A.P.M.
[ Brevet de technicien supérieur Métropole \ session 2009 - groupement A2
Exercice 1 9 points
Le but de cet exercice est d’établir, avec un minimum de calculs, le développement en série de Fourier de fonctions périodiques rencontrées en électricité.
1. On considère un entiernstrictement positif. Montrer que : Z1
0 tcos(nπt) dt=cos(nπ)−1 n2π2 . Pour la suite de l’exercice, on admet que :
Z1
0 tsin(nπt) dt= −cos(nπ) nπ . 2. On considère la fonctionf définie surR, périodique de période 2, telle que :
(f(t) =tsur [0 ; 1[
f(t) =0 sur [1 ; 2[.
a. En utilisant le document réponse no1, à rendre avec la copie, tracer la courbeCf représentative de la fonctionf sur l’intervalle [−4 ; 4].
b. On appelleSf la série de Fourier associée à la fonctionf. On note Sf(t)=a0+
+∞
X
i=1
(ancos(nπt)+bnsin(nπt)).
Calculera0.
Donner les valeurs des coefficientsanetbn, et en déduire que : Sf(t)=1
4+
+∞
X
n=1
µcos(nπ)−1
n2π2 cos(nπt)−cos(nπ)
nπ sin(nπt)
¶ . c. Calculer le carré de la valeur efficace de la fonctionf, défini par
µ2eff=1
2
Z2
0
¡f(t)¢2
dt.
d. Recopier et compléter, avec les valeurs exactes le tableau2d.
n 1 2 3
an
bn
e. Donner une valeur approchée à 10−3près du nombre réelAdéfini par :
A= a20+1
2 X3 n=1
¡a2n+b2n¢
µ2eff .
3. Soitgla fonction définie surR, périodique de période 2, dont la courbe re- présentativeCgest tracée sur l’intervalle [−4 ; 4] dans le document réponse no1.
On admet que le développement en série de FourierSgassocié à la fonction g, est défini parSg(t)=Sf(−t).
Justifier que :
Sg(t)=1 4+
+∞
X
n=1
µcos(nπ)−1
n2π2 cos(nπt)+cos(nπ)
nπ sin(nπt)
¶ .
4. Soithetkles fonctions définies surR, périodiques de période 2, telles que : h(t)=f(t)+g(t) etk(t)=f(t)−g(t) pour tout nombret.
a. Sur le document réponse no1, à rendre avec la copie, tracer les courbes ChetCkreprésentatives des fonctionshetksur l’intervalle [−4 ; 4].
b. On admet que les développements en série de FourierSh etSkassociés respectivement aux fonctionshetk, sont définis par :
Sh(t)=Sf(t)+Sg(t) et Sk(t)=Sf(t)−Sg(t).
Déterminer les coefficients de Fourier associés respectivement aux fonc- tionshetk.
Exercice 2 11 points
Dans cet exercice, on étudie un système « entrée-sortie ».
La partie A permet de déterminer la réponse à l’échelon unité.
Les parties B et C permettent d’étudier les perturbations résultant d’une coupure de 0,1seconde.
On rappelle que la fonction échelon unitéUest définie par :
½ U(t) = 0 sit<0 U(t) = 1 sit>0
Une fonction définie surRest dite causale si elle est nulle sur l’intervalle ]− ∞; 0[.
Partie A :
On considère la fonction causales1telle que, pour tout nombre réelt: s1(t)+
Zt
0 s1(u) du=U(t).
On noteS1la transformée de Laplace de la fonctions1. 1. Montrer queS1(p)= 1
p+1.
2. En déduires1(t) pour tout nombre réelt.
La courbe représentative de la fonctions1est donnée par lafigure 1 du do- cument réponse.
Partie B :
On considère la fonction causales2telle que, pour tout nombre réelt: s2(t)+
Zt
0 s2(u) du=U(t)−U(t−1).
On noteS2la transformée de Laplace de la fonctions2.
1. Représenter graphiquement la fonctione2définie sur l’ensemble des nombres réels par :
e2(t)=U(t)−U(t−1).
2. DéterminerS2(p).
3. a. En déduires2(t) pour tout nombre réelt.
b. Justifier que :
4. Établir le sens de variation de la fonctions2sur l’intervalle ]1 ;+∞[.
5. Calculers2¡ 1+¢
−s2(1−).
6. On appelleC2la courbe représentative de la fonctions2. a. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
t 1 1,1 1,5 2 2,5
s2(t)
Les résultats seront donnés à 10−2près.
b. Compléter le tracé de la courbeC2sur la figure 2 du document réponse, à rendre avec la copie.
Partie C :
On considère la fonction causales3telle que, pour tout nombre réelt: s3(t)+
Zt
0 s3(u) du=U(t)−U(t−1)+U(t−1,1).
1. Soit la fonctione3définie sur l’ensemble des nombres réels par : e3(t)=U(t)−U(t−1)+U(t−1,1).
a. Montrer quee3(t)=e2(t) pour tout nombre réeltappartenant à l’inter- valle ]− ∞; 1,1[.
b. Déterminere3(t) pourt>1,1.
c. Représenter graphiquement la fonctione3. Pour la suite, on admet que :
½ s3(t) = s2(t) sit<1,1 s3(t) = e−t¡
1−e+e1,1¢
sit>1,1.
2. Établir le sens de variation de la fonctions3sur l’intervalle ]1,1 ;+∞[.
3. Calculers3¡ 1,1+¢
−s3(1,1−).
4. On appelleC3la courbe représentative de la fonctions3. a. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
t 1,1 1,5 2 2,5
s3(t)
Les résultats seront donnés à 10−2près.
b. Compléter le tracé de la courbeC3sur la figure 3 du document réponse, à rendre avec la copie.
Document réponse no1, à rendre avec la copie (exercice 1) Figure 1 : représentation de la fonction f
1
−1
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Figure 2 : représentation de la fonction g
1
−1
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Figure 2 : représentation de la fonction h 1
−1
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Figure 2 : représentation de la fonction k 1
−1
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Document réponse no2, à rendre avec la copie (exercice 2) Figure 1 : représentation de la fonctions1
1
−1
1 2
e−1 O
Figure 2 : représentation de la fonctions2
1
−1
1 2
e−1 O
Figure 3 : représentation de la fonctions3
1
−1
1 2
e−1 O
