : c'est donc a u s s i un A - m o d u l e a n n u l é par J, donc on a

I m f ^ c ( A / J )v.

imf , i s o m o r p h e à A^c /kerf , p e u t ê t r e m u n i d'une s t r u c t u r e d ' a n n e a u . La m u l t i p l i c a t i o n dans l m f^r^

>

c o ï n c i d e avec la m u l t i p l i c a t i o n i n d u i t e p a r celle de ( A / J ) ^ , , de s o r t e q u e I ^ f ^ e s t s o u s - a n n e a u de

( A / J ) ^^t et ^ e s t u n m o r p h i s m e d ' a n n e a u x de A ^ dans ( A / J ) ^f p r o l o n g e a n t f •

D o n c , p o u r q u e f : A •> A / J se p r o l o n g e en un m o r p h i s m e d ' a n n e a u x f : A _ ( A / J ) _ f , il faut et

il suffit que k e r ^ soit un idéal b i l a t è r e de A ^ . O r , il est f a c i l e de v o i r q u e :

ker f ^ = C A ^ C J ) et que :

de sorte q u e la p r o p o s i t i o n est d é m o n t r é e .

1 . 2 . 4 C O R O L L A I R E . Soient A un anneau unitaire, M u n e partie multiplicative de A , 3* la ^amillz to polo gisante idempotente de* idlaux à droite J de A tel* que

( V a e A ) ( ( J / a )An M ^ 0 ) .

Suppo*on* que A po**ède un anneau de ^ a c - tion* à droite claudique pan Kappont à M • c

e*t le localise

Soit J un ideal bilateKe ^-clo*

que le mon- phi*me canonique f : A +A/J *e prolonge en un monpki*me d

anneaux f : A ^ + ( A / J ) ^ .

,

S*' désignant la Camille topologi*ante idempotente image de

£aut

et il *u££it que V une de* condition* équi- valente* Suivante* *oit veni^iee :

1° Van* toute faction à gauche à nume- KateuK dan* J peut ** échine comme

enaction à droite à numenateuK dan* j .

2° ( V x c A ) ( V c ^ M ) ( c x e J => x e J )

3° VceM, f ( c ) e*t non divi*euK de 0 dan*

A / J .

4° A/J po**ède un anneau de faction* à droite cla**ique *elon la partie mul- tiplicative f (M) .

\$ï e s t formé d e s i d é a u x à d r o i t e de A d o n t 11 i n - t e r s e c t i o n a v e c M n ' e s t p a s v i d e . Si J e s t S - c l o s

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dans A , il est c l a i r que les é l é m e n t s d e f ( M ) s o n t n o n d i v i s e u r s de 0 à d r o i t e d a n s A / J .

D'après 1.2.3, pour que f : A A/J se p r o - longe en un m o r p h i s m e d ' a n n e a u x f : A ^ - > ( A / J ) ^ , ,

A

il faut et il s u f f i t que C ^ ( J ) soit idéal b i l a t è r e A

de A ^ . C o m p t e t e n u de la r e l a t i o n C t ^^&( J ) n A = J, cette c o n d i t i o n p e u t s ' e x p r i m e r par la r e l a t i o n 1 ° . Il est aisé de v é r i f i e r que les r e l a t i o n s 2° et 3° sont c h a c u n e é q u i v a l e n t e à 1 ° .

D ' a u t r e p a r t , si A^. est a n n e a u de f r a c t i o n s à d r o i t e de A s e l o n M , A/J v é r i f i e la c o n d i t i o n de Ore à d r o i t e s e l o n f ( M ) et l'on a v u q u e les é l é - m e n t s de f ( M ) sont n o n d i v i s e u r s de 0 à d r o i t e . D o n c le fait que A/J p o s s è d e u n a n n e a u de f r a c t i o n s à d r o i t e c l a s s i q u e s e l o n f ( M ) est é q u i v a l e n t au fait que les é l é m e n t s de f ( M ) sont n o n d i v i s e u r s de 0 à g a u c h e dans A / J . D o n c 4° est é q u i v a l e n t à 3Q.

On p e u t r e m a r q u e r q u e si les c o n d i t i o n s é q u i v a - l e n t e s de 1.2.4 s o n t v é r i f i é e s , le p r o l o n g e m e n t f : A ^ •+ ( A / J ) ^ , de f est le m o r p h i s m e q u i , à u n e f r a c t i o n ac 1 d a n s A ^ , a e A , c e M , fait c o r r e s p o n d r e la f r a c t i o n ( a + J ) ( c + J ) d a n s ( A / J ) ^ , . C e p r o l o n g e - m e n t est d o n c , i c i , s u r j e c t i f .

C H A P I T R E 2 - P U I S S A N C E S S Y M B O L I Q U E S A D R O I T E E T I D E A L B I L A T E R E L O C A L I S A B L E A D R O I T E P A R R A P P O R T A U N E F A M I L L E T O P O L O G I S A N T E I D E M P O T E N T E D¹I D E A U X A D R O I T E .

2•1 P u i s s a n c e s s y m b o l i q u e s à d r o i t e par r a p p o r t à une f a m i l l e t o p o l o g i s a n t é i d e m p o t e n t e d ' i d é a u x à d r o i t e d'un a n n e a u A»

2.1.1 PEFIMITI0W. Soient A un anneau unitaireune Camille topologl*ante Idempotente d

Idéaux à droite de A , I un Idéal bllatèKe

^-clo* de A. On appelle pul**anee* *ymbo- ligue* à droite de I рак KappoKt à ^, le* Idéaux bllatéKeb H

, n ^ l , défini*

рак кесиккепсе рак

H, = c i ^^A( i ) = i

Hn⁺1 ⁼ S^'n" ^P ° ^{U r n > 1} '

2.1.2 II est c l a i r que les i d é a u x Hⁿ, n £ l , f o r m e n t une s u i t e d é c r o i s s a n t e d ' i d é a u x b i l a t è r e s 3»-clos d e A et q u e , pour tout n > l , Iⁿ est c o n t e n u d a n s Hⁿ. 2.1.3 P R O P O S I T I O N . SA, A zàt zommutOLtil, Н^д <L&t

égal

à с * з .^А( 1^п) .

E n e f f e t 1^П£ Hⁿ C ^^A( Iⁿ) £ C S , ^ ( Hⁿ) = Hⁿ . R é c i p r o q u e m e n t , on a Hj = I = C A ^ .^A( I ) . S u p p o s o n s

И

п

Ч

'

Localisation à la manière d e G o l d i e et applications

K = (H I x ) ^A II

donc x K c H ^ I , donc

(VkeK) (3a, , . •^Ma^m € Hⁿ) ( 3 b , , . . , W I ) (xk = t a . b . ) Par h y p o t h è s e de r é c u r r e n c e , (Iⁿ.*a^) d o n c

H = H ( Iⁿ- a . )^A€^r^ .

i=l 1

Pour tout i = 1 , ..., m , on a a . H ç Iⁿ, donc xkH = (Za.b.)H Q S b . (a.H) c l^n+î et x k e C J UA( In + 1 ) , dfo ù x K c ciA ( In !) .

On a d o n c , p u i s q u e K a p p a r t i e n t à ^rJ>, x c C J ^A(C^A( In+1) ) = C ^ A( I n+ 1) .

2.2 Idéal b i l a t ë r e l o c a l i s a b l e à d r o i t e par r a p p o r t à une f a m i l l e t o p o l o g i s a n t e i d e m p o t e n t e d^Ti d é a u x à d r o i t e d¹ u n a n n e a u u n i t a i r e A »

Soient A un a n n e a u uni t a i r e , S* u n e f a m i l l e t o p o - l o g i s a n t e i d e m p o t e n t e d ' i d é a u x à d r o i t e de A , I un idéal b i l a t ë r e 3r-clos de A , H , n ^ l , les p u i s s a n c e s

n

s y m b o l i q u e s à d r o i t e de I p a r r a p p o r t à ^ > ^ ⁿ ^^a f a m i l l e t o p o l o g i s a n t e i d e m p o t e n t e image de 3* d a n s A / Hq, au sens de 1 . 2 . 1 .

On n o t e r a U ^q le m o r p h i s m e c a n o n i q u e A A / H ^ et f le m o r p h i s m e c a n o n i q u e A / H ^⁺, A / H ^ . C o m m e H est 3- c l o s , l^fi d é a l $ - s i n g u l i e r de A / H est n u l .

n n ° n De p l u s , la c o m m u t â t i v i t é d u d i a g r a m m e

A

А / Нп Л , A / Hn

n

e n t r a î n e q u e ф est l'image de ^n + j p a r et l ' o n a , de plus :

A / H » CJL ^{n + l} ( H / Н ^s H / H - = u^4l( c t ( H ) )

<"> . , 4 n n+1 n n+1 n+1 4 ^ 4 n J

^ n + 1

d ' a p r è s 1.2.2 et 1.2.1.

2.2.1 DEFINITION. Soient A un anntau unitaire., 'З* u n e

^amillz topoloqibantt idzmpotantz d*-idéaux à dioitz d e A , I un idéal bilatzKd d e

A . On dit qua I Z6t localisable, à dKo^itz рак KappoKt à la Camille. 3* Ai :

1° I zt>t ^-cloé dans k.

1° VouK tout n^l , £ e moiphiAmz canonique

f : A / H , -> A / H ^e p t o ^ o n g e en a n

n n +1 n

moKphi&mz d

f' : ( A / HAl ^ + ( A / H )

D a n s ce c a s les a n n e a u x ( A / H ^ f o r m e n t u n s y s t è m e

*n

p r o j e c t i f dont o n n o t e AI ^ la l i m i t e p r o j e c t i v e .

Localisation à la manière d e Gold ie et applications

L ' a p p l i c a t i o n c a n o n i q u e de A d a n s A ^ ^ e s t a l o r s un m o r p h i s m e d ' a n n e a u x dont le n o y a u est (^\ H . L ' u n i -

cité du p r o l o n g e m e n t de f s u p p r i m e toute a m b i g u i t é de la d é f i n i t i o n .

D'après 1 . 2 . 3 p o u r q u ' u n idéal b i l a t è r e ">-clos I soit l o c a l i s a b l e à d r o i t e p a r r a p p o r t à 3» il faut et il suffit q u e , pour tout n ^ l , les i d é a u x à d r o i t e

n +1 n+1

s o i e n t , en f a i t , d e s i d é a u x b i l a t è r e s d a n s ( A / H . ) ^

n 1 ^ n + l 2 . 2 . 2 E x e m p l e s .

1 ° ^ A est égal à c h a c u n e de ses p u i s s a n c e s s y m b o l i - ques à d r o i t e p a r r a p p o r t à 3», donc ^ A est l o c a - l i s a b l e à d r o i t e p a r r a p p o r t à ^ et l'on a

S A / > ^{= A}< >

2 ° Si I e s t un i d é a l b i l a t è r e i d e m p o t e n t , d ' a p r è s 2 . 1 . 2 , I est égal à c h a c u n e de ses p u i s s a n c e s s y m b o l i q u e s à d r o i t e p a r r a p p o r t à une f a m i l l e t o p o l o g i s a n t e i d e m p o t e n t e 3* telle que I soit 3 ^ - c l o s , donc I e s t l o c a l i s a b l e à d r o i t e par r a p p o r t à !> et l'on a :

3° Si A est c o m m u t a t i f , tout i d é a l e - c l o s I e s t l o c a l i s a b l e à d r o i t e par r a p p o r t à 3* car l e s

l o c a l i s é s ( A / H ^ ) ^ sont c o m m u t a t i f s et les i d é a u x n

k e r ( ( f ) ) sont b i l a t è r e s .

П ti+1

2.2.3 PROPOSITION. Soient A un anneau unltalKe, ^

une

topologl*ante Idempotente d

Idéaux à dKolte de A, I un Idéal blla- teKe localisable à dKolte рак KappoKt à 3%

H , n)l , le* puissance* symbolique* à

dnolte de I рак KappoKt à

Мок* il e*t locall*able à dKolte dan*

1 ⁿ

А / Г ^ Н^п

рак KappoKt à

topo lo g l*

te Idempotente 3 / Image de dan* A / f ^ H

et V on a ;

1 n i/r^Hn,<>' 9

La d é m o n s t r a t i o n e s t é l é m e n t a i r e , u n e fois q u e 1 ¹ o n a r e m a r q u é que

C£ ^A( H 1+ Г% ) = H

S* n 1 n n+1

Ce r é s u l t a t m o n t r e que l'on p e u t t o u j o u r s s u p ­ p o s e r , en p a s s a n t é v e n t u e l l e m e n t a u x q u o t i e n t s p a r

H • q u e l ' i n t e r s e c t i o n d e s H e s t r é d u i t e à 0 .

1 n* n

Localisation à la manière d e G o l d i e et applications

C H A P I T R E 3 - IDEAL B I L A T Ë R E L O C A L I S A B L E A D R O I T E .

3.1 LEMME. Soient A un anneau unitaire, M un A- module à droite unitaire, E ( M ) une enveloppe Injectlve de M . On sait déjà ((70), lemme

1.3.2, p. 75) que la Camille

^

des Idéaux à diolte J de A véKl^lant

H o m^A( A / J , E ( M ) ) = 0

est la plus glande des familles topologl- santes Idempotentes telles que = 0.

On a :

J e 3 ?^M« = > ( V a € A ) ( V x e M ) ( ( J / a )^Ac ( 0 / x )^A= > x = 0 ) (1) Soit 3 *l a f a m i l l e d e s i d é a u x à d r o i t e de A

v é r i f i a n t la r e l a t i o n ( 1 ) .

1 ° 3 ^ est contenu dans 3* :

E n e f f e t , s o i e n t Jt'X,, a e A , x e M , tels que

A A A

( J / a )^A ç ( 0 / x )^A. C o m m e Jt\, o n a ( J / a ) donc ( 0 / x ) ^ ^ , donc x e ^ M = 0 et x = 0 , donc J e ^ .

2° 3* est topologisante Idempotente :

a ) Soient Je 3*, J e J » , a c A , x e M , tels q u e

( J V a ) ^A c ( 0 / x )^A. O n a J c J ' ( J/a) ^A c ( J V a) ^Aç_ ( 0 x ) ^A . J e ^ ^ x = 0 . D o n c J'c'S».

b ) S o i e n t JeS*, b e A , a c A , x e M tels que

( ( J . - b )^A/ a ) ^A c ( 0 . - x )^A

on a ( ( J / b )^A/ a )^A = ( J / b a )^A donc ( J / b a )^A c ( 0 / x )^A c o m m e J a p p a r t i e n t à 3*, cette r e l a t i o n e n t r a î n e que x = 0 , d o n c ( J / b )^Ac " > .

c) S o i e n t J e ^ et J'^A tel que ( V b c J ) ( ( J^f. ' b )^A6 ^ )

A A S o i e n t a c A , x e M tels que ( J¹/ a ) Q (0/x) .

P o u r tout b € ( J ; a )^A on a ( J^f: a b )^A c ( 0 . - x b )^A e t abcJ d o n c ( J / a b ) € ^>. C e c i e n t r a î n e xb = 0 e t b e ( 0 ; x )^A. On a donc ( J : a )^Ac ( 0 ; x )^A. A l o r s Jc'S* x = 0 de sorte que J'c ^ .

3° *>M = 0.

En e f f e t x e ^ M =>(0.- x )^A£ ^ . A l o r s la r e l a t i o n (1) a p p l i q u é e avec J = ( 0 / x ) et a = 1 e n t r a î n e que x e s t n u l d o n c *>M = 0.

D e 2° et 3 ° , il r é s u l t e que ^ est u n e f a m i l l e t o p o l o g i s a n t e i d e m p o t e n t e telle que 3*M = 0 ; l a p r o p r i é t é de r a p p e l é e d a n s l ' é n o n c é d u l e m m e m o n t r e alors que 3* est c o n t e n u dans 3 * . D ' a p r è s

1 ⁰ on a donc 3* = ^ v r . w

3.2 COROLLAIRE. Soient A un anneau unitaixe, I un

idéal bilatèie de A.

Localisation à la manière d e Gold ie et applications

1° La ¿amule définie pan le A-module

à dnoite A / I au sens de 3.1 est ¿onmee des idtaux à dnoite J d e A vinifiant :

( V a e A ) ( V x e A ) ( ( J ; a )^Ac ( I ; x )^A= » X € l )

2° La Camille Image, dinecte de le

monpkisme canonique f : A •+ A / l e ¿ í

£ ' e n¿ e m 6£ e de¿ idéaux a dnoite nation- nets de A / i .

Simple v é r i f i c a t i o n , c o m p t e t e n u de 3 . 1 .

On peut r e m a r q u e r a u s s i q u e 3^ ^ j est la plus g r a n d e des f a m i l l e s t o p o l o g i s a n t e s ^ d ' i d é a u x à d r o i t e de A telles q u e I soit 3*-clos dans A . 3.3 C a s p a r t i c u l i e r . S o i e n t A u n a n n e a u u n i t a i r e n o e t h ë r i e n à d r o i t e e t à g a u c h e , P un idéal b i l a -

tère p r e m i e r de A , C la p a r t i e m u l t i p l i c a t i v e { c e A | (VxeA) ( x c € P = * x e P ) } , 3 K O la f a m i l l e t o p o l o g i - sante i d e m p o t e n t e d e s i d é a u x à d r o i t e J de A v é r i - fiant

( V a c A ) ((J.-a)^An C ^ 0 ) a l o r s &^A/ p = 3 K O .

L e s h y p o t h è s e s f a i t e s sont c e l l e s de G o l d i e ( 6 ) . G o l d i e m o n t r e q u e P e s t 3*(C)-clos donc t£(C) ^ ^^A/ p - R é c i p r o q u e m e n t , p o u r J c S ^ ^ e t acA on a (^J/a)^Ae^ / p * D ' a p r è s 3.2 et 1 . 2 . 1 , si f : A + A / P e s t le m o r p h i s m e

c a n o n i q u e , f ( ( J / a )^A) est r a t i o n n e l , donc e s s e n t i e l dans A / P . C o m m e A/P est un a n n e a u p r e m i e r n o e t h ë r i e n à droite et à g a u c h e , tout idéal e s s e n t i e l c o n t i e n t un é l é m e n t n o n d i v i s e u r de 0 , donc a p p a r t e n a n t à f ( C ) . D o n c

( 3 c e C ) ( 3 x * P ) ( c + x e ( J / a )^A)

Or c + xeC d o n c ( J / a )^An C ï $ et J* 3 K O . D o n c ^ / p ^ ^ ( ^c) ^{e t o n a} l ' é g a l i t é .

Le r é s u l t a t r e s t e v r a i si l'on r e m p l a c e l ' i d é a l p r e m i e r P par u n idéal Q tel que A / Q soit s e m i - p r e - m i e r , p u i s q u e tout idéal à d r o i t e e s s e n t i e l d ' u n a n n e a u s e m i - p r e m i e r n o e t h ë r i e n à d r o i t e c o n t i e n t un é l é m e n t n o n d i v i s e u r de 0 .

3.4 PEFIWITI0N. Soient A un anneau unitaire, I un idéal bllateKe de A . On dit que I est localisable à droite s

Il est localisable à droite pa/i Kappont à la Camille ^

/

•

3.5 PROPOSITION. Soient A un anneau unltalie, I un Idéal bllatéie localisable à droite,

H

, n ^ l , les puissances symbo- liques à droite de I paK KappoKt a 3*, la Camille Image de Od a n s A / H

. klons ,

poux tout n ^ l , on a

\ " ^ ( A / H )/(i/H ) •

é<imUl(> d'idéau*

n n

Localisation à la manière d e G oidi e et applications

à dKolte da A / Hⁿ

dlilvila pax le k/YL^-modale à droite A / l .

Soit uⁿ 1 ' é p i m o r p h i s m e c a n o n i q u e A ^A/^Hn« HⁿC l i ( V b c A ) ( u f ( I : b )^A) « (u ( I ) ; u C b ) )^{A / H n}) .

n n^v ' n n

P o u r un idéal à d r o i t e K de A / H o n a, de p l u s :

n A / H ( V a € A ) ( uⁿ( ( u ^ ( K ) . - a )^A) « ( K : uⁿ( a ) ) ⁿ)

Or u "¹ ( K ) e 2 M V a e A ) ( V b e A ) ( ( u "¹ (K).* a ) ^A c ( l ; b )^A= * b « I ) d ' a p r è s 3.2 1 ° .

D o n c comme Ke*> $ = > u^{- 1} (K)<^$* ( 1.2.1. 2 ° ) , on a n n

Ke3* < = » ( V a e A ) ( V b c A ) (u ( ( u ~¹ (K) a )^A) ç u ((I.-b)^A)

n n ^v n ^y n * '

= » u (b)tu (I)) car H c ( u^{_ 1} ( K ) . - a )^A et H ç ( I : b )^A. n n n n n D o n c est l ' e n s e m b l e d e s i d é a u x à d r o i t e K de A / H

n n v é r i f i a n t , pour tous é l é m e n t s a et b de A , la r e l a -

tion :

A / H A / H

( K ; uⁿ( a ) ) ⁿc ( < I / Hⁿ) . - uⁿ( b ) ) ^{u n ( b )} * ^u n ^{( I )} D^fa p r è s 3 . 2 , on v o i t donc que 3 *ⁿ e s t la f a m i l l e

\ ( A ) / u ( i r

n n

L ' i n t é r ê t de la n o t i o n i n t r o d u i t e d a n s ce c h a - p i t r e r é s i d e d a n s le fait que le l o c a l i s é ( A / I ) . ^ e s t l ' a n n e a u m a x i m a l de f r a c t i o n s au sens de U t u m i de A / I ( ( 4 ) , p . 6 6 l i g n e 8 ) a l o r s q u e , d a n s le c h a p i t r e

p r é c é d e n t , les (A/H ) étaient bien des a n n e a u x d e f r a c t i o n s au sens de U t u m i , m a i s il p o u v a i t n ' y e n avoir a u c u n de m a x i m a l .

3 . 6 E x e m p l e s .

1° D a n s un a n n e a u c o m m u t a t i f , tout idéal e s t l o c a - l i s a b l e à d r o i t e . Cela r é s u l t e de 2 . 2 . 2 , 3 ° .

2° D a n s un a n n e a u u n i t a i r e s e m i - s i m p l e , tout i d é a l b i l a t è r e est l o c a l i s a b l e à d r o i t e car il e s t i d e m p o t e n t .

3° Pour toute f a m i l l e t o p o l o g i s a n t e i d e m p o t e n t e *2>

d ' i d é a u x à d r o i t e d'un a n n e a u u n i t a i r e A , o * A est l o c a l i s a b l e à d r o i t e .

Localisation à l a manière d e Goldie et applications

C H A P I T R E 4 - IDEAL B I L A T E R E C L A S S I Q U E M E N T L O C A L I S A B L E A D R O I T E .

Dans ce c h a p i t r e A d é s i g n e u n a n n e a u u n i t a i r e , I un idéal b i l a t è r e de A , C la p a r t i e m u l t i p l i c a t i v e {c€ A | (VxcA) (xccl ==> x c l ) } , ^ ( C ) la f a m i l l e t o p o l o g i - sante i d e m p o t e n t e des i d é a u x à d r o i t e J de A v é r i - f i a n t (VacA) ( ( J / a )An C + 0 ) .

L'idéal I e s t 3 K C) - c l o s d a n s A . E n e f f e t : ( V x e A ) ( ( I / x )A 3 K C ) = > ( 3 c c C ) ( x c c l ) )

et x c c l et c e C = > x e l . D o n c ( I / x )^Ae < > ( C ) = > x e l .

On note H ^r , n ^ l , les p u i s s a n c e s s y m b o l i q u e s à d r o i t e de I par r a p p o r t à 3 K C ) ; u : A + A / H le

n n m o r p h i s m e c a n o n i q u e : f : A / H , A / H le m o r p h i s m e

n n+1 n c a n o n i q u e ; C = u (C) ; ffc(C ) la f a m i l l e t o p o l o g i -

n n n

s a n t é i d e m p o t e n t e d e s i d é a u x à d r o i t e K de A / H^r v é r i - f i a n t :

(VaeA/H ) ( ( K ; a )^{A / H n}O C * 0) .

n n

A l o r s 3KC ) est a u s s i l'image d i r e c t e de *>(C) p a r le n

m o r p h i s m e u . n

4.1 DEFINITION. On dit que i est classiquement loca-

lisable à diolte si, poui tout n^i ,

/

admet un anneau de inactions à diolte clas-

sique selon c

.

C e l a v e u t d i r e que les é l é m e n t s de С s o n t n o n n

d i v i s e u r s de zéro dans A / H et que A / H v é r i f i e l a n n c o n d i t i o n de O r e à d r o i t e selon С .

n

4.2 PROPOSITION. SI I est classiquement localisable à dKolte, Il est localisable à duo lté ран.

KappoKt à la Camille 3*(C). On note A ^ l'anneau

En e f f e t , les l o c a l i s é s (A/H ) sont les a n n e a u x

' *

«>

de f r a c t i o n s à d r o i t e des A / H p a r r a p p o r t a u x С . C o m m e С est 1¹ image de С . p a r f , le c o r o l l a i r e n n

n n+1 n

1.2.4 m o n t r e que I e s t l o c a l i s a b l e à d r o i t e p a r r a p p o r t à ^ ( C ) .

4.3 E x e m p l e . D a n s u n a n n e a u c o m m u t a t i f u n i t a i r e , t o u t idéal e s t c l a s s i q u e m e n t l o c a l i s a b l e à d r o i t e .

En e f f e t , la c o n d i t i o n de O r e à d r o i t e s e l o n С est t r i v i a l e m e n t v é r i f i é e dans A / H et p o u r

n n a et b dans A , bc С, on a

abcH b e ( H ; a ) ^A n n

donc (H / а )^АП С M et (H . - a )^{A r}> ( C ) , donc n n

A

а * С 2 ^^{/ л Ч} (H ) * H , ce q u i m o n t r e q u e les é l é m e n t s 3 K w n n

de С sont n o n d i v i s e u r s de 0.

n

Localisation à la manière de Goldie et applications

4 . 4 R e m a r q u e . Comme pour 2 . 2 , 3 , on p e u t v o i r que si I est c l a s s i q u e m e n t l o c a l i s a b l e à d r o i t e dans A , I/ O H est c l a s s i q u e m e n t l o c a l i s a b l e à d r o i t e dans

1 ⁿ

A/(%

1 ⁿ

Ceci p e r m e t de s u p p o s e r , en p a s s a n t é v e n t u e l - l e m e n t aux q u o t i e n t s p a r H ^ , q u e l ' i n t e r s e c t i o n des p u i s s a n c e s s y m b o l i q u e s de I e s t r é d u i t e à 0 .

4 . 5 PROPOSITION. Si I est classiquement localisa- ble à droite dans A et si H

» 0 , on a : 1° A est sous-anneau de A j .

1° Les éléments de c sont inversibles dans A j .

1° Le n o y a u du m o r p h i s m e c a n o n i q u e A + A ^ e s t Q H ^N = 0 ( 2 . 2 . 1 ) .

2 ° P o u r ceC soit q » (c+H ) " ^! l ' i n v e r s e de c + H

nn n "

dans (A/H ) . A l o r s q = (q ) ^€ A ^T et

n 3KC ) ⁿ n>l ¹ n

qc = cq = 1 .

4 . 6 PEFIWITI0N. SI I iht ctcu6ique.me.nt localisable.

à dioite. dans A zt ¿1 f : A -t-k^st le. moK-

phl&mz canonique,, on appzlle. locallsl à

dKolte classique, de A en I le sous-anneau A ^ d e A

engendtâ pan f(A) et V ensemble des InveKses des éléments de f(c) dans A

.

4.7 PROPOSITION. Soit I un x,déa£ c^a^^quemett* loca-

lisable à dnolte de A £e£ que ^

>

et soit

du moKpklsme canonique

AI * <A / I )3 K C ! ) •

1° Les éléments de M '

ont leuKs n pnemlènes composantes nulles.

2

M

est contenu dans le Kadlcal de Jacobson

gl(AI) de A j .

3° AI/ Mf e-o-t IsomoKphe à ( A / I ) ^c ^ .

4⁰ H • M,n H A. 1

n

5° M 'n = 0.

1° Soit le n o y a u de 11é p i m o r p h i s m e c a n o n i q u e (A/H ) + ( A / I )

n » ( cn) ^ ( C , ) L e s é l é m e n t s de M s ' é c r i v e n t (A+H ) ( c + H ) *

n n n avec ael et c c C . C o m m e I nQ H , on a M = 0 et

n n Mn P • 0 p o u r p > n .

M* est l ' e n s e m b l e {q « (q ) . c A - l q , « 0 }

^ n n^.1 I1 1

O r q , = 0 < = > q € M . D o n c ( V p ^ l ) ( Mf P c T ~f M P)

1 n n , n

n ^ 1

C o m m e MnP = 0 p o u r p ^ n , les é l é m e n t s de M 'p o n t

Localisation à la manière d e Goldie et applications

leurs p p r e m i è r e s c o m p o s a n t e s n u l l e s . 2° Soit m = (m ) ^{s 1}e M^! .

n n ^ 1

C o n s i d é r o n s q * (q ) . d é f i n i par

n nn n^l

q, ^s 1 ; q = l + m + . . . + m ^{n I} pour n ^ 2 .

nl ⁿn n n

Si f¹ est le m o r p h i s m e c a n o n i q u e (A/H + (A/H ) on a

° »«..!> ' » « . ) ,

' ' . ( ' , . , ' - 1 • «^B • • * »„"

m c M et M ⁿ « 0 m ⁿ « 0 et f¹ (q ^A. ) - q„

n n n n n ^n+1 n donc q t A ^ . O n v é r i f i e a i s é m e n t que

(l-m)q » q ( l - m ) » 1 , donc 1 - m e s t i n v e r s i b l e dans A j , donc M1 est c o n t e n u d a n s ($WAj).

3° r é s u l t e du fait que A •+ ( A ^{T T} ) est s u r j e c t i f .

1 I5 » ( c^I)

4° a - (a+H ) e M , n O A = > a + H = 0 donc a c H .

n n "

n^l

On a donc M ^fnn A c H . n

R é c i p r o q u e m e n t on a M¹n A * I. Si Hⁿ est c o n t e n u d a n s M ^{t n}O A , soit a^€H ^Al ; ( H I :a) ) . donc

n+1 n

3 c e C , a c € H^QI ; c est i n v e r s i b l e d a n s A j d o n c a«.H 1 A^T^ M '^QM ' A^T - M 'ⁿ⁺¹. D o n c a f t M '^{n + ,}n A et

n i 1

HA l Ç M '^N+1

D

5° r é s u l t e de 1 ° .

4.8 THEOREME. Soie.nt I un idéal bilatlie cla^à^que- men-t localisable, à dtioite de. A tel que

f } H

= 0, е П VЫгаЛ bi.la.ttKz dz A

znaznduz pa.fi I. kloxb :

7° H = М ^ПП А П

2° V n £ l , V x € A^{( I )}, ЗаеА, З с е С , 3 mⁿ€ М^П

- 1 ,

x s ас + m n

3°

^omoxphz à

Mⁿ£ M ^,n et М^П Л А c M^fn⁰A = Hⁿ- R é c i p r o q u e m e n t , si Hⁿc Mⁿ, soit x c Hⁿ⁺¹ : ( 3 c € C ) ( x c é Hⁿl ç MⁿM « M^{n + 1}) , C o m m e с est i n v e r s i b l e dans A . _ v , on en d é d u i t

v,n+l , ^wn + 1

xeM donc H ^ , S. M n+1

2° A / H v é r i f i e 1« c o n d i t i o n de O r e à d r o i t e s e l o n

n ^{_ j}

С et H ç M , donc tout é l é m e n t с a , c c C , a e A , n n - ]

de p e u t s'écrire sous la forme a⁰c⁰ m o d u l o Mⁿ, avec a^ee A e t c⁰c C .

P a r r é c u r r e n c e sur p tout é l é m e n t a . c , ^ . . a с '

- 1 n ^{1 1 P p}

de p e u t s'écrire b c m o d u l o M a v e c b c A , с c C . D o n c tout é l é m e n t de A , ^T v p e u t se m e t t r e s o u s f o r m e d'une somme finie ЕЪ.с. , b . e A , c . e C , et d ' u n

i î î ' î ' i é l é m e n t de M . n

C o n s i d é r o n s une somme b j C j ' + b c b et dans A , с et c^} dans С

( 3 e j € C ) ( 3 e²^ A ) ( с je j "^ce2^eHn^ •

Localisation à la manière d e G o l d i e et applications

Soit x € A tel que x e ^ I . On a x e² + H ^ Ê I / H ^ .

e2 ^{+ H} n " <^{C +H} n⁾'^{, (c} l^el^{+ H}n^{) n} x e^{2 +} Hⁿ - (^X+Hⁿ) ( c⁺Hⁿ) "¹( c¹e¹⁺Hⁿ)

( A / Hⁿ)

c,e, + H e C = > ( x + H )(c + H )'WcH ^^{(Cn )}( l / H )

1 1 n n n n ^ -^{( c )} n

donc x + H^Q€ \0^^{c ) 1 n}' ( I / Hⁿ) H ( A / H^N) -

C ^ C )_n ( I /

V

donc xfel et e ^ C D o n c e² est i n v e r s i b l e d a n s et l¹o n a :

e , "¹^ "¹ ( c¹e¹- c e²) e²"¹c "¹€ Mⁿ c a r Hⁿ ç Mⁿ , donc e ^ c j " ¹ - e ^ c " ¹* Mⁿ.

Or :

b j C j - ' + b c "¹ « b¹c¹"¹+ b¹e¹e²"¹c "¹ + ^{b 1 e 1 e 2} " ^{l c 1 +}

± u - 1 - 1 + b e²e² c

- b j e j ( e^]"¹c^]"¹- e²"¹c * "¹) + ( b¹e¹+ b e²) e^{2 1}c "¹ O n a d o n c m i s b j C j "1 + b c "¹ sous f o r m e d'une

somme d'un é l é m e n t de Mⁿ et d'un é l é m e n t de la forme b ' c ' "¹. P a r r é c u r r e n c e , on v o i t donc que tout é l é m e n t de A . - x p e u t se m e t t r e , p o u r tout

— 1 n n>l , sous la f o r m e ac , m o d u l o M •

3° Pour a « A et c e C , a c "¹ + Mⁿ n e dépend que de (a+H ) ( c + H ) ~ ^! . E n e f f e t

N N - 1 - 1

( b + H ) ( d + H ) = (a+H ) ( c + H ) 1

n n n n

rz^Clej , e²c C ) (ce j - d e²e Hⁿ) et 1¹ on a alors :

« • i + V ' ^ V

^{< « 2}

V "

<

V "

(ae - b e , + H ) ( e . + H ) "¹( c + H ) ^{_ I} - 0

1 z n i n n

a e , - be.feH £ Mn

i z n

donc : ( c e j ) "¹ ( c e j - d e²) ( d e²)^{_ 1}£ Mⁿ ( a e j - b e²) ( d e²) - U Mⁿ

( a e¹) ( ( d e²) "¹- ( c e¹) '¹) e Mⁿ

( a e , - b e²) ( d e² ) '¹ - ( a e , ) ((de²) " ¹ - (ce ^t ) ' ¹ ) * Mⁿ (ae,) ( c e]) "1- ( b e2) ( d e2) "1e Mn

a c "¹ - b d " t Mⁿ

a c "¹ + Mⁿ » b d "¹ + Mⁿ

A l o r s on a u n e a p p l i c a t i o n ( A + H^{f t}) ( c + Hⁿ) i a c^_1+ Mⁿ de (A/H ) d a n s A .^T» / Mⁿ. C e t t e a p p l i c a t i o n e s t

n S>(C ) ^{u ;}

n

un m o r p h i s m e d^fa n n e a u x u n i t a i r e s , q u i est s u r j e c - tif d'après 2° e t i n j e c t i f car Mⁿf l A =* Hⁿ. C ' e s t donc un i s o m o r p h i s m e .

4.9 COROLLAIRE. Avec lu* hypothèse* et le* notation*

de 4.% on a :

Localisation à la manière d e Goldie et applications

1° Л м

=

2° eòi le complété de A ^ роил la topo- logie K-adlque.

3° Vn>,l, Mⁿ » M ' ⁿO A ^{( I )} .

4° Le moKpklòme canonique A +

( i )

éplmoKphlòme d

anneaux•

1° On a v u , en m o n t r a n t 4.8 1° que Mⁿ C M ^{t n}. Donc ф M ^N с M^{1 N} « 0.

2° La t o p o l o g i e M - a d i q u e e s t s é p a r é e d o n c le c o m p l é ­ té est la l i m i t e p r o j e c t i v e d e s^А ( х ) ^^мП * ⁿ^ ^{l e}

D^fa p r è s 4 . 8 . 3° et la d é f i n i t i o n de A j , ce c o m p l é - té est l ' a n n e a u A ^ .

3° On a déjà М^п с м ' ^пП А , R é c i p r o q u e m e n t tout

* i 1 n х е М^1пП A^/Tv s'écrit ac + m a c A , c c C , m c M .

a « (x-m ) c € . M 'ⁿO A * H ⁹ MⁿO A . D o n c ac € M et x « Mⁿ.

4° Si U j et u² sont d e s m o r p h i s m e s de s o u r c e A ^ j ^ c o ï n c i d a n t sur A , on a pour x ^e ^^aj^ci * * *^âp^Cp ^€ U j ( x ) » U j C E a . C j ' . . . a^pc ^l)

« Euj ( a j ) u , ( с . ) " "¹ ... U j ( a^p) u , ( c^p) ¹

» Z u²( a^J) u²( c^l) "¹ ... u²( a^p) u²( c^p) ¹

s u2( x )

donc U j 8 U j e t A •+ ^ ^ j je s t u n é p i m o r p h i s m e . On v e r r a d a n s le c h a p i t r e 6, un e x e m p l e d a n s l e q u e l A n ' e s t p a s e s s e n t i e l dans A ^ . ^ , de s o r t e que 11 é p i m o r p h i s m e A -> A ^ ^ p e u t ne p a s ê t r e p l a t . N é a n m o i n s , c o m m e tout é l é m e n t de 3»(C) c o n t i e n t u n é l é m e n t de C , la f a m i l l e t o p o l o g i s a n t e i d e m p o t e n t e

image d i r e c t e de 3?(C) dans est r é d u i t e à .

4 - 1 0 PROPOSITION. Soit lun Idéal bilatère de A tel

qu£,Vc€.C, V n >1 , V a e A , caeH = > a c H »

n n

Supposons

Alors si

possède un anneau de inactions à droite selon c, I est classiquement localisable à droite et k^est l'anneau de fractions à droite, de A selon c .

En e f f e t p a r h y p o t h è s e , les é l é m e n t s de C s o n t n

n o n d i v i s e u r s de zéro à g a u c h e . Il est c l a i r q u e A / H v é r i f i e la c o n d i t i o n de Ore à d r o i t e s e l o n C •

n n Il e n r é s u l t e que les é l é m e n t s de sont a u s s i n o n

d i v i s e u r s de 0 à d r o i t e , donc I e s t c l a s s i q u e m e n t l o c a l i s a b l e à d r o i t e * A est donc s o u s - a n n e a u de A ^ ^ .

Localisation à l a manière de G o l d i e et applications

Comme A v é r i f i e la c o n d i t i o n de O r e à d r o i t e s e l o n C , on voit que tout é l é m e n t de A ( j ) s'écrit sous la forme ac ¹ donc e s t a n n e a u de f r a c t i o n s à

droite de A selon C.

4.11 PROPOSITION. SI l'Idéal bllatéie classiquement localisable à droite I est complètement piemleK [l.e. A / i sans dlvlseux de o ) , aloKS :

1° A

est un anneau local d'Idéal maxi- mum

et

est maximal en tant qu'Idéal à droite et en tant qu'Idéal à gauche.

2° L'Idéal M engendré рак l dans A ^ est maximal en tant qu'Idéal à dKolte et en tant qu'Idéal à gauche.

En e f f e t , c o m m e I e s t c o m p l è t e m e n t p r e m i e r , С est le c o m p l é m e n t a i r e de I et A / I a un c o r p s de f r a c ­ tions à d r o i t e (^A/ D ^^(c ) •

C o m m e A j / M¹ et A ^ ^ / M sont i s o m o r p h e s à

( A / I ) ^^c y M et M¹ sont m a x i m a u x en tant q u ' i d é a u x à d r o i t e et en t a n t q u ' i d é a u x à g a u c h e . Il en r é s u l t e que l'on a M' » О Ц А ^ ) et A j e s t l o c a l .

C H A P I T R E 5 - A P P L I C A T I O N S AU CAS C O M M U T A T I F •

5.1 L o c a l i s a t i o n dans un a n n e a u c o m m u t a t i f u n i t a i r e q u e l c o n q u e .

On a v u q u e , dans un a n n e a u c o m m u t a t i f u n i t a i r e A , pour toute f a m i l l e t o p o l o g i s a n t e i d e m p o t e n t e

d ' i d é a u x de A , tout idéal I 3*-clos est l o c a l i s a b l e à d r o i t e par r a p p o r t à ^ ( 2 . 2 . 2 . 3 ° ) et les p u i s s a n c e s s y m b o l i q u e s à d r o i t e H de I par r a p p o r t à s o n t d o n n é e s p a r :

Hn ~ ^{G J !}n *^A<^{i n}> (2.1.3)

5.1.1 PROPOSITION. SI I esf$-clos, l'anneau

AI (j . s lim ( ( A / C A ^A( In) ) ) e*t Isomorphe

9

n>\

a V anneau ^ i m ( ( A / in) ^ , ) o û 3 ^ est la

Camille Image directe de ^ dans A / I

.

C e c i r é s u l t e du fait q u e , pour tout n ^ l , ( A / C A ^^A( Iⁿ) ) ^ est i s o m o r p h e à ( A / Iⁿ) ^^t .

On a vu que tout idéal I de A est c l a s s i q u e m e n t l o c a l i s a b l e à d r o i t e ( 4 . 3 ) . N o t o n s e n c o r e C la

p a r t i e m u l t i p l i c a t i v e {c€.A| ( V x e A ) ( x c £ l = » x e l ) } , e t

*3KC)

Localisation à la manière de Goldie et applications

5.1.2 PROPOSITION. Soient A

= k^^VannzAu de inaction*

de

&zlon с {(13)

p. 44) et M⁰ VIdlal de. A^c engendre"

рал l'Image, canonique de. I. KloKb

A

( I ) " V f ? » * '

La c o r r e s p o n d a n c e

(a • 0 ^ ( 0 ) ) (c + C ^ ^ C O ) ) " 1

- 1

(

?

4 c )

» (

^

^ О <

)

définit un m o r p h i s m e s u r j e c t i f de A^c dans A ^ ^ . ^{S o n} n o y a u est l ' e n s e m b l e des f r a c t i o n s de A ç d o n t le n u m é ­ r a t e u r est dans

Par r é c u r r e n c e sur n , on v o i t que Men est l ' i d é a l e n g e n d r é par С £ ^ с ) < 1П> / С ^ <с) ( 0 ) car on a :

M

o " ^ c )

S t c )

b

c

( C4 AC)( I Û) / C ^A C)( 0 ) ) . ( I / C ^ AC )( 0 ) ) . A , -

{ ( G ^Ac)( In) . I • C ^AC)( 0 ) ) / C ^AC)( 0 ) } . Ac ç

^

с )

^

О

Ь

с

A / C * A , ( 0 ) A

La p r o p o s i t i o n 5.1.2 m o n t r e que e s t l e q u o t i e n t de Ac p a r l ' a d h é r e n c e de 0 pour la t o p o l o - gie MG- a d i q u e . L a p r o p o s i t i o n 4.9. 2° m o n t r e q u e est le s é p a r é c o m p l é t é de A pour c e t t e t o p o l o g i e .

L

Si I est p r i m a i r e ou p r e m i e r , on p e u t a p p o r t e r des p r é c i s i o n s s u p p l é m e n t a i r e s sur la s t r u c t u r e d e A ^ j et de A ^ .

D a n s la f i n de ce p a r a g r a p h e , A d é s i g n e u n a n n e a u u n i t a i r e c o m m u t a t i f , I u n idéal de A ,

C = { c gA I ( V x c A ) ( x c c l = > X € l ) } , ^ ( C ) la f a m i l l e t o p o - l o g i s a n t e i d e m p o t e n t e des i d é a u x de A c o n t e n a n t u n é l é m e n t de C , l ^n^ l'idéal C% ^C) ( ln) > n - i è m e p u i s - sance s y m b o l i q u e à d r o i t e de I par r a p p o r t à 3 * ( C ) . 5.1.3 PROPOSITION.

SI

ptioptilétés suivante.* :

1^e c est la complémentaire de P.

2° V n > l , est ?-p>ilmalKe.

3° Vn^l , (A/l(n)) ^ (C ) i** anneau total d e factions de A / i (ⁿ) . C⁹est un anneau pfilmalKe.