A 468 Le problème des nombres gelés [*** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Le parallélépipède de base a x b et de hauteur h vérifie donc a^2 + b^2 = h^2.
En suivant le raisonnement dans A467, nous arrivons au fait que quitte à inverser les rôles de a et b, il existe des entiers d, u et v tels que :
u > v de parité différente et PGDC(u, v) = 1 a = 2duv
b = d(u^2 - v^2) h = d(u^2 + v^2)
Le parallélépipède vérifie également ab = 2*3^4*5^2*7*11*p où p est premier.
D'où d^2*u*v*(u-v)*(u+v) = 3^4*5^2*7*11*p
Rappelons que u*v est pair donc p est pair et étant premier ne peut valoir que 2.
Il s’agit donc de résoudre d^2*u*v*(u-v)*(u+v) = 2*3^4*5^2*7*11.
Le lien avec le précédent énoncé est alors clair car la solution "évidente" (d, u, v) = (3, 18, 7) fournit une hauteur de 1119.
Néanmoins cela n’est pas satisfaisant et il reste à vérifier si d'autres solutions existent.
On peut remarquer que :
- 3 divise u*v*(u-v)*(u+v) (raisonner modulo 3) - d divise 15.
- v, u - v < u < u+v sont premiers entre deux à deux (les exposants de 3 et 5 sont donc pairs) - u + v >= 11
Ne voyant pas trop « d’astuce » à ce stade, j’ai distingué 3 cas selon l’ordre entre v et u-v, puis j’ai majoré v et u-v afin de limiter le nombre de cas à examiner.
* 2v=u => v=1 et u=2 : pas de solution
* 2v < u => v < u-v < u < u+v
1*2v*v*v*3v < d^2*u*v*(u-v)*(u+v) => 6v^4 < 2*3^4*5^2*7*11
1*(u-v)*1*(u-v)*(u-v) < d^2*u*v*(u-v)*(u+v) => (u-v)^3 < 2*3^4*5^2*7*11 d'où v <= 15 ({1, 2, 7, 9, 11, 14}) et u-v <= 67 ({1, 7, 9, 11, 25, 63})
=> v=2, u-v = 7, u = 9, u+v = 11 => d=15
=> v=7, u-v = 11, u = 18, u+v = 25 => d=3
* 2v > u
u-v < v < u < u+v
1*v*v*1*2v < d^2*u*v*(u-v)*(u+v) => 2v^3 < 2*3^4*5^2*7*11
1*(u-v)*(u-v)*(u-v)*(u-v) < d^2*u*v*(u-v)*(u+v) => (u-v)^4 < 2*3^4*5^2*7*11 d'où v <= 53 ({1, 2, 7, 9, 11, 14, 18, 22, 25, 50}) et u-v <= 23 ({1, 7, 9, 11})
=> pas de solution
Ainsi il y a donc une autre solution (d, u, v) = (15, 9, 2) fournissant une hauteur de 1275.
