Problème proposé par Michel Lafond
Un entier naturel positif n est appelé «conciliant» s’il existe au moins un entier N dont la somme des chiffres est S tel que N = nS. A contrario le nombre est dit « inflexible».
Trouver le plus petit entier inflexible et son plus proche voisin.
Question subsidiaire pour les plus courageux : l’entier 2012 est-il conciliant ou inflexible ? Si n n’est pas égal à 1 modulo 9, S et N sont divisibles par 9.
On constate que pour 1≤n≤10, 12≤n≤20, 23≤n≤30, 34≤n≤40, 45≤n≤50, 56≤n≤60, 67≤n≤70, la somme des chiffres de 9n est égale à 9 , tandis que pour n=11, 21, 22, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 44, 51, 52, 53, 54, 55, 61, la somme des chiffres de 18n est égale à 18.
Le premier candidat à l’inflexibilité est donc 62 : on constate que 9*62=558, 18*62=1116, 27*62=1674, 36*62=2232, et si k>4, 9k*62=k*558 a strictement moins de k chiffres, donc la somme de ses chiffres ne peut être égale à 9k : 62 est donc inflexible. Il en est de même pour 63 : 9*63=567, 18*63=1134,
27*63=1701, 36*63=2268, et, pour k>4, 9k*63 a moins de k chiffres.
Enfin, 18*2012=36216, dont la somme des chiffres est 18 : 2012 est conciliant.
