Sur la transformation de Dirac d'un espace à génération compacte

A

^LFRED

F

^RÖLICHER

Sur la transformation de Dirac d’un espace à génération compacte

Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1973, tome 10, fascicule 2

« Compte rendu des journées infinitistes », , p. 79-100

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(1973, Bordeaux) p . 79-100

Département de Mathématiques Lyon 1973 1.10-2 SUR LA TRANSFORMATION DE DIRAC D'UN ESPACE

A GENERATION COMPACTE

par A l f r e d FRÔLICHER

Pour un espace à génération compacte X, notons GX l ' e s p a c e des fonctions r é e l l e s continues de X, muni de la t o p o l o g i e à généra-

t i o n compacte u n i v e r s e l l e (provenant de l a fermeture cartésienne de l a c a t é g o r i e GC des espaces à génération compacte). CX est une a l g è - b r e à génération compacte. Un c a r a c t è r e ( c o n t i n u ) de CX est un homo- morphisme u n i t a i r e continu d ' a l g è b r e s C X R. SoitjeCX l ' e s p a c e des c a r a c t è r e s deCX, muni de l a t o p o l o g i e à génération compacte induite par l ' i n c l u s i o n dans eCX. Pour tout x e X, l ' é v a l u a t i o n en x des fonc-

t i o n s de CX est un élément deXCX. L ' a p p l i c a t i o n canonique e :X

a i n s i obtenue s ' a p p e l l e aussi l a transformation de Dirac de l ' e s p a c e : Grâce à l a p r o p r i é t é u n i v e r s e l l e de l a structure d'espaces f o n c t i o n n e l s qu'on u t i l i s e dans GC , l a transformation de Dirac e s t toujours continue. E l l e e s t i n j e c t i v e s i e t seulement s i X est fonc- tionnellement séparé. On se demande a l o r s sous q u e l l e s conditions l ' a p p l i c a t i o n X -• XCX e s t un plongement de sous-espace (au sens de l a c a t é g o r i e GC ) . La condition nécessaire e t suffisante qui e s t donnée dans c e t a r t i c l e , montre d'une part que c ' e s t un plongement pour une classe t r è s grande d'espaces à génération compacte ; e t d ' a u t r e part, ce qui est presque plus important, que c e t t e c l a s s e c o n s t i t u e une sous-catégorie p l e i n e GC* de GC qui a toutes l e s bonnes p r o p r i é t é s de GC : e l l e e s t complète, cocomplète e t cartesiennement fermée (par l a r e s t r i c t i o n du même f o n c t e u r ) ; en plus, l a p r o p r i é t é que chaque o b j e t X de GC* est sous-espace de JCCX implique qu'une

a p p l i c a t i o n f : X -» Y entre deux espaces de GC* e s t continue s i e t

seulement s i pour toute fonction continue g : Y -> R , l a fonction f o g : X -* R est aussi continue. La structure d^fun espace de GC* e s t donc complètement c a r a c t é r i s é par l'ensemble des fonctions r é e l l e s continues. On montre également que pour tout X de GC*, l ' e s p a c e v e c - t o r i e l à génération compacte CX est r é f l e x i f .

On montre ensuite que pour X 6 GC*, X est homéomorphe (par l ' a p p l i c a t i o n canonique e ) à JCCX si e t seulement s i X est t o p o l o g i - quement complet. Cette condition s i g n i f i e qu'une structure uniforme qui est fonctoriellement associée à l a topologie de X est complète, e t e l l e est équivalente à l a condition que l a structure uniforme uni- v e r s e l l e de l ' e s p a c e complètement r é g u l i e r rX associé à X est complète, condition qui est par exemple s a t i s f a i t e s i rX est paracompact.

La c a t é g o r i e GC* est isomorphe à une sous-catégorie CR*

de l a c a t é g o r i e CR des espaces complètement r é g u l i e r s . D i f f é r e n t e s conditions équivalentes, pour qu'un espace complètement r é g u l i e r ap- partienne à CR*, sont données. En montrant que l e théorème d ' A s c o l i est encore v a l a b l e pour tout espace de CR*on a une g é n é r a l i s a t i o n du théorème connu, car CR* contient strictement l e s espaces localement compacts.

Les r é s u l t a t s de c e t a r t i c l e ont été partiellement annoncés dans [ 5 ] •

Des questions analogues ont été examinées par E. Binz dans l e cadre des espaces pseudo-topologiques et par H. Buchwalter dans l e cadre des espaces compactologiques ; des discussions avec ces deux c o l l è g u e s m'ont été t r è s u t i l e s , e t j e leur exprime mes remer- ciements.

* *

80

§ 0. Rappel de quelques notions c a t é g o r i q u e s .

I l sera u t i l e d ' u t i l i s e r l e langage e t quelques r é s u l t a t s catégoriques ; v o i c i donc un p e t i t résumé. On suppose connues l e s notions de l i m i t e resp. c o l i m i t e , dont des cas p a r t i c u l i e r s sont l e s produits et l e s l i m i t e s i n v e r s e s , resp. l e s coproduits et l e s l i m i t e s d i r e c t e s . Une catéogie s ' a p p e l l e complète r e s p . cocomplète, s i toutes l e s l i m i t e s resp. c o l i m i t e s e x i s t e n t . Une sous-catégorie s ' a p p e l l e r é -

f l e x i v e resp. c o r e f l e x i v e s i l e foncteur d ' i n c l u s i o n possède un ad- j o i n t resp. un coadjoint qui e s t une r é t r a c t i o n par rapport à l ' i n - c l u s i o n . Toute sous-catégorie r é f l e x i v e ou c o r e f l e x i v e d'une c a t é -

g o r i e qui est coaplète e t cocomplète e s t aussi complète e t cocomplète.

On u t i l i s e r a aussi que tout foncteur adjoint resp. coadjoint commute avec l e s l i m i t e s resp. c o l i m i t e s . Enfin, une c a t é g o r i e K s ' a p p e l l e cartesiennement fermée s i e l l e possède des produits f i n i s e t s i pour t o u t o b j e t Y l e foncteur "produit avec Y" possède un adjoint ; on o b t i e n t a l o r s un foncteur e : K °^px K -* K t e l que

Mor (X, C ( Y , Z ) ) = Mor (X x Y , Z ) . Pour des d é t a i l s , v o i r par exemple [ 1 1 ] .

§ 1. Espaces topologiques, espaces uniformes e t espaces complètement r é g u l i e r s .

On va introduire e t é t u d i e r quelques foncteurs qui seront u t i l i s é s dans l a s u i t e . On notera :

TOP resp. TOPs l a c a t é g o r i e des espaces topologiques ( r e s p . séparés) ;

CR resp. CRs l a c a t é g o r i e des espaces complètement r é - g u l i e r s pas nécessairement séparés ( r e s p . séparés) ;

0N1F l a c a t é g o r i e des espaces uniformes.

Pour la d e r n i è r e , l e s morphismes sont l e s a p p l i c a t i o n s uniformément continues ; pour l e s autres l e s a p p l i c a t i o n s continues.

( 1 . 1 ) Proposition

Le foncteur classique t : UNIF -> TOP possède un coadjoint u : TOP -» UNIF, e t ces foncteurs v é r i f i e n t t⁰u⁰t = t e t u⁰t⁰u = u.

Démonstration

On s a i t que l a t o p o l o g i e associée à un espace uniforme U, c ' e s t - à - d i r e l a t o p o l o g i e de tu, est l a plus g r o s s i è r e de toutes l e s t o p o l o g i e s sur l'ensemble sous-jacent pour l e s q u e l l e s tout entourage de l a diagonale A s o i t un v o i s i n a g e de A (au sens de l a t o p o l o g i e p r o d u i t ) . Analoguement, s i T € TOP, uT est d é f i n i de l a manière sui- vante : uT possède l e même ensemble sous-jacent que T, e t porte l a structure uniforme l a plus fine de toutes l e s structures uniformes pour l e s q u e l l e s tout entourage de A s o i t un voisinage de A. On mon-

tre facilement que cela e x i s t e , en v é r i f i a n t que l'infimum (dans l e t r e i l l i s des f i l t r e s sur l'ensemble p r o d u i t ) d'une f a m i l l e de struc- tures uniformes est encore une structure uniforme. Si l e s v o i s i n a g e s de A dans T x T s a t i s f o n t aux axiomes de structure uniforme ( c e qui est l e cas par exemple s i T est paracompact, c f . [ J ] ) , l e s entou- rages de A au sens de uT sont donc tout simplement l e s v o i s i n a g e s de A dans T x T .

On v é r i f i e ensuite que f : T¹ -> T^g continue implique f : uT^ -> uT² uniformément continue ; u est donc un foncteur.

I l r é s u l t e immédiatement des c a r a c t é r i s a t i o n s données de tu e t de uT que :

1 : T tuT e s t continue ;

1 : utU - » U e s t uniformément continue.

De c e l a on déduit d'une part que f : T -> tu e s t continue s i e t seu- lement s i f : uT U e s t uniformément continue, de sorte que t est adjoint de u ; e t d'autre part que 1 : tu -> tutU e t 1 : tutU -* tu sont continues, d'où tutU = tu e t utuT = uT.

( 1 . 2 ) Proposition

Pour un espace topologique T l e s assertions sont équiva- l e n t e s

a ) T est complètement r é g u l i e r ;

b ) I l e x i s t e U € UNIF avec T = tu ( c ' e s t - à - d i r e T e s t uniformisable) ;

c ) tuT = T.

Démonstration

L'équivalence de a ) et b ) e s t c l a s s i q u e .

b ) c ) : En e f f e t , T = tu implique tuT = tutU = tu = T.

c ) b ) : t r i v i a l .

( 1 . 5 ) Proposition

Le foncteur d ' i n c l u s i o n i : CR TOP possède un coadjoint r : TOP -» CR, e t ces foncteurs v é r i f i e n t r d = 1.

Démonstration

On d é f i n i t : rT = tuT. De l a p r o p o s i t i o n précédente on déduit que rT € CR et que l ' o n a T € CR rT = T . On a donc r^ci = 1.

La f o n c t o r i a l i t é de r r é s u l t e de c e l l e de u e t t . L ' a p p l i c a t i o n 1 : T rT étant toujours continue, on déduit que r est coadjoint à i-

(lA) Remarques

a ) Comme u e t t , l e foncteur r ne change pas l e s ensembles

sous-jacents e t est l ' i d e n t i t é sur l e s morphismes.

t>) On v é r i f i e facilement que l a topologie de rT peut aussi ê t r e c a r a c t é r i s é e de l a façon suivante : c ' e s t l a t o p o l o g i e induite par toutes l e s fonctions continues T -> R.

c ) Si T est séparé, rT n ' e s t pas toujours séparé. En e f f e t , rT est séparé s i e t seulement s i l e s fonctions r é e l l e s continues de T séparent l e s points de T, ce qui e s t souvent exprimé en disant : T est fonctionnellement séparé.

Pour un espace complètement r é g u l i e r T, uT .porte l ' u n i - formisation l a plus f i n e de T, qui est aussi appelé l a structure uniforme u n i v e r s e l l e ; en e f f e t , dans ce cas tuT = T, e t s i T = tu, l ' a p p l i c a t i o n : 1 : uT = utU -> U est uniformément continue. Si T possède une uniformisation complète, uT est aussi complet. Dans ce cas, T est d i t topologiquement (ou universellement) complet. Plus généralement nous appelons topologiquement complet tout espace t o - pologique T pour l e q u e l uT est complet. On s a i t [ 1 0 ] que tout es- pace paracompact, en p a r t i c u l i e r tout espace métrique, e s t t o p o l o - giquement complet.

Pour R € ÇRs, uT est un espace uniforme séparé. S o i t u î sa completion, e t posons 61 = tuT. T est sous-espace dense de 0T e t 0T est appelle l a completion topologique (ou aussi l a r e - p l e t i o n compactologique, c f . [ l ] ) d e T. 6 est un foncteur de CRs dans l a sous-catégorie p l e i n e de CRs qui est formée des espaces

topologiquement complets ; i l est coadjoint au foncteur d i n c l u s i o n .

84

§ 2 . Espaces à génération compacte e t espaces complètement r é g u l i e r s .

Les espaces à génération compacte ont é t é i n t r o d u i t s par K e l l e y [10] et ont été étudiés e t u t i l i s é s par exemple dans [ 8 ] , [ 1 2 ]

e t [ 1 ^ ] . Nous résumons d^!abord quelques p r o p r i é t é s sans démonstration.

Un espace à génération compacte e s t un espace topologique séparé dont l a t o p o l o g i e coïncide avec c e l l e coinduite par l e s i n c l u - sions des sous-espaces compacts. Nous notons

GC : l a sous-catégorie p l e i n e de TOPs formée par l e s espaces à génération compacte.

Les espaces séparés que l ' o n rencontre sont en général dans GC ; en e f f e t , tout espace séparé local.ement dénombrable e t donc tout espace métrisable e s t à génération compacte ; de même tout espace localement compact. Un exemple naturel d'un espace séparé qui n^fe s t pas dans GC est donné dans [ 7 ] .

Le foncteur d ' i n c l u s i o n i : GC -» TOPs possède un adjoint k : TOPs - » GC v é r i f i a n t k^ci = 1. GC e s t donc complet e t cocomplet.

Le foncteur k ne change pas l'ensemble sous-jacent d'un o b j e t e t e s t l ' i d e n t i t é sur l e s morphismes. L ' a p p l i c a t i o n 1 : kT -* T est continue;

de plus T et kT ont l e s mêmes sous-espaces compacts.

Comme foncteur a d j o i n t , k commute avec l e s l i m i t e s . En

p a r t i c u l i e r on a donc, en notant X TT Y l e produit catégorique (dans GC) de deux espaces X et Y de GC :

X 7r Y = k(X x Y ) .

S i l^!u n des espaces X,Y est localement compact, X x Y est à géné-

r a t i o n compacte, e t dans ce cas on a X ÏÏ Y = X x Y ; en g é n é r a l , c e c i n^fe s t pas v r a i .

Si f : S -* X est une a p p l i c a t i o n i n j e c t i v e d'un ensemble S

dans un espace à génération compacte X, i l e x i s t e une e t une seule topologie à génération compacte sur S ayant l a p r o p r i é t é qu'une ap- p l i c a t i o n g : Z - » S d'un espace à génération compacte Z est continue s i e t seulement s i f⁰g : Z - » X est continue. On l ' o b t i e n t en a p p l i - quant à l a t o p o l o g i e induite (qui n ' e s t pas toujours à génération compacte, mais toujours séparée) l e foncteur k ; on appelle c e t t e topologie l a GC-topologie induite par f. Nous dirons qu'une a p p l i - cation f : Y -* X entre deux espaces de GC est un plongement de GC- sous-espace s i f e s t i n j e c t i v e e t Y porte l a GC-topologique i n d u i t e par f.

Pour des espaces topologiques T et T ' , notons C ( T , T ' ) l ' e n - semble des a p p l i c a t i o n s continues, e t C ( T , T ' ) c e t ensemble muni de

l a t o p o l o g i e compacte.ouverte. En posant, pour X , Y < E G C , e ( X, Y ) = kC (X Y) c o^{v 9} on obtient un foncteur

C : GC°^Px GC GC

qui a l a p r o p r i é t é u n i v e r s e l l e suivante :

f : X -+ C ( Y , Z ) continue f : X TT Y -+ Z continue.

I c i , f ( x , y ) = f ( x ) ( y ) . I l r é s u l t e que ce foncteur c ferme c a r t é s i e n - nement l a c a t é g o r i e GC.

Un espace à génération compacte X n ' e s t pas toujours com- plètement r é g u l i e r . La topologie de X est a l o r s strictement plus f i n e que c e l l e de l ' e s p a c e complètement r é g u l i e r rX, et i l a r r i v e que rX n^fe s t pas séparé. Nous notons

GCs : l a sous-catégorie p l e i n e de GC dont l e s o b j e t s X v é r i f i e n t l a condition ^MrX séparé", c ' e s t - à - d i r e

sont fonctionnellement séparés.

Pour X c GCs , on a donc rX € CRs. Inversement, s o i t R c CRs. A]Lors l a continuité de 1 : kR-> R implique c e l l e de 1 : rkR -> rR = R, de s o r t e

que rkR est aussi séparé, e t donc kR € GCs. La continuité de 1 : x rX entraînai t c e l l e de 1 : kX = X -> krX, on déduit que l e s foncteurs

le : CRs GCs e t r : GCs -> CRs a i n s i obtenus, s a t i s f o n t à l a :

( 2 . 1 ) Proposition

Le foncteur k : CRs -> GCs est adjoint à r : CRs -> GCs, e t ces foncteurs v é r i f i e n t r⁰k⁰r = r e t k^or⁰k = k.

Comme conséquence de c e t t e p r o p o s i t i o n on a des endofonc- teurs idempotants kr : GCs - » GCs e t rk : CRs - » CRs. Nous notons

GC* : l a sous-catégorie p l e i n e de GCs dont l e s objets X v é r i f i e n t X = krX ;

CR* : l a sous-catégorie p l e i n e de CRs dont l e s objets R v é r i f i e n t R = rkR.

La proposition précédente implique immédiatement l a :

( 2 . 2 ) Proposition

a ) Le foncteur d ' i n c l u s i o n i : GC*-» GCs possède un c o - adjoint kr : GCs - » GC*. et on a k r^Gi = 1 ;

b ) Le foncteur d ' i n c l u s i o n i : CR*-» CRs possède un adjoint

rk : CRs -> CR*, e t on a r k o i = 1 ;

c ) Les c a t é g o r i e s GC*et CR* sont isomorphes à l ' a i d e des foncteurs GC* £ CR*.

k ( 2 . 5 ) C o r o l l a i r e

Les c a t é g o r i e s GC* et CR* sont complètes e t cocomplètes.

Démonstration

Du f a i t de leur isomorphie, i l s u f f i t de considérer l ' u n e des deux c a t é g o r i e s , disons CR* Selon l a p r o p o s i t i o n précédente, CR*

e s t une sous-catégorie r é f l e x i v e de CRs ; or on s a i t que CRs e s t complète e t cocomplète.

( 2 . * 0 Lemme

Si f : X -* Y est l e plongement d^fun GC-sous-espace e t s i Y CGC*, a l o r s X € GC*.

Démonstration

La continuité de f : X - » Y entraîne c e l l e de f : krX -> Y .

1

^f

Cette a p p l i c a t i o n se f a c t o r i s e comme s u i t : krX - » X i Y ; on en déduit que 1 : krX ->Xest continue. D'autre part, on a vu que pour

tout X € GC, 1 : X - » krX est continue.

( 2 . 5 ) Lemme

Si X € GC et Y e GC*, a l o r s C ( X , Y ) € GC*

Démons tra t i on

En u t i l i s a n t l a proposition 17 du chapitre I de [ 1 3 ] on a :

C ( X , Y ) = k C^{c o} (X, k r Y ) = k C^{c o}( X , r Y ) .

Or on s a i t que rY € CRs implique C^{C Q} ( X , r Y ) e CRs. Donc : kr C ( X , Y ) = k r k C^{c Q}( X , r Y ) = k C^{c o} ( X , r Y ) = C ( X , y ) .

( 2 . 6 ) Théorème

GC* est cartésiennement fermé par l e foncteur ( X , Y ) u e " ( X , Y ) = k C^{c Q}( X , Y ) .

Démonstration

Selon l e lemme, e ( X , Y ) € GC*. Puisque i : GC*-» GCs e s t un foncteur adjoint selon ( 2 . 2 . a ) , i l commute avec l e s produits ; pour X,Y € GC* l e GC-produit de X e t Y est donc aussi l e GC*- p r o d u i t . On a donc, comme dans GC, l a propriété u n i v e r s e l l e suivante pour

X,Y,Z € GC* :

f : X - . C ( Y, Z ) continu f : X T T Y -> Z continu.

^ 3 . Plongement de X dans l ' e s p a c e des caractères des fonctions continues de X>

Posons CT = C(T, R) ; C^{C Q}T = C^{c o}( T , K ) ; CX = C ( X , R ) . Pour x € T, l ' é v a l u a t i o n des fonctions de CT au point x est un ho- momorphisme continu de C^{c Q}T dans R, On a donc une a p p l i c a t i o n

canonique e : T -* C^{C Q C C Q}T . On s a i t qu'en général c e t t e a p p l i c a t i o n n ' e s t pas continue. Par contre, l a p r o p r i é t é u n i v e r s e l l e de l a struc- ture de CX implique que pour X € GC, l ' a p p l i c a t i o n canonique e : X-»eCX e s t toujours continue. On v o i t immédiatement que c e t t e a p p l i c a t i o n e s t i n j e c t i v e s i e t seulement s i X est fonctionnellement séparé. On a donc

( 5 . 1 ) Proposition

Pour X € GC, l ' a p p l i c a t i o n canonique e : X eCX est i n j e c t i v e si e t seulement s i X € GCs.

(5.2) Théorème

Pour X e GCs sont équivalents : a ) X 6 GC*, c ' e s t - à - d i r e krX = X ; b ) e : X -+ OCX est GC sous-espace ; c ) Pour f Î Z X où Z ^ GC on a

f* (CX) C CZ f continu.

Démons t r a t i o n c ) b ) .

S o i t Z € GC e t f : Z -* X une a p p l i c a t i o n t e l l e que

eof : Z -* OCX est continue. On s a i t que pour tout g c CX, ^ a p p l i - c a t i o n e : C e X - » R d é f i n i e par e ( o ) = Q ( g ) e s t continue. Donc

S g

e ⁰ e o f : Z - » R e s t continue. Mais e ⁰ e = g ; ainsi pour tout

8 6 g 6 CX, f * ( g ) = go f : Z -> F e s t continue. Selon l'hypothèse c ) ,

f : Z -> X est donc continue, e : X -> CCX est donc une i n j e c t i o n con- tinue qui v é r i f i e la propriété u n i v e r s e l l e c a r a c t é r i s t i q u e d'un GC- sous-espace•

b ) a ) .

Selon (2.5) et puisque R*GC* on s a i t queCCX < . 0 » . Mais a l o r s XsGC* selon (2.*t).

a ) c ) .

S o i t Z € GC e t f : Z -> X t e l que f*(CX) c CZ. Donc g o f : Z - » X - » R est continue pour tout g € CX.

Cela implique que f : Z -> rX est continue. En appliquant l e foncteur k e t en u t i l i s a n t kZ = Z e t krX = X on obtient l a c o n t i - nuité de f : Z - » X .

§ h. Le théorème d ' A s c o l i

(**••!) Lemme

S o i t T e TOP. Alors l a t o p o l o g i e induite sur T par l ' a p p l i - cation canonique e : T - » C^{c o} C^{C Q} T est plus fine ( < ) que l a t o p o l o g i e de r T .

Démons t r a t i on

I l s u f f i t de montrer qu'une a p p l i c a t i o n f : S -* rT d'un espace topologique S dans rT est continue si l ' a p p l i c a t i o n composée eof : S -* C C T est continue. Or, pour tout g € C T, 1 a p p l i c a t i o n e : C C T F d é f i n i e par e ( Q ) = Q ( g ) est continue. La c o n t i n u i t é

g CO co g

de eof implique donc c e l l e de e oe o f = g^ef . Cela étant v r a i pour S

tout g€ CT, f : S-» rT est continue, car la topologie de rT e s t c e l l e induite par l e s fonctions continues g : T - » R.

(k.2) Théorème

Pour R c CRs sont équivalents : a ) R c C R » , c ' e s t - à - d i r e rkR = R ;

b ) uR = ukR ; c ) CR = C(kR) ;

d) C^{C 0}R = C^{c o}0 c R ) ;

e ) ^Cc u^{R e s t c o r a}P l e t (par C^{c u}R nous notons l ' u n i f o r m i s a t i o n classique de C^{c o}R , c ' e s t - à - d i r e CR muni de l a structure uniforme de l a convergence uniforme sur l e s compacts de R ) .

Démon s tra t i on a ) * b ) .

De a ) on o b t i e n t uR = urkR = utukR = ukR.

b ) =* c ) .

Puisque 1 : kR - » R est continue, on a CR c C ( k R ) . S o i t inversement f : kR -* R continue. A l o r s f : ukR uR est uniformément continue, d'où l a c o n t i n u i t é de f : tukR = R - » tuR = R.

c ) d ) .

I l s u f f i t de remarquer que l e s compacts de R e t de kR sont l e s mêmes.

d ) e ) .

On s a i t ( c f . [ 1 0 ] ) que pour tout espace à génération compacte X, C^{C U}X est complet.

e ) •* a ) .

Cc oR e s t u n e sous-algèbre de Cc QkR qui contient l e s

constantes e t sépare l e s p o i n t s . Selon l e théorème de Stone-Weierstrass ( c f .[ M ) , C^{c o}R est donc dense dans C kR. Puisque C R est un sous-

espace uniforme complet de C^{c u}k R , C^{c Q}R est un sous-espace fermé de t C^{c u}k R = C^{c Q}k R . On a donc C^{c o}R = C ^ k R . Mais CR = CkR implique

( s e l o n l a deuxième c a r a c t é r i s a t i o n du foncteur r ) : rR = rkR. Puisque

rR = R on a bien a ) .

Remarque

Les espaces de CR* ont été étudiés par H. Buchwalter ; i l s s¹ appellent k^R-espaces dans [ 1 ] .

( ^ • 3 ) Lemme

Pour un espace séparé T sont équivalents : a ) e : T -» C C „ T est continue ;

' co co

b ) Tout sous-ensemble compact de C^{c Q}T est équicontinu.

La démonstration r é s u l t e directement des d é f i n i t i o n s des notions de p a r t i e équicontinue e t de t o p o l o g i e compacte-ouverte.

(*A) Théorème

Pour R € CRs sont équivalents :

et) R a l a p r o p r i é t é d ' A s c o l i , c ' e s t - à - d i r e :

Un sous-ensemble K de C^{c Q}R est compact s i e t seulement s i i l s a t i s f a i t l e s conditions suivantes :

(1) K est fermé dans C^{C Q}R ; ( 2 ) K est équicontinu ;

(3) pour tout x € R, K ( x ) est borné dans R.

3) e : R -> C C R est un plongement de sous-espace.

y) e : R -» C C! Rest continue. ' ' co co Démonstration

a ) p ) est une conséquence de ( ^ . 1 ) e t (4.3)

£) 7) est t r i v i a l .

7) a ) . A l ' a i d e du théorème de Tychonof on montre facilement que tout sous-ensemble K de R qui s a t i s f a i t l e s conditions

(1)>(2)

e t

(3)

est compact par rapport à l a t o p o l o g i e f a i b l e . D'autre part, on s a i t que sur une p a r t i e équicontinue l a topologie f a i b l e coïncide avec l a

t o p o l o g i e compacte-ouverte.

Inversement, supposons que K e s t compact dans Cc o R* Cela implique t r i v i a l e m e n t

(1)

et

(3) ; (2)

s ' o b t i e n t selon

(4.3),

car e : R -* C C R est continu par hypothèse,

co co

(4.5) Théorème

Les conditions du théorème (4.2) impliquent l e s conditions du théorème (4.4) ; en p a r t i c u l i e r on o b t i e n t : tout Re CR* a l a pro- p r i é t é d ' A s c o l i e t e : R ->^{c c o c c o R e s _ t} un plongement de sous-espace.

Démonstration Les applications

kR > k C k C kR > C k C kR co co co co

sont continues. Selon d ) , e : kR - » C^{C Q} ^ C^{c Q}R e s t donc continue .Puisque c e t t e a p p l i c a t i o n se f a c t o r i s e par l e sous-espace C^{c Q} C^{C Q}R de ^{c c o k C c o R} * e : kR ->^{C C 0 C C 0 R e s t} continue. En appliquant l e foncteur r et en u t i -

l i s a n t que rkR = R e t que ^{c c o c c o R e s t} complètement r é g u l i e r on déduit 7 ) .

§ 5 . Homéomorphie entre X e t l ' e s p a c e des caractères de l ' a l g è b r e des fonctions continues de X.

Pour un espace topologique A muni d'une structure d ' a l - g è b r e , notons HA resp. H^{c Q}A l e sous-ensemble de CA resp. l e sous- espace de C^{c Q}A dont l e s éléments sont des homomorphismes (toujours u n i t a i r e s ) d ' a l g è b r e s , c ' e s t - à - d i r e l e s caractères ( c o n t i n u s ) de A . Dans l e cas d'un espace à génération compacte X, CX est une algèbre à génération compacte, c ' e s t - à - d i r e l a t o p o l o g i e de CX a l a p r o p r i é t é que l ' a d d i t i o n a i n s i que l a m u l t i p l i c a t i o n sont des a p p l i c a t i o n s continues d e e x TT e x dans CX.

>

L ' a p p l i c a t i o n canonique X C C X se f a c t o r i s e pajrjeCX,

ce qui donne l a transformation de Dirac e : X - » J C G X . Le but p r i n c i - pal, dans ce paragraphe, e s t de trouver sous q u e l l e s conditions, l ' a p - p l i c a t i o n e : X

->Xex

est un homéomorphisme s u r j e c t i f . Les méthodes que nous u t i l i s o n s sont dues à H. Buchwalter qui a examina l a même question dans l e cadre des espaces compactologiques ( c f ^L l ] ) .

( 5 . 1 ) Lemme

S o i t T c TOP et h : CT ^ R un homomorphisme d¹a l g e b r e s . Alors

a ) pour tout g € CT i l e x i s t e a € T t e l que h ( g ) = g ( a ) ; b ) h ( | g | ) - | h ( g ) | ;

c ) h(g^x) = . . . = h ( gⁿ) = o h (sup { g¹ , . . . , gⁿ} ) = o . Démons t r a t i on

a ) I d e n t i f i o n s R avec l e s fonctions constantes e t posons h ( g ) = c, de sorte que h ( g - c ) = o . Si Ion a v a i t

g(x.) ^ c pour tout x e T, a l o r s 1 | ( g - c ) 6 CT e t on ob- t i e n d r a i t une contradiction

1 = h ( l ) = h ( g - c ) . h ( l / ( g - c ) ) = o . b ) ( h ( | g | ) )² = h ( | g |²) = h ( g²) = ( h ( g ) )² = | h ( g ) |². c ) I l s u f f i t de considérer l e cas n=2. On é c r i t

s u p { g¹, g²> = £ (gj+ g²+ | g¹- g ² l ) . (5.2) Lemme

S o i t G c CT équicontinu e t simplement borné. A l o r s G= G u {sup G¹ ; G' C G} est aussi équicontinu e t simplement borné ;

en p a r t i c u l i e r , sup G e CT.

La démonstration est une conséquence immédiate de l a d é f i n i t i o n d¹équicontinu!té•

94

(5.3) Lemme

Soit h : C^{c Q}T - 4 R un homomorphisme d ' a l g è b r e s dont l a r e s t r i c t i o n à toute p a r t i e équicontinue e t simplement fermée e s t continue. Alors

a ) Si G^Qest équicontinu e t simplement borné e t s i h|G^Q= o, a l o r s h(sup G^Q) = o ;

b ) s i G est équicontinu, i l e x i s t e a € T t e l que h ( g ) = g ( a ) pour tout g € G.

Démonstration

a ) sup G^Q est l a l i m i t e simple des fonctions sup G¹

où G' v a r i e dans l'ensemble des p a r t i e s f i n i e s de G^Q. Toutes ces fonctions sont dans G^Q, e t selon (5.2) G^Q

est équicontinu e t simplement fermé. Sur G^Q l a topo- l o g i e f a i b l e coïncide avec l a t o p o l o g i e compacte-ou- v e r t e . Donc en vertu de ( 5 . 1 . c ) l a c o n t i n u i t é de h

implique h(sup G^Q) = o .

b ) En associant à g € G l a fonction g* = i n f ( 1 > | g - h ( g )I ) on o b t i e n t l'ensemble G* = { g* ; g e G } . On v o i t que G* est aussi équicontinu, e t simplement borné. Puisque o < h ( g * ) ^ h ( l g - h ( g ) | ) = | h ( g - h ( g ) ) | = o pour tout g* € G*, l a p a r t i e a ) de (5.3) implique h(sup G*) = o .

Selon ( 5 . 1 . a ) i l e x i s t e a c T t e l que (sup G * ) ( a ) = o . Donc g* ( a ) = o pour tout g* c G*, c ' e s t - à - d i r e

( g - h ( g ) ) ( a ) = o pour tout g€ G, d'où g ( a ) = h ( g ) pour tout g € G.

(5.4) Proposition

Pour R€ CR*, e ( R ) e s t dense dans H k C R.

' * ⁷ co co

Démonstration

Soit h € H k C Ro co co ** o ³ et W un voisinage de h . Donc i l e x i s t e des ensembles G j , , . . . , Gⁿ, compacts dans C^{c Q}R , et es

Q1> •••>⁶ⁿ> ^{o u v e r t s} dans de sorte que

ho ⁶ <^Gl '^ei ) ⁿ- - - -ⁿ « V ⁰ ^ ^{C W}'

où ( G^±, 6 . ) = {h€ H^{c Q}k C^QR ; h (G^±) C 6 ⁱ )

A l o r s G - . U . . . . Ui n co G_ est aussi compact dans C R, donc ^J équicontinu selon

(4.5).

Puisque l a fermeture simple de toute p a r t i e équicontinue simplement bornée G est équicontinue, sim- plement bornée e t fermée dans l a t o p o l o g i e compacte-ouverte, une t e l l e p a r t i e G e s t , selon

(4.5),

contenue dans un compact de C ^{C Q} R ;

l a r e s t r i c t i o n de h^Q à un t e l ensemble G est donc continue. On peut donc appliquer l e lemme précédent : i l e x i s t e a € R t e l que

h 0( g ) = g ( a ) pour tout g e G¹u u Gⁿ. Donc on a : s i g € G , a l o r s e^a( g ) = g ( a ) = h^Q( g ) € h^Q( Gⁱ) C 9^±.

Cela montre que e ^ G ^ ) C G^±J resp. e^a € ( Gⁱ, 6^). Ceci étant pour i = l , . . . , n on o b t i e n t e^o € W.

a ( 5 . 5 ) Théorème

Pour R € CR», H^{c Q}k C^{C Q}R est l a complétion topologique de R.

Démons t r a t i o n

Comme vu dans la démonstration précédente, on a pour R c CR», en vertu de l a propriété d^!A s c o l i , l e r é s u l t a t suivant : toute p a r t i e équicontinue et simplement bornée de CR e s t contenue dans un compact de C R, e t inversement, tout compact de C R e s t

Co c o

équicontinu e t simplement borné. I l r é s u l t e donc d'un théorème de Pupier ( c f . [ l ] ou [ 2 ] ) que uR est sous-espace uniforme de H k C R

eu co ^%

96

Puisque par rapport aux t o p o l o g i e s associées on s a i t , d'après ( 5 . 4 ) eue tuR = R est dense dans t H^{c u}k C^{C Q}R = H^{C Q}k C^{c Q}R , l e théorème est démontré.

( 5 . 6 ) C o r o l l a i r e

Si R € CR* est topologiquement complet, a l o r s e : R -» H k C R

— co co e s t un homéomorphisme s u r j e c t i f .

( 5 . 7 ) Théorème

Soit X € GC*. A l o r s e : X -* JCCX est un homéomorphisme sur- j e c t i f s i et seulement s i X est topologiquement complet.

Démonstration

Supposons d'abord que e : X -» JCCX s o i t un homéomorphisme.

On s a i t que R = rX appartient à CR*. Selon ( * . 5 ) , e : R C C R est

— co co un plongement de sous-espace. I l se f a c t o r i s e par l e sous-espace

Hc o^Cc o^{R d e C}c o^Cc o^R' ^{e t H}c o^Cc o^{R e s t} sous-espace de

Hco ^{k C}c o^R = ^Hc o^{k C}c o^{k R} = ^Hc o ^{C X} -

A i n s i e : R -» H^{c Q} CX est un plongement de sou s-espace. Selon l ' h y - pothèse, c e t t e a p p l i c a t i o n est b i j e c t i v e , de sorte que R est donc homéomorphe à H^{C Q} CX. Or H ^{c q} CX est topologiquement complet ; en e f f e t , H^{c u} CX est sous-espace uniforme fermé de l ' e s p a c e complet

ccu ^{C X} * ^D° ^{nC R 6 S t t o} P ° ^{l o}e ^{i c}i u e m e n t complet, et puisque uR = utuX = uX,

c e l a est équivalent à l ' a f f i r m a t i o n que X est topologiquement complet.

Inversement, supposons que X s o i t topologiquement complet.

A l o r s R = rX appartient à CR* e t est complet, car uR = uX. Selon ( 5 . 6 )

e : R "* ^Hc o^{k C}c o^{R = H}c o^{k C}c o^{k R e s t d o n c} u*¹ homéomorphisme s u r j e c t i f .

D e même donc e : kR - k H k C k R ; mais kR = X et kH k C kR=XCX.

eu co co co

( 5 . 3 ) Théorème

Si X g G C * est topologiquement complet alors C X considéré comme espace vectoriel à génération compacte est réflexif.

Démonstration

Posons R = rX. Comme Haydon [9] l^!a démontré, le fait que R est topologiquement complet implique que Cc QR est un "elc de Kelley1 1

au sens de [ 1 ] ; il en résulte (^{c c o R} étant complet il est en fait équivalent) que C^{C Q}R = ck ^{cc oR} * où c est le foncteur qui associe à un espace vectoriel à génération compacte l'espace localement con- vexe associé. Le théorème résulte donc du critère de réflexivité don- né dans (4.4) ^de [6] : on a C X = k CCQX = k Cc ck R = k CCQR , et CC QR

est un espace localement convexe complet, invariant par rapport au foncteur ck.

98

BIBLIOGRAPHIE

1 ] Buchwalter H - "Topologies et compactologies" - Publ. Dept. Math. Lyon - t.6-2 - 1 - 7 4 ( 1 9 6 9 ) .

[ 2 ] Buchwalter H - Pupier R - : "Caractérisation topologique

de la complétion universelle d,u n espace topologique complètement régulier" .

C R . Acad. Sc. - t. 268 - 1 5 3 4 - 1 5 3 6 ( 1 9 6 9 ) .

[ 5 ] Dieudonné J - : "Une généralisation des espaces compacts" - Journal Math, pures et appl. t. 23 - 6 5 - 7 6 ( 1 9 4 4 ) .

[4] Dugundji J - à "Topology"

Allyn and Bacon ( 1 9 6 6 ) .

[ 5 ] Frölicher A - : "Sur l'anneau des fonctions continues d'un espace à génération compacte" -

C R . Acad. Sc - t. 2 7 5 - 2 5 - 2 7 ( 1 9 7 2 ) .

[ 6 ] Frölicher A - Jarchow H - : "Zur Dualitätstheorie kompakt ezeugter und lokalkonvexer Vektorräume" -

Comm. Math. Helv. - Vol. 47 - 2 8 9 - 3 1 0 ( 1 9 7 2 ) .

[ 7 ] Frölicher A - Roulin M - : "Topologies faibles et topologies à génération compacte" -

Enseignement mathématique - T. XVIII - 2 0 5 - 2 0 7 ( 1 9 7 2 ) .

[ 3 ] Gabriel P - Zisman M - : "Calculus of fractions and homotopy theory"

Ergeb. der Math. 3 5 - Springer ( 1 9 6 7 ) .

[ 9 ] Haydon R - : "Sur les espaces M(T) et M$$(T)" - C R . Acad. S c - t. 2 7 5 - 9 8 9 - 9 9 1 ( 1 9 7 2 ) .

[ 1 0 ] Kelley J.-L. - : "General Topology"

Van Nortrand ( 1 9 5 5 ) .

[ 1 1 ] MacLane S - : "Categories" - Springer ( 1 9 7 1 ) .

[12] Pupier R - : "Méthodes f o n c t o r i e l l e s en t o p o l o g i e générale" - Publ. Départ. Math. Lyon - 1 - 1 2 1 ( 1 9 7 1 ) .

[ 1 3 ] Seip U - : "Kompakt erzeugte Vektorraüme und A n a l y s i s " - Lecture Notes in Math. 273 - Springer ( 1 9 7 2 ) .

[14] Steenrod N - : "A convenient category of t o p o l o g i c a , spaces" - Mich. Math. J. 14 - 1 3 3 - 1 5 2 ( 1 9 6 7 ) .

Genève, l e 3 1 Mai 1 9 7 3 A l f r e d FROLICHER U n i v e r s i t é de Genève

I n s t i t u t de Mathématiques 2-4, rue du L i è v r e

1211 GENEVE 24 SUISSE

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