B120 - Un carré diabolique
On observe que lorsqu’on fait passer une première ligne (ou colonne) en dernière position ou vice et versa une cinquième ligne (ou colonne) en première position, cela ne modifie pas la somme des termes en ligne et en colonne mais cela joue sur la somme des termes des deux diagonales principales. Si à l’issue de toutes ces transformations, le carré reste magique, il en résulte que la somme des termes situés sur les diagonales dites « brisées » et représentées ci- après avec les quatre couleurs rouge, vert, jaune et bleue est aussi égale à la somme magique :
Les carrés qui ont cette propriété sont appelés carrés diaboliques…
Le carré proposé étant rempli avec les entiers de 1 à 25, la somme magique est égale à 25*26/10 = 65. On en déduit que sur la diagonale brisée en rouge, le 5ème terme est égal à 9, sur la diagonale brisée jaune, le 5ème terme vaut 22 et sur la diagonale brisée verte, le 5ème terme vaut 25 :
On dispose donc du carré suivant :
On pose a = 4ème terme de la 2ème ligne. On déduit immédiatement la grille suivante :
On en déduit que 6a16. Compte tenu des nombres appartenant à cet intervalle et déjà inscrits dans le carré, il en résulte que la seule valeur possible de a est 16. D’où le nouveau carré dans lequel on pose b =1er terme de la 1ère ligne:
La somme des termes de la 3ème colonne donne 2b + 43 = 65 . D’où b = 11 et le carré magique intégralement complété en quelques minutes… On vérifie à cette occasion qu’il est bien diabolique en constatant que les sommes sur toutes les diagonales brisées sont égales à 65 :
