Exercice 1- 9 points
Le but de cet exercice et d’établir , avec un minimum de calculs, le développement en série de Fourier De fonctions périodiques rencontrées en électricité.
1. On considère un entier naturel n strictement positif . Montrer que : 01tcos
n t dt
cos(2 2n ) 1n
et 01tsin
n t dt
cos(n )n
.2. On considère la fonction f définie sur R, périodique de période 2 , telle que :
( ) [0;1[
( ) 0 [1;2[
f t t sur
f t sur
a. En utilisant le document réponse n°1 , à rendre avec la copie , tracer la courbeCf représentative de la fonctionf sur l’intervalle [ 4; 4 ] .
b. On appelleSf la série de Fourier associée à la fonction f .
On note 0
1
( ) cos( ) sin( )
f n n
n
S t a a n t b n t
.Calculer a0.
Donner les valeurs des coefficients anet bn et en déduire que : 2 2
1
1 cos( ) 1 cos( )
( ) cos( ) sin( )
f 4
n
n n
S t n t n t
n n
.c. Calculer le carré de la valeur efficace de la fonction f , défini par : 2 1 02
( )
2eff 2 f t dt
.d. Recopier et compléter, avec les valeurs exactes, le tableau suivant :
n 1 2 3
an
bn
e. Donner une valeur approchée à 103 près du nombre réel A défini par : 02 3
2 2
1 2
1
2n n n
eff
a a b
A
3. Soitgdéfinie sur R, périodique de période 2, dont la courbe représentativeCgest tracée sur [ 4; 4 ] dans le document réponse n°1.
On admet que le développement en série de FourierSgassocié à la fonctiong, est défini par : S tg( )Sf ( )t .
Justifier que : 2 2
1
1 cos( ) 1 cos( )
( ) cos( ) sin( )
g 4
n
n n
S t n t n t
n n
4. Soit het k les fonctions définies surR, périodiques de période 2, telles que :
h t( ) f t( )g t( ) et k t( ) f t( )g t( ) pour tout réel t.
a. Sur le document réponse n°1 , à rendre avec la copie , tracer les courbes Chet Ck représentatives des fonctions het k sur [ 4; 4 ] .
b. On admet que les développements en séries de Fourier ShetSgassociés respectivement aux fonctions het k, sont définis par :
S th( )S tf ( )S tg( ) et S tk( )S tf ( )S tg( ). Déterminer les coefficients de Fourier associés respectivement aux fonctions het k
Figure . 1 - Représentation graphiqueCf
2 3 4
-1 -2
-3 -4
-1
0 1
1
x y
Figure . 2 - Représentation graphiqueCg
2 3 4
-1 -2
-3 -4
-1
0 1
1
x y
Figure . 3 - Représentation graphiqueCh
2 3 4
-1 -2
-3 -4
-1
0 1
1
x y
Figure . 4 - Représentation graphique Ck
2 3 4
-1 -2
-3 -4
-1
0 1
1
x y
1. 1
0tcos n t dt
, on applique le théorème d’intégration par parties et on pose : u t( )t et v t'( ) cos( n t ) , u t'( ) 1 et 1( ) sin( )
v t n t
n
puis on applique le théorème b ( ) '( )
( ) ( )
ba b '( ) ( )a u t v t dt u t v t a u t v t dt
1
1 1
10 0 2 2
0 0
sin 1 1 cos cos( ) 1
cos t n t sin 0 n t n
t n t dt n t dt
n n n n n
De même avecu t( )t et v t'( ) sin( n t ) , u t'( ) 1 et 1
( ) cos( )
v t n t
n
, on obtient :
1
1 1
10 0
0 0
cos cos cos( ) 1 sin cos( )
sin t n t n t n n t n 0
t n t dt dt
n n n n n n
On sait que sin
n 0 et cos
n 1 n2.a
2 3 4
-1 -2
-3 -4
-1
0 1
1
x y
b. on applique le théorème : si f est T périodique , alors le coefficient de FOURIER de f sont donnés avec aune constante donnée et est tel que 2
T
par :
0 1
a T ( )
a
a f t dt
T
; an 2 aa T f t( ) cos
n t dt
T
et bn 2 aa T f t( )sin
n t dt
T
f est 2 périodique, définie sur [0; 2] , donc on pose a0 et on a :
2 1
2 1 2 1
0 0 0 1 0
0
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 4
a f t dt f t dt f t dt f t dt t
.
2 1 2
0 0 1
1 0 2 2
2 2
( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos
2 cos( ) 1 cos
a T
n a
n
a f t n t dt f t n t dt f t n t dt f t n t dt
T
a t n t dt n n
2 1 2
0 0 1
1 0
2 2
( )sin ( )sin ( )sin ( )sin
2 cos( ) sin
a T
n a
n
b f t n t dt f t n t dt f t n t dt f t n t dt
T
b t n t dt n
n
Sf la série de Fourier associée à la fonction f définie par : 0
1
( ) cos( ) sin( )
f n n
n
S t a a n t b n t
D’où 2 2
1
1 cos( ) 1 cos( )
( ) cos( ) sin( )
f 4
n
n n
S t n t n t
n n
c. 2 02
2 01
2 12
2 01
2 01 2 3 10
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 3 6
eff
f t dt f t dt f t dt f t dt t dt t
d. cos(2 2) 1
n
a n
n
: 1 2 2
cos( ) 1 2
a
; 1 2 2
cos(2 ) 1 0
4 4 0
a
et 3 2 2
cos(3 ) 1 2
9 9
a
.
cos( )
n
b n
n
: 1 cos( ) 1
b
; 2 cos(2 ) 1
2 2
b
et 3 cos(3 ) 1
3 3
b
n 1 2 3
an
2
2
0
2
2 9
bn 1
1
2 1
3
02 3
2 2
1 2
1
2n n n
eff
a a b
A
2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 1 1 2 2 3 3
1
2 2 2 2 2
2 2
4 2 2 4 2
4 2
1 1
2 2
1 1 2 1 1 2 1
16 2 0 2 9 3
1 1 4 1 1 4 1
16 2 4 81 9
1 1 324 4 36 9 4 1 1
16 2 81 36 16 2
n n
n
N a a b a a b a b a b
4 2
328 49
81 36
4 2
4 2 2 4
4 2 4 2
4 4
1 1 328 49
1 1 328 49 3 49 328
16 2 81 36 6
1 16 2 81 36 8 12 27
6
3 27 18 49 328 8 81 882 2624
0,913
216 216
A
A
.
3.
2 3 4
-1 -2
-3 -4
-1
0 1
1
x y
On admet que le développement en série de FourierSgassocié à la fonctiong, est défini par : S tg( )Sf ( )t .
Donc 2 2
1
1 cos( ) 1 cos( )
( ) ( ) cos( ) sin( )
g f 4
n
n n
S t S t n t n t
n n
,2 2
1
1 cos( ) 1 cos( )
( ) cos( ) sin( )
g 4
n
n n
S t n t n t
n n
puisque tcost est paire(cos( ) cos( ) t t )et tsint est impaire (sin( ) t sin( ))t . 4.a.
Graphique Ch de la fonction h
2 3 4
-1 -2
-3 -4
-1
0 1
1
x y
Graphique Ck de la fonction k
2 3 4
-1 -2
-3 -4
-1
0 1
1
x y
b.S th( )S tf ( )S tg( )
2 2 2 2
1 1
2 2
1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( )
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
4 4
1 cos( ) 1
2 cos( )
2
n n
n
n n n n
n t n t n t n t
n n
n n
n n t
n
Par conséquent les coefficient de Fourier associés à la fonction hsont
0
2 2
1 2
cos 1
2 0
n n
a a n
n b
1 2 2 1 2 2
( ) ( ) ( )
1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( ) 1 cos( )
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
4 4
cos( )
2 sin( )
k f g
n n
n
S t S t S t
n n n n
n t n t n t n t
n n
n n
n n t
n
Par conséquent les coefficient de Fourier associés à la fonction k sont :
0 0
0 cos
n
n
a a b n
n
