D1832. Des multi-solutions pour deux pivots
Probl`emen01, 1`ere solution
Soit le point A et son inverse A0 par rapport au cercleΓ. Du point courant N sur Γ on tire les droites N A et N A0 : elles coupent Γ en M et M0 sym´etriques par rapport `a l’axe OA. (N I et N J sont les bissectrices deM N M\ 0, donc les arcs M I et IM0 sont ´egaux.)
Dans le probl`eme pos´e, on remplaceN M0A0 par la droiteN0BA01sym´etrique par rapport `a O. Quand B d´ecrit Γ, les droites A01B et N A sont li´ees : la perpendiculaire enB `a A01Bpasse par N, et la perpendiculaire enM `a N A passe parN0.
IC
IB = IO
IA01 (th. de Thal`es)
C d´ecrit le cercle homoth´etique deΓ (centreI, rapport ci-dessus).
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Probl`emen01, 2`eme solution
IH est la perpendiculaire `a BN passant par I.
\OIB= \OBI =IBM\ =IN M\
(triangleOBI isoc`ele,BM parall`ele `aOI et angles inscrits dansΓ) IH coupeBOenD etN O enE.
OID\=AN O\ (triangleOIN isoc`ele)
Les triangles AON et IOE sont sym´etriques par rapport `a la m´ediatrice de N I. DoncOE=OA.
B et N sont sym´etriques par rapport `a OG et DE est parall`ele `a OG, donc OD= OE.
IC
IB = DO
DB = AO
AJ (th. de Thal`es)
C d´ecrit le cercle homoth´etique deΓ (centreI, rapport ci-dessus).
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Probl`emen02, 1`ere solution
Ocentre du cercleΓO circonscrit `a DP Q.
H orthocentre deABC.
∆ recoupeΓ(cercle circonscrit `a ABC) enM La perpendiculaire `a ∆enM passe parA0 diam´etralement oppos´e `aAsurΓ.
La m´ediatrice deP Qest ´equidistante deP BetQC et coupe doncBC en son milieuMa.
P B recoupe ΓO en I; QC recoupe ΓO enJ. Le rectangle P QJ I a Opour centre.
H,MaetA0sont align´es etHA0 = 2×HMa. Le th´eor`eme de Thal`es montre queH,OetM sont dans la mˆeme relation.
DoncOd´ecrit le cercle d’Euler deABC.
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Probl`emen02, 2`eme solution
Ocentre du cercleΓO circonscrit `a DP Q.
D,E,F pieds des hauteurs deABC.
Ma,Mb,Mc milieux des cˆot´esBC,CAetAB.
Q d´ecrit le cercleΓC de diam`etreAC passant par D et F, et de centre Mb. Donc la m´ediatrice deDQ passe parMb. De la mˆeme fa¸con, la m´ediatrice de DP passe par le milieuMc deAB.
⇒ M\bDMc =QDP\
AQD\ et AP D\ sont constants, doncQDP\, M\bDMc et M\cOMb sont aussi constants. Od´ecrit le cercleΓE passant parMb,McetD, c’est-`a-dire le cercle d’Euler de ABC.
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