Problèmes proposés par Maurice Bauval
Pb1 On donne un cercle (Γ) de centre O passant par un point I. Une droite (Δ) passant par un point A situé sur le rayon OI coupe le cercle (Γ) en deux points M et N. La droite parallèle à OI passant par M recoupe (Γ) en B. La médiatrice de BN coupe la droite BI en C. Déterminer le lieu de C quand (Δ) pivote autour de A.
Pb2 On trace les perpendiculaires BP et CQ à une droite quelconque (Δ) passant par le sommet A d'un triangle ABC. Soit D le pied de la hauteur issue de A dans ABC. Déterminer le lieu du centre du cercle circonscrit au triangle DPQ quand la droite (Δ) pivote autour de A.
1) Soit J le point diamétralement opposé à I, et D le milieu de BI : les angles COD et IBN sont égaux donc
CD=OD tan(COD)=OI sin(OIB)tan(IBN), et comme ID=OI cos(OIB) :
CD/ID=tan(MBI) tan(IBN)
=tan(MJI) tan(IJN)=(IM./JM)(IN/JN) ; or IN/JM=IM/JN=AI/AJ donc
CD/ID=(AI/AJ)2 : le lieu de D étant le cercle de diamètre OI, celui de C est le cercle de diamètre IE, où E est le point de OI tel que OE/OI=(AI/AJ)2.
2) Si A’, B’ C’ sont les milieux de BC, CA, AB et D, E, F sont les pieds des hauteurs issues de A, B, C, le cercle d’Euler (DEF), du
triangle ABC, passe par A’, B’, C’.
P et D appartiennent au cercle de diamètre AB. La médiatrice de DP passe par le milieu C’ de AB, centre de ce cercle. De même, la médiatrice de DQ passe par le milieu B’ de AC. Le centre K du cercle (DPQ),
intersection des médiatrices de DP et DQ , voit B’C‘ sous l’angle complémentaire de PDQ=PDA+ADQ =PBA+ACB=BAC Or BAC=B’A’C‘ : K appartient donc au cercle d’Euler.
