P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE L YON
M ARCEL G RANGE
Sur la bornologie de l’ordre
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1973, tome 10, fascicule 3 , p. 11-33
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L y o n 1 9 7 3 , 1 . 1 0 - 3
SUR L A B O R N O L O G I E DE L ' O R D R E
par
M a r c e l G R A N G E ( B o r d e a u x )
oOo
Si on se donne un e s p a c e v e c t o r i e l ordonné f i l t r a n t E on peut munir canoniquement E d'une b o r n o l o g i e c o n v e x e dont une base e s t f o r m é e des i n t e r v a l l e s d ' o r d r e [ - x , x ] , noté , pour x ^ 0 . L ' e s p a c e b o r n o l o g i q u e c o n v e x e (cf. appendice) obtenu e s t noté E .
Cet e x p o s é e s t c o n s a c r é à l ' é t u d e de quelques questions r e l a t i v e s à la b o r n o l o g i e de B ^ E , a p p e l é e b o r n o l o g i e de l ' o r d r e , dans l e cas p a r t i c u l i e r où E est un espace v e c t o r i e l r é t i c u l é (en a b r é g é e . v . r . ) .
On peut se p o s e r l e p r o b l è m e naturel suivant : t r o u v e r une condition n é c e s s a i r e , ou suffisante, ou n é c e s s a i r e et suffisante sur l ' e v r E pour que l ' e b c B ^ E p o s s è d e t e l l e ou t e l l e p r o p r i é t é b o r n o l o g i q u e .
Dans la p r e m i è r e p a r t i e nous étudions la complétude de B ^ E
(cf. appendice) et aussi quelques questions r e l a t i v e s aux b o r n o l o g i e s c o m p l è t e s s o l i d e s ( c f . appendice) c a r de n o m b r e u x e s p a c e s fonctionnels ordonnés se présentent n a t u r e l l e m e n t muni d'une b o r n o l o g i e c o m p l è t e s o l i d e qui n ' e s t pas
toujours la b o r n o l o g i e de l ' o r d r e .
Sur l a b o r n o l o g i e d e l'ordre
Dans la d e u x i è m e p a r t i e nous étudions quelques questions sur l e s d i f f é r e n t e s s o r t e s de r é f l e x i v i t é que l ' o n peut c o n c e v o i r pour un e s p a c e v e c t o r i e l r é t i c u l é .
Dans la t r o i s i è m e et d e r n i è r e p a r t i e nous c a r a c t é r i s o n s l e s e s p a c e s v e c t o r i e l s r é t i c u l é s E tels que E soit un ebc de S c h w a r t z ou I n f r a -
Schwartz ; puis quelques questions qui s'y rattachent.
A p r o p o s du p r o b l è m e g é n é r a l indiqué plus haut nous indiquons c i - a p r è s pour m é m o i r e quelques r é s u l t a t s i m m é d i a t s ou connus.
1. - E est un e v r a r c h i m é d i e n si et seulement si E e s t un ebc s é p a r é .
2. - E p o s s è d e une unité ( d ' o r d r e ) si et seulement si B ^ E e s t s i m p l e ( p o s s è d e un borné b o r n i v o r e ) .
3. - L e cône des é l é m e n t s p o s i t i f s de E p o s s è d e une p a r t i e cofinale dénombrable si et seulement si B ^ E est à base d é n o m b r a b l e .
4. - Si E est un e v r o - c o m p l e t (à f o r t i o r i s ' i l est c o m p l e t ) a l o r s B ^ E est un ebc c o m p l e t .
Si E est un e v r a r c h i m é d i e n l e cône des é l é m e n t s p o s i t i f s de E est M a c k e y - f e r m é dans B ^ E (cf. a p p e n d i c e ) .
Dans c e t exposé tous l e s e s p a c e s v e c t o r i e l s r é t i c u l é s c o n s i d é r é s seront a r c h i m é d i e n s (sauf mention e x p r e s s e du c o n t r a i r e ) .
Si E est un e v r l e dual b o r n o l o g i q u e de B ^ E est l ' e v r complet
E+.
12
OU +
Si E est un e v r E d é s i g n e r a la bande de E f o r m é e des f o r m e s l i n é a i r e s f continues pour l ' o r d r e c ' e s t à d i r e v é r i f i a n t x J 0 entraine
A.
£ ( xx ) - o .
Sur l a b o r n o l o g i e d e l ' o r d r e
I - SUR L E S B O R N O L O G I E S C O M P L E T E S S O L I D E S
A - Soit E un ebc c o m p l e t r é t i c u l é s o l i d e ; i l p o s s è d e , d'une p a r t une b a s e de b o r - n o l o g i e f o r m é e de disques s o l i d e s , d!a u t r e p a r t une base f o r m é e de d i s q u e s
c o m p l é t a n t s . I l i m p o r t e donc de s a v o i r si E p o s s è d e une b a s e de b o r n o l o g i e f o r m é e de disques s o l i d e s c o m p l é t a n t s .
L e m m e - Soient E un ebc s é p a r é r é t i c u l é s o l i d e et (U ) une suite de E
n n S I oo
t e l l e que la s é r i e 2 U c o n v e r g e au sens de M a c k e y dans E
n= 1 oo ( c f . a p p e n d i c e ) . Si U e s t un é l é m e n t de E tel que | U | ^ | L U 1 ,
n = l n a l o r s i l e x i s t e ( Uf ) une suite de E t e l l e que | U1 J < | U | et
n ^ _ n n ~ - n ^ 1
oo
U = 2 LP au sens de M a c k e y dans E .
n=l n
P r e u v e - Rappelons que si x , y , z f E tels que | z | ^ | x + y [ a l o r s i l e x i s t e z2 € E tels que z = + et | Z j | ^ | x | f j z2 I ^ | y | . N o t o n s
oo
R ^ = S U . A i n s i on v o i t qu'on peut a i s é m e n t c o n s t r u i r e par r é c u r r e n c e une n = N + l
suite ( U1 ) de E t e l l e que | u! | S | U 1 et pour tout e n t i e r N > 1 n n n
n > 1
j = , U' k + VN O Î 1 l ' N | S | R N L k= 1
( R ^ ) c o n v e r g e v e r s 0 au sens de M a c k e y dans E , donc la suite oo
(v ) aussi ; par suite U = 2 Uf
N > 1 n = l n
P r o p o s i t i o n 1 - Soit E un ebc c o m p l e t r é t i c u l é s o l i d e . A l o r s E p o s s è d e une base de b o r n o l o g i e f o r m é e de disques s o l i d e s c o m p l é t a n t s .
P r e u v e - Soit A un disque s o l i d e b o r n é de E ; ^ A e s t l ' e n s e m b l e des oo oo s o m m e s des s é r i e 2 À. XL où x, € A et S | \ | S l .
k = l k k K k = l
On sait que V A est un disque c o m p l é t a n t borné de E et contenant A ( c f . [ 6 ] chapitre I V ) . Soit x € V A et s o i t y € E t e l que | y | < | x | .
oo oo x s!é c r i t 2 X x où x Ç A donc jy J < | E L 5L | . Donc en v e r t u du
k = l k = l oo l e m m e p r é c é d e n t i l e x i s t e (y, ) y € E t e l l e que y = 2 X y et
kk 2 > l K k = l K R
| y^ l — I X^ J • C o m m e A est s o l i d e et que x ^ 6 A , on obtient y ^ € A . Donc y € V A . A i n s i nous avons m o n t r é que V A est s o l i d e .
R e m a r q u e : Un ebc c o m p l e t r é t i c u l é s o l i d e e s t donc l i m i t e inductive b o r n o - l o g i q u e d ' e s p a c e s de Banach r é t i c u l é s s o l i d e s (Banach l a t t i c e s ) . Un ebc r é t i -
culé qui est l i m i t e inductive b o r n o l o g i q u e ( m ê m e d é n o m b r a b l e ) d ' e s p a c e s de Banach r é t i c u l é s s o l i d e s e s t c e r t e s un ebc c o m p l e t , m a i s pas n é c e s s a i r e m e n t un ebc solide (cf. [ 3 ] ) .
C o r o l l a i r e - Soit E un e . v . r. L e s a s s e r t i o n s suivantes sont é q u i v a l e n t e s ( i ) B ^ E e s t un ebc c o m p l e t
( i i ) B ^ E e s t un ebc M a c k e y - c o m p l e t
( i i i ) P o u r tout x € E x ^ 0 B e s t c o m p l é t a n t x
( i v ) Toute suite p o s i t i v e M a c k e y - absolument s o m m a b l e de E e s t Q - s o m m a b l e , c ' e s t à d i r e s o m m a b l e au sens de l ' o r d r e .
P r e u v e - Une suite M a c k e y - a b s o l u m e n t s o m m a b l e de E e s t une suite a b s o l u - ment s o m m a b l e dans un e s p a c e n o r m e E _ ( n o r m e par la jauge de B )
B x ( i i ) est é q u i v a l e n t à ( i v ) en v e r t u cfrin r é s u l t a t bien connu dans [ 9 J
chapitre III § 1 1 - 6 .
Sur l a b o r n o l o g i e d e l'ordre
( i i i ) entraine ( i ) et ( i ) entraine ( i i ) sont é v i d e n t s .
Montrons que ( i i ) entraine ( i i i ) . Il nous suffit de m o n t r e r que V B = B (cf. [ 6 ] chapitre I V ) . Soit ( x j x^ € B
k > 1 oo
et soit (X ) Z | \ | < 1 . P o u r tout entier N > 1
K k > l k = l k
N N
| S X x ^ | < E U | | x j s x k = l k ^ k = l k K
oo
C o m m e B E est M a c k e y - c o m p l e t la s é r i e Z \ x c o n v e r g e . P a r suite k = l k
vu que l e cône des é l é m e n t s p o s i t i f s de E est M a c k e y - f e r m é , on a oo
I E \ x, | S X. Donc v B = B pour tout x € E x ^ 0 .
k . K K X X
= 1
B - L a proposition suivante g é n é r a l i s e et m e t en é v i d e n c e la nature b o r n o l o g i q u e d'un r é s u l t a t de Hugh Gordon [ 4 j . Son i n t é r ê t a p p a r a i t r a dans l e s c o r o l l a i r e s qui suivront.
P r o p o s i t i o n 2 - Soient E un e v r, P étant l e cône de ses é l é m e n t s p o s i t i f s , une b o r n o l o g i e c o n v e x e s é p a r é e solide sur E pour l a q u e l l e P e s t M a c k e y - c o m p l e t . Si (x ) est une suite de E c o n v e r g e a n t
n n > l
v e r s 0 au sens de M a c k e y dans ( E . f i ) , a l o r s i l e x i s t e une suite e x t r a i t e ( x ^ ) c o n v e r g e a n t v e r s 0 au sens de M a c k e y dans
k k > 1 l ' e b c B ^ E .
P r e u v e - On peut é c r i r e x = y - z a v e c y S: 0 z ^ 0, l e s suites ( y )
n Jn n Jn n *n .
et ( z ^ ) c o n v e r g e a n t v e r s 0 au sens de M a c k e y dans ( E , B ) . On peut n > 1
.donc supposer que 2:0.
16
Nous nous i n s p i r o n s de la d é m o n s t r a t i o n de H . G o r d o n . I l e x i s t e un disque s o l i d e borné B de ( E , & ) et ( e ) e -*0 t e l s que pour tout
n > 1
n > 1 x € e B ; i l e x i s t e a l o r s (it, ) n < n t e l l e que pour tout
n n .K , ^_ _ JK. i£.~r 1
k > 1 k > l z < - v •
k 4
k
P o s o n s y = x et z = 2 2 y. pour tout k 2! 1. Soient
K. n. K. . 1
k 1=1
p et q deux e n t i e r s p < q ; on obtient en posant
* - i Y = Z 2
P ' q i =P +l q q
z - z = E 21 y . = I - i — 2 "1 (Y 41 y . )
P q i = p + l 1 i =P +l Yp , q 1
M a i s 0 ^ 4 * y . — — " x ; c o m m e x G B et que
i e n. e n . ^
n. i n. i
i i B e s t s o l i d e , on obtient 41 y . € B ; donc Y 41 y. € Y B
i p , q i p , q
q 1 - i
Or 2 yl— 2 1 = 1
i=p+l p , q
B étant c o n v e x e , on obtient z - z € Y B ( z , ) e s t donc une suite P q P . q
p o s i t i v e de M a c k e y - C a u c h y dans ( E , B ) . P a r hypothèse i l e x i s t e donc z Ç P tel que dans ( E , B ) : z = l i m z . Soit P = | x 6 E ; x > 2 y | pour tout
-K K. K.
k > 1 . P o u r tout k > 1 et p > k on a de façon é v i d e n t e z € P, ; P ,
T p k k
étant M a c k e y - f e r m é dans ( E , ) ( c ' e s t un t r a n s l a t é de P ) on obtient ainsi z Ç P pour tout k > 1 ; c ' e s t à d i r e y, < z ou e n c o r e
k 1 k 2k
0 < x < — z pour tout k > 1. Donc (x ) c o n v e r g e v e r s 0 au
nk 2 nk
K k > 1 sens de M a c k e y dans B ^ E .
17
Sur l a b o r n o l o g î e d e l ' o r d r e
C o r o l l a i r e 1 - Soit E un e . v . r, Si B e s t une b o r n o l o g i e c o n v e x e M a c k e y * c o m p l è t e s o l i d e sur E > a l o r s on a l e s i d e n t i t é s b o r n é e s s u i v a n t e s
E * ( E , « ) > B T E > B T B ^ E
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
P r e u v e - B étant s o l i d e i l nous suffit de m o n t r e r ( 2 ) . C o m m e l ' i d e n t i t é B ^ E * ( E , B ) e s t b o r n é e , l ' i d e n t i t é
B T B ^ E * B T ( E , B )
est b o r n é e [ l u ] . Soit A un borné de B T ( E , B ) ; si A n ' e s t pas un b o r n é de B T B ^ E , i l e x i s t e un v o i s i n a g e Û de 0 de T B ^ E tel que pour tout entier n > 1 on ait A n ; i l e x i s t e donc (x ) x € A t e l l e que
n n n > 1
x £ n H . Or A étant un borné de B T ( E , B ) i l e x i s t e ( x ) t e l l e que
n ^ n 9 ^
K k > 1
la suite ( " ^ " x ) c o n v e r g e v e r s 0 au sens de M a c k e y dans ( E , B )
^ " k k > i
[ 1 03 • M a i s en v e r t u de la p r o p o s i t i o n 2 i l e x i s t e une suite e x t r a i t e
("^— x ) qui c o n v e r g e v e r s 0 dans B E ; donc à p a r t i r d'un c e r t a i n
n, n, ° U) r
k k
P P P2 1
rang p —-— x € Q : c o n t r a d i c t o i r e . Donc A e s t un b o r n é de
° "k nk P P
B T B ^ E .
P a r suite B T ( E , B ) = B T B ^ E , donc l ' i d e n t i t é ( 2 ) e s t b o r n é e .
R e m a r q u e s - 1. En conséquence de la d é m o n s t r a t i o n p r é c é d e n t e on o b t i e n t l ' é g a l i t é t o p o l o g i q u e T B ^ E = T ( E , B )
2 . Si E e s t t o p o l o g i q u e , i l n ' e x i s t e au plus qu'une b o r n o l o g i e c o n v e x e c o m p l è t e s o l i d e sur E , à s a v o i r la b o r n o l o g i e de l ' o r d r e ; c e qui p e r m e t de donner des e x e m p l e s d ' e v r E tel que B ^ E ne s o i t pas t o p o l o g i q u e :
B ^ L P ( p r é e l > 1 ) , B ^ C ° .
3. L a p r o p o s i t i o n 2 et son c o r o l l a i r e se g é n é r a l i s e n t au cas des b o r n o l o g i e s p - c o n v e x e s (0 < p l ) ; on r e m a r q u e a l o r s que pour tout r é e l p > 0 on a l ' é g a l i t é topologique T B L P ( X , M ) = L P ( X , M ) , où X est un e s p a c e l o c a l e m e n t c o m p a c t , U une m e s u r e de Radon p o s i t i v e sur X ,
( X , M ) étant muni de sa s t r u c t u r e d ' e s p a c e de Banach u s u e l l e si p > 1.
de sa structure d' e v t m é t r i s a b l e c o m p l e t si 0 < p < 1.
4. L a c a r a c t é r i s a t i o n des b o r n é s de B T B ^ E [ ÎOJ m o n t r e que B T B ^ E est un ebc s é p a r é s o l i d e .
C o r o l l a i r e 2 - Soit E un e v r. Si B est une b o r n o l o g i e c o n v e x e M a c k e y - c o m p l è t e s o l i d e sur E , a l o r s toute b o r n o l o g i e c o n v e x e s o l i d e plus fine que B est aussi M a c k e y - c o m p l è t e ; en p a r t i c u l i e r la b o r n o l o g i e de l ' o r d r e est c o m p l è t e »
P r e u v e - Soit 8' une b o r n o l o g i e c o n v e x e solide sur E, plus fine que B# Soit (x ) x 6 E une suite de M a c k e y - C a u c h y dans ( E , B1) ; (x )
n _ n n n ^ 1 n > 1
est donc de M a c k e y - C a u c h y dans ( E , B ) , donc e l l e c o n v e r g e v e r s x € E au sens de M a c k e y dans ( E , B) ; en v e r t u de la p r o p o s i t i o n 2, on peut en e x t r a i r e une suite (x ) qui c o n v e r g e v e r s x au sens de M a c k e y dans B E ;
n vu
k k > l
c o m m e B1 est s o l i d e , e l l e e s t m o i n s fine que la b o r n o l o g i e de l ' o r d r e , donc (x ) c o n v e r g e v e r s x au sens de M a c k e y dans ( E , & f) ; vu que ( x )
k k > i n - 1
est de M a c k e y - C a u c h y dans ( E , B ' ) , (x ) c o n v e r g e donc v e r s x au sens n. n > 1
de M a c k e y dans ( E , B1) . P a r suite ( E , B » ) est un ebc M a c k e y - c o m p l e t .
C o r o l l a i r e 3 - (application à la dualité) Soient E un e v r et B une b o r n o l o ^ j ^ c o n v e x e s o l i d e t - s é p a r é e sur E . EX est l e dual b o r n o l o g i q u e d e ( E . B J
Sur l a b o r n o l o g i e d e T o r d r e
muni de la t o p o l o g i e de la c o n v e r g e n c e u n i f o r m e sur l e s é l é m e n t s de 6 « A l o r s on a l e s r e l a t i o n s :
B EX = B T B ^ EX = B T B ^ EX
P r e u v e - E est un i d é a l de E et un e l c s c o m p l e t l o c a l e m e n t s o l i d e ;
x
B E est donc un ebc s o l i d e
1) c o m p l e t , donc on a l e s identités b o r n é e s B EX * B T B ^ EX y B T B ^ EX 2) t o p o l o g i q u e , donc on a l ' i d e n t i t é b o r n é e
B T B œ EX * B EX d'où la conclusion.
R e m a r q u e - Soit E un e v r s é p a r é p a r E+; sur E+ on obtient l e s é g a l i t é s b o r n o l o g i q u e s
B T B ^ E+ = B T B ^ E+ = B E+p = B ( E+, 0 ( E+, E ) )
E+p étant l e dual f o r t de T B ^ E v e r s x au sens de M a c k e y dans ( E , P a r suite ( E , f if) est un ebc M a c k e y - C o m p l e t .
II - SUR L A R E F L E X I V I T E D ' U N E S P A C E V E C T O R I E L R E T I C U L E
On peut définir d i f f é r e n t s types de r é f l e x i v i t é pour un e s p a c e v e c t o r i e l r é t i c u l é E s é p a r é par E ou E .
- la r é f l e x i v i t é o r d i n a l e ou O - r é f l e x i v i t é , à s a v o i r E = E + +
UD (1)
- la fl - r é f l e x i v i t é , à s a v o i r E = E
- la b - r é f l e x i v i t é ou r é f l e x i v i t é b o r n o l o g i q u e de B ^ E .
Nous allons étudier l e s r a p p o r t s e n t r e c e s t r o i s t y p e s de r é f l e x i v i t é et c a r a c t é r i s e r l e s e s p a c e s v e c t o r i e l s r é t i c u l é s E t e l s que E soit r é f l e x i f .
Rappelons que si E e s t un e v r s é p a r é par E + , E est un sous e. v . r.
de E ; la bande de E e n g e n d r é e par E e s t E . Si E e s t un e v r
U) LOU O U
s é p a r é par E , E e s t un i d é a l de E et l e s b o r n é s d ' o r d r e de E sont ou r -,
a ( E , E ) - c o m p a c t s . L7J *
Si E est un e v r s é p a r é E+ , E+ muni de la t o p o l o g i e de la
c o n v e r g e n c e u n i f o r m e sur l e s b o r n é s de E , notée 0(E + , E ) , est un e l c s c o m p l e t l o c a l e m e n t s o l i d e ; son dual noté ( E+) ' e s t un i d é a l de E+* , contenant E . Dans c e s conditions on sait que ( E+) ' e s t l ' i d é a l de E+* e n g e n d r é par E.
P r o p o s i t i o n 3 - Soit E un e v r s é p a r é par E+. L e s a s s e r t i o n s suivantes sont é q u i v a l e n t e s
( i ) B ^ E e s t r é f l e x i f
( i i ) E e s t un e v r c o m p l e t et E - E ( i i i ) E e s t un i d é a l de E * *
P r e u v e - En v e r t u de la définition d'un ebc r é f l e x i f (cf. a p p e n d i c e ) et des r e m a r q u e s p r é c é d e n t e s , i l e s t c l a i r que ( i ) est é q u i v a l e n t à ( i i i ) .
Montrons que ( i i ) entraine ( i ) . C o m m e E e s t c o m p l e t l e s i n t e r v a l l e s
CD
d ' o r d r e sont o ( E , E ) - c o m p a c t s en v e r t u d e s r e m a r q u e s p r é c é d e n t e s
(E s é p a r e E c a r E = E ) . M a i s E = E l e s i n t e r v a l l e s d ' o r d r e sont donc o ( E , E+) c o m p a c t ce qui e s t é q u i v a l e n t à d i r e que B ^ E e s t r é f l e x i f [ ô j .
Montrons que ( i ) entraine ( i i ) . C o m m e l e s i n t e r v a l l e s d ' o r d r e sont a ( E , E+) - c o m p a c t s , i l r é s u l t e de [ 2 ] c h a p i t r e II e x e r c i c e 14 que E est un e v r c o m p l e t et que la Cl - c o n v e r g e n c e ou c o n v e r g e n c e au sens de l ' o r d r e
Sur l a b o r n o l o g i e d e l ' o r d r e
e n t r a i n e la c o n v e r g e n c e t o p o l o g i q u e r e l a t i v e m e n t à l ' e l c s ( E , a ( E , E ) ) ; p a r suite une f o r m e l i n é a i r e de E+ e s t continue au sens de l ' o r d r e , donc
E = E . w +
ou
C o r o l l a i r e - Soit E un e v r s é p a r é par E . L a O - r é f l e x i v i t é entrafhe la r é f l e x i v i t é de E et la O - r é f l e x i v i t é * E e s t une bande de E * *
si et s e u l e m e n t si B ^ E e s t r é f l e x i f et E e s t fi-réflexif.
P r e u v e - Il e s t é v i d e n t d ' a p r è s c e qui p r é c è d e que la O - r é f l e x i v i t é e n t r a i n e la r é f l e x i v i t é de B E . Si E e s t O - r é f l e x i f , a l o r s i l e s t fi-réflexif ; en
+ O U U U O U 0 U + + +
effet puisque B ^ E e s t r é f l e x i f on a E = E , donc E a E = E = E .
_ twu>
Supposons que B ^ E s o i t r é f l e x i f et E fi-réflexif ; on a E = E
+ OU + U) + +
o r E = E , donc E = E : E e s t donc une bande de E # Supposons que E s o i t une bande de E , a l o r s E = E ; m a i s ( E ) ' c: E donc E = ( E ) '
+ au +au
c ' e s t à d i r e B E e s t r é f l e x i f , donc E = E c o m m e E = E , on o b t i e n t ou ou
E = E , donc E e s t fi-réflexif.
R e m a r q u e s et e x e m p l e s
1. E = C ° ( e s p a c e des suites r é e l l e s c o n v e r g e a n t v e r s z é r o ) B ^ C ° e s t r é f l e x i f m a i s nfe s t pas fi-réflexif, en effet C° = X0 0 ( e s p a c e des suites r é e l l e s b o r n é e s ) .
E = i î0 0; X 00 e s t fi-réflexif ( X 0 0 ^ ^ 1 ) m a i s B ^ l ° ° n ' e s t p a s r é f l e x i f
2. Si X est un e s p a c e l o c a l e m e n t c o m p a c t et M- une m e s u r e d e Radon p o s i t i v e sur X , a l o r s B L * ( X , H ) e s t r é f l e x i f ( l e s i n t e r v a l l e s
OU IR x
d ' o r d r e sont f a i b l e m e n t c o m p a c t s ) .
Soit À un e s p a c e de suites r é e l l e s qui muni de l ' o r d r e n a t u r e l e s t un e . v . r . c o m p l e t et t e l que A = A où A e s t l e dual de K o t h e de A ;
A e s t a l o r s r é f l e x i f .
P r o p o s i t i o n 4 - Soit E un e v r séparé par E * . L e s a s s e r t i o n s suivantes sont équivalentes
( i ) E est O - r é f l e x i f (E = E * * )
( i i ) Il existe une b o r n o l o g i e solide B sur E t e l l e que ( E , B) = E .
P r e u v e - ( i ) entrafrie ( i i ) : en effet E = ( B ^ E ) dans c e cas . ( i i ) entraftie ( i ) ; Notons ^ la topologie sur E de la c o n v e r g e n c e uniforme sur l e s é l é m e n t s de B ; ^ est l o c a l e m e n t solide c a r 6 e s t s o l i d e , donc l'identité
T E —^ ( E , ^ ) est continue de m ê m e l ' i d e n t i t é ( E , t f ) — > o ( E , E+) ; donc l e dual topologique de (E^J ) est E+ ; Notons 6q la b o r n o l o g i e équicontinue
sur E+ c o n s i d é r é c o m m e dual de ( E , ^ ) . C o m m e B e s t c o m p l è t e et s o l i d e , on obtient l e s identités b o r n é e s B E * — > ( E+, B ) — > ( E+, B ) — > B T B,i t E+
CD o ^ p a r suite (E , B ) = E ; d!o ù E = E .
III - E S P A C E S DE S C H W A R T Z R E T I C U L E S
A - R a p p e l s Un atome d!un e v r E est un é l é m e n t a de E tel que pour tous b , c éléments de E t e l s que
a = b + c et | b | A J c | = 0 on ait b = 0 ou c = 0.
Un e v r c o m p l e t E est dit atomique s ' i l e s t é g a l à la bande
engendré par ses a t o m e s . Une base atomique dfun e v r c o m p l e t atomique E, notée ( a . ) , est une f a m i l l e dfa t o m e s de E t e l l e que si i est distincts de j
1 i € I
a l o r s a. A a. = 0 et tout a t o m e de E e s t c o l i n é a i r e à l'un des a. . Un e v r
i J i c o m p l e t atomique E p o s s è d e au m o i n s une base atomique, toutes ses b a s e s
Sur l a b o r n o l o g i e d e l ' a r d r e
atomique ont m ê m e cardinal, tout é l é m e n t x de E peut s ' é c r i r e Z X . a.
i € I 1 1 où (X . ) est une f a m i l l e de n o m b r e s r é e l s et cela de m a n i è r e unique, la
1 i € I
f a m i l l e (X . a . ) étant s o m m a b l e au sens de l ' o r d r e . Dans c e s conditions
1 l i € I
I x | = £ | \ ,|a. . Si H est une p a r t i e finie de I on note S l ' a p p l i c a t i o n
i € I 1 1 H
de E dans E définie par S ( x ) = 2 \ . a. . S est un opérateur réticulant i€I
de rang fini, continu pour toute topologie l o c a l e m e n t convexe l o c a l e m e n t s o l i d e s é p a r é e sur E , L e s opérateurs S ne dépendent pas en fait de la base
atomique c h o i s i e .
B - Dans cette p a r t i e nous allons énoncer des conditions n é c e s s a i r e s et suffisante pour que B ^ E soit un ebc de Schwartz ou un ebc I n f r a - S c h w a r t z .
P r o p o s i t i o n 5 - Soient E un e v r et fi une b o r n o l o g i e Infra-S c h w a r t z s o l i d e sur E . A l o r s la fi - c o n v e r g e n c e ou c o n v e r g e n c e au sens de l ' o r d r e dans E entraftie la M - c o n v e r g e n c e ou c o n v e r g e n c e au sens de Mackey dans ( E , f i ) .
P r e u v e - Soit ( x . ) un s y s t è m e filtrant d é c r o i s s a n t v e r s 0. On peut supposer
K X € A
q u ' i l e x i s t e X € A tel que pour tout X de A on ait o ^ x. ^ x.
O A. A.
[ - x , x ] = B étant borné dans ( E , 6 ) i l existe un disque b o r n é s o l i d e o
A A. X ,
o o A.
o
A de ( E , 6 ) tel que B c A et l ' o p é r a t e u r canonique E ^ E
x~ B A.
X x.
o X o
soit faiblement compact. [ o , x ] est f e r m é dans E qui est un e s p a c e norme
A J\
O
s o l i d e , par suite vu que [ o , x ^ ] est c o n v e x e , i l est f e r m é pour la t o p o l o g i e o
faible a ( E A » ( E A ^ # D o n c C° 3 e s t e n f ai t f a i b l e m e n t c o m p a c t dans E ^ . o
P o s o n s I = [ o , x ] . ( I ) est une base de f i l t r e sur l e compact faible A. A. A. » - .
\ € A
I ; elle a donc un point adhérent a , qui appartient à tous l e s L o
puisque 1^ est faiblement f e r m é dans E ^ . donc o ^ a S x^ pour tout X 6 A, donc a = 0 car Inf x. = 0. L a base de f i l t r e ( L ) c o n v e r g e donc
x K xeh
v e r s 0 dans (E , G ( E A » (E A)!) ) > donc v e r s 0 dans l ' e s p a c e n o r m e E c a r une topologie faible est à cône n o r m a l et en v e r t u de [ 9 J chapitre II § 3 .
P a r suite (x. ) c o n v e r g e au sens de Mackey dans ( E , B )#
C o r o l l a i r e - Soit E un e v r tel que E soit Inf r a - S c h w a r t z . A l o r s la Cl-convergence ou c o n v e r g e n c e au sens de l ' o r d r e est équivalente à la M - c o n v e r g e n c e ou c o n v e r g e n c e au sens de Mackey dans B ^ E .
P r o p o s i t i o n 6 - Soit E un e v r, L e s a s s e r t i o n s suivantes sont é q u i v a - lentes,
( i ) B ^ E est un ebc de Schwartz ( i i ) B ^ E est un ebc Infra-Schwartz
( i i i ) E est un e v r c o m p l e t atomique tel que la fl - c o n v e r g e n c e de E .
P r e u v e - ( i ) entraine ( i i ) est évident ; Montrons que ( i i ) entraine ( i i i ) . Supposons tout d'abord que E soit séparé par E+, ainsi B E est r é f l e x i f [ 6 ] donc E est un e v r c o m p l e t . Soit F la bande de E é t r a n g è r e à la bande engendrée par l e s a t o m e s de E , et supposons que F 4 { o } • Soit x 6 F x > o ; i l existe y € E y > x tel que l ' o p é r a t e u r canonique
Ef î > Ef î soit faiblement compact. E ^ étant un e v r avec unité»
x y y possède des f o r m e s l i n é a i r e s réticulentes non nulles et l ' e n s e m b l e des f o r m e s l i n é a i r e s réticulantes sur E_. sépare E ; il en e x i s t e donc une, notée
B B y y
<P , telle que <P i 4 o c a r x 4 ° . <P i _ est une f o r m e l i n é a i r e
, EB | E B
x x
Sur la b o r n o l o g i e d e l'ordre
réticulante non nulle sur E ; montrons q u ' e l l e est complètement r é t i c u - B x
lante ; comme elle est réticulante i l suffit de montrer que si x^ * o a l o r s
^ ( x . ) o , Soit donc (x. ) un système filtrant décroissant v e r s o d a n s
* S e
E g ; la preuve de la proposition nous montre que x^ -» o dans l ' e s p a c e d e Banach E , par suite 9>(x ) o car Cp est continue sur E . P a r suite x
B À B
y y l e noyau de ? i _ est une bande de l ' e v r complet E_ , m a x i m a l e .
X
La bande de E étrangère au noyau de *P i est donc une bande e n g e n d r é e
X
par un atome non nul de E_ car cp . 4 o • E ^ possède donc un a t o m e B tj &
x B x x
non nul > qui est aussi un atome de E, car E est un idéal de E , : B
contradictoire avec la définition de F , P a r sui^e F = {o\> cfe s t à d i r e E est atomique.
Si a p r i o r i E* ne sépare pas E on peut m e t t r e en é v i d e n t e l ' e b c B ^ E c o m m e l i m i t e inductive bornologique d'ebc E^ Infra-Schwartz à base dénombrable, l e s E^ étant des idéaux de l ' e v r E , la bornologie de E.
étant la b o r n o l o g i e de l ' o r d r e ; ainsi B ^ E^^ sera - t - séparé c ' e s t à d i r e E ^+ sépare E^ • Donc E^ est un e v r complet atomique, et par suite E car algébriquement et ordinalement on aura E = l i m E,, . L a technique e s t la suivante : soit x € E x S: o ; i l existe (x ) x è o tel que x ^ x ,
n n 1 nJ>l
et x < x _ , l e s opérateurs canoniques de E_ dans E_
n n + 1 ±5 o n n+1 étant faiblement compact
E ( x ) = U E
n S 1 X
n
E ( x ) est un idéal de £, et E ( x ) est un ebc Infra-Schwartz à base d é n o m - b r a b l e .
26
Montrons que ( i i i ) entraine ( i ) ; soit (a ) une base atomique de
li € I
E . L'hypothèse sur l e s c o n v e r g e n c e s nous montre que pour tout
x € E x > o x = £ A. . a. au sens de Mackey dans B E ; i l e x i s t e donc
I l ou
i € I
y € E y ^ o , qufon peut supposer £ x, tel que pour tout e > o i l e x i s t e une partie finie de I t e l l e que pour toute partie fini H ^ H ^ on ait
o < x - SR ( x ) < e y
S est un opérateur continu positif de rang fini du Banach E dans l e
H Bx
Banach E ; si rr est l ' o p é r a t e u r canonique de E dans E _ on B B B
y x y obtient pour tout U € B | I T ( U ) - S ( U ) e y car vu que E est
X r i
atomique | U - S (U) | S x - S ( x ) . Donc rr est compact puisqufil est
xi r i
l i m i t e uniforme d'opérateurs de rang fini. P a r suite E est un ebc de Schwartz .
C - L e point de vue des espaces de f a m i l l e s .
Tout e v r c o m p l e t atomique peut ê t r e r e p r é s e n t é c o m m e un idéal À de l ' e v r complet qui est l ' e s p a c e des f a m i l l e s de n o m b r e s r é e l s indexées par I , de plus A contenant <Pj qui est l e sous-espace de ou^
constitué des f a m i l l e s presque toujours n u l l e s . Nous allons i n t e r p r é t e r la proposition 6 dans l e c a d r e des espaces de f a m i l l e et aussi obtenir un c r i t è r e de "Schwartzité1 1 analogue au c r i t è r e de G r o t h e n d i e c k - P i e t s c h pour la
n u c l é a r i t é .
C° est l ' e s p a c e v e c t o r i e l r é e l des f a m i l l e s de n o m b r e s r é e l s indexées par I convergeant v e r s 0 suivant l e f i l t r e des c o m p l é m e n t a i r e s des parties finies de I • O ^ est c l a i r e m e n t un idéal de contenant <P .
Sur l a bornologie de l'ordre
Proposition 7 - Soit A un idéal de ou^ contenant <Pj ; les a s s e r t i o n s suivantes sont équivalentes
( i ) A est un ebc de Schwartz.
( i i ) Pour tout x 6 A x S:o i l e x i s t e y € A y ^ o et a g C>°^ a £o tels que x = ay ( cfe s t à dire x^ = y. pour tout i 61 ) ,
P r e u v e - ( i ) entraine ( i i ) Soit x € A x > o ; comme B ^ A est de Schwartz on a x = 2 x. e. au sens de Mackey dans Bf i, A ( e1. = ô . . ) . Il e x i s t e donc
i € I 1 1 » J »J
y € A y > o tel que pour tout e > o il existe H partie finie de I t e l l e que o S £ x, e1 S e y
donc pour i £ H x. e S e y , donc x. ^ e y. ; posons a = ( a . ) i€ I
x. ^ avec a. = — et la convention T = 0 • De ce fait a Ç O T et x = a y .
i y. 0 I J
i
( i i ) entraine ( i ) A est déjà un e v r complet atomique. Soit ( xŒ) xa € A xa i o . D'après la preuve de la proposition 6 p a r t i e ( i i i )
u t
entraine ( i ) on peut supposer que cond A = card I ; de ce fait on c o n s i d è r e ( xI)i ç j x1 €A x1* o ; montrons que x1 -*o au sens de Mackey dans B ^ A ; i l en résultera que B ^ A sera un ebc de Schwartz à l'instar de la p r e u v e de la proposition 6.
Nous pouvons supposer qu'il existe i € I tel que pour tout i €1 on ait o S x1 S x 1 q . P a r hypothèse i l existe y € A y > o , a € C>° a â: o tels que xX° = a y , donc pour tout i 61 o ^ x1 :S a y donc pour tout i € I et j € J on obtient
o < x . S a. y . J J J
Soit e > o ; i l existe H une partie finie de I t e l l e que o S a S e pour tout j ^ H ; donc pour tout j $ H et pour tout i € I on a
o ^ x . :S e y . . Soit y Ç ou défini ainsi i H J J I
yH. = y . si j 4 H et yH. = o si j 6 H
J J 3
on définit de m ê m e (x ) ; il est c l a i r que y € A et pour tout i € H i H H
( x1) < e y H (1)
Mais x1 i o ; i l existe donc i1 €1 tel que pour tout i € 1 tel que xi < xi et pour tout j 6 H on ait
x1. < e y . J J
i i1
par suite pour tout i tel que x S x on a . H
x1 - ( x1) S e (y - y " ) (2) i i ' de ( l ) et (2) on obtient pour i tel que x < x
x1 < e y
c ' e s t à dire x. -> o au sens de Mackey dans B À •
i eu
o Exemples - B ^ A est un ebc de Schwartz si A = " ,
A = (p > o ) étant l ' e s p a c e des f a m i l l e s de nombres r é e l s ( x . ) telles que £ J x. | < + oo),
i € l 1
A = { ( x . ) 6 ii) ; { i €1 ; x. 4 ° }e s t dénombrable } en particulier
^ e i 1
U ) ^ est un ebc de Schwartz.
Remarque - Du c r i t è r e topologique de N u c l é a r i t é de Grothendieck-Pietsch on peut en déduire un c r i t è r e bornologique de Nucléarité qui s'énonce ainsi
Soit A un idéal de contenant <Pj ; l e s assertions suivantes sont équivalentes.
( i ) B ^ A est nucléaire
( i i ) Pour tout x € A x à o i l existe y€ A y à o et a 6 & ^ a > o tels que x = ay
Sur l a b o r n o l o g i e d e l'ordre
A P P E N D I C E
Pour la commodité du l e c t e u r nous rappelons quelques é l é m e n t s de bornologie. Pour de plus a m p l e s informations sur ce sujet on p o u r r a se r e p o r t e r à [ 6 ] .
Etant donné un ensemble X , on appelle bornologie sur X toute f a m i l l e B de p a r t i e s de X , formant un r e c o u v r e m e n t de X , h é r é d i t a i r e pour l'inclusion et stable par réunion finie. Un couple (X, B ) f o r m é d'un
ensemble et d'une bornologie e s t appelé ensemble bornologique. L e s é l é m e n t s de 6 sont appelés bornés de X . Une application d'un e n s e m b l e b o r n o l o g i q u e dans un autre e s t dite bornée si e l l e t r a n s f o r m e un borné en un borné ; d'où la notion de bornologie plus fine (ou moins fine) qu'une a u t r e .
Une base de B e s t une f a m i l l e (B.) de bornés telle que tout
1 i € I
borné B € © soit contenu dans l'un des B^. (X, 8) e s t dit à b a s e d é n o m b r a b l e si sa bornologie admet une b a s e d é n o m b r a b l e .
Une bornologie sur vin e s p a c e v e c t o r i e l sur IR ou CD e s t dite c o n v e x e si
(i) Si A et B sont b o r n é s , a l o r s A + B e s t borné (ii) Si A e s t borné et X € R , a l o r s XA e s t borné (iii) Si A e s t borné, a l o r s son enveloppe convexe a u s s i .
Un e s p a c e v e c t o r i e l muni d'une bornologie convexe e s t appelé e s p a c e b o r - nologique convexe (e. b . c ) .
30
Nous appellerons disque un convexe é q u i l i b r é . Si A est un disque d'un espace v e c t o r i e l E , E est l e sous-espace v e c t o r i e l de E engendré par A ; E peut être muni d'une s e m i - n o r m e : la jauge de A .
Un ebc est séparé s'il n'admet aucune droite b o r n é e . Un ebc est dit complet s'il possède une base de bornologie f o r m é e de disques c o m p l é - tants.
Un filtre $ sur un ebc est dit M a c k e y - c o n v e r g e n t v e r s x ( M - c o n v e r g e n t ) s'il existe un borné A de E tel que
{ \ A ; \ € El j c { M - x ; M € $ } . Cela revient à d i r e q u ' i l existe une base du filtre $ qui est contenue dans un E et converge v e r s x dans E • On peut ainsi définir la notion de suite de Cauchy au sens de Mackey dans un ebc. Un ebc est dit M a c k e y - c o m p l e t s'il est séparé et si toute suite de Cauchy au sens de Mackey est convergente au sens de Mackey ; Un ebc complet est Mackey-complet, la réciproque est fausse en g é n é r a l .
Une partie X d'un ebc E est M a c k e y - f e r m é (ou M - f e r m é e ) si toute suite de X M a c k e y - c o n v e r g e n t e à sa l i m i t e dans X . L ' e n s e m b l e des parties M a c k e y - f e r m é d'un ebc est l ' e n s e m b l e des parties f e r m é e s pour une topologie sur E non n é c e s s a i r e m e n t v e c t o r i e l l e ; muni de cette topologie E est noté T E .
L ' e n s e m b l e des disques b o r n i v o r e s d'un ebc E est une base de voisinage de 0 pour une topologie localement convexe sur E ; muni de cette topologie E est noté T E ; l'identité T E - T E est continue.
Si E est un e l c s ; l ' e n s e m b l e des parties bornées de E est une bornologie convexe sur E , appelé bornologie de Von Neumann de E ; muni de cette bornologie E est noté B E .
Si E est un ebc séparé l ' e n s e m b l e des parties de E absorbées par tout voisinage de 0 de T E est aussi une bornologie convexe sur E ;
Sur la bornologie d e l'ordre
muni de cette bornologie E est noté B T E ; L e s identités E -*BTE -> B T E sont bornées.
L ' e n s e m b l e des f o r m e s l i n é a i r e s bornées sur un ebc E est un espace v e c t o r i e l noté E appelé le dual bornologique de E ; E est dit
X X
t-séparé si E sépare E. E peut être muni de la topologie de la c o n v e r g e n c e uniforme sur l e s bornés de E ; Un ebc t-séparé E est dit r é f l e x i f si
E = ( EX ) » .
Un ebc est dit Infra-Schwartz ( r e s p . de Schwartz , r e s p . N u c l é a i r e ) si pour tout disque borné A i l existe un disque borné complétant B tel que A c B et l'injection canonique E -* E soit faiblement compacte ( r e s p . compacte, r e s p . n u c l é a i r e ) .
Un ebc Infra-Schwartz à base dénombrable est toujours t - s é p a r é .
Un ebc et e v r E est dit solide s'il admet une base de b o r n o l o g i e f o r m é e de disques solides. L'identité B ^ E -» E est a l o r s bornée et EX est un idéal de E+. Pour de plus amples informations sur l e s b o r n o l o g i e s
solides on pourra se r e p o r t e r à [ l ] par e x e m p l e .
B I B L I O G R A P H I E
[ 1 ] M . T . A K K A R - Thèse 3e c y c l e (Bordeaux 1970).
[ 2 ] N . B O U R B A K I - Intégration chapitre I, II, III et I V .
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Université de Bordeaux I
U . E . R . de Mathématiques et d'Informa tique 351, Cours de la Libération
33405 T A L E N C E ( F r a n c e )
