A 467 Le problème du pharaon [*** à la main]
Solution de Daniel Collignon
La stèle de base a x b et de hauteur h vérifie donc a^2 + b^2 = h^2.
En divisant par d = PGDC(a, b, h) et en posant a=dx, b=dy et h=dz, on se ramène à : x^2 + y^2 = z^2, avec cette fois-ci PGDC(x, y, z) = 1.
Quelques propriétés faciles à démontrer :
* PGDC(x, y) = PGDC(y, z) = PGDC(z, x) = 1
* z est impair (raisonner modulo 4)
* quitte à échanger x et y, on peut supposer que x soit pair et y impair.
En posant, x=2x', nous avons x'^2 = (z+y)/2 * (z-y)/2.
* PGDC((z+y)/2, (z-y)/2) = 1
* il existe des entiers u et v tels que (z+y)/2 = u^2 et (z-y)/2 = v^2
* PGDC(u, v) = 1
* y = u^2 - v^2 et z = u^2 + v^2
* z impair <=> u et v n'ont pas la même parité
En remontant et quitte à échanger a et b, il existe donc des entiers d, u et v tels que : u > v de parité différente et PGDC(u, v) = 1
a = 2duv
b = d(u^2 - v^2) h = d(u^2 + v^2)
La stèle vérifie également abh = 2*3^5*5^2*7*11*373*N où N est premier.
D'où d^3*u*v*(u-v)*(u+v)*(u^2+v^2) = 3^5*5^2*7*11*373*N
Rappelons que u*v est pair donc N est pair et étant premier ne peut valoir que 2.
Il s’agit donc de résoudre d^3*u*v*(u-v)*(u+v)*(u^2+v^2) = 2*3^5*5^2*7*11*373.
On peut remarquer que : - d divise 3.
- v, u - v < u < u+v < u^2 + v^2 sont premiers entre deux à deux - u^2 + v^2 >= 373
Lemme : si p premier divise u^2 + v^2 impair avec PGDC(u, v) = 1, alors p = 4k+1.
Par l'absurde, supposons qu'il existe un nombre premier p = 4k+3 tel que u^2 = -v^2 (mod p).
En élevant à la puissance 2k+1, il vient u^(4k+2) = -v^(4k+2) (mod p).
Par ailleurs, nous avons également PGDC(p, u) = PGDC(p, v) = 1.
Du petit théorème de Fermat découle u^(p-1) = v^(p-1) = 1 (mod p), soit 1 = -1 (mod p).
Cela est absurde pour un nombre impair p.
Compte tenu de ce qui précède, il reste donc à étudier 2 cas :
* u^2 + v^2 = 373 => (u, v) = (18, 7)
* u^2 + v^2 = 5^2*373 => (u, v) = (93, 26) ou (90, 35) ou (82, 51)
Remarque : ces 3 décompositions s'obtiennent simplement à partir de 3^2 + 4^2 = 5^2 et de l’identité (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2
Seul le premier cas conduit à une solution avec d=3, soit : a = 2*3*18*7 = 756
b = 3*(18^2 -7^2) = 825 h = 3*(18^2 + 7^2) = 1119
