fonction exponentielle-term-STG-CFE-M-COURS

Fonction exponentielle 1. Définition :

La fonction ^f définie sur R par f x( )e^xest la fonction vérifiant _lne^x _xpour tout xR . Elle vérifie _e^x _0pour tout réel ^x.

2. propriétés de la fonction exponentielle . Propriété : valeurs remarquables

On a : exp(0)e⁰1 et exp(1)e¹e ; ^e2,718 Propriété : règle de calcul

Pour tous nombres réels ^a et b, la fonction ^exp vérifie :

a) _e^a_e^b _e^{a b} ; b) ^{ea b }

   

e

  ; d) ^{a b} e_b^a

e e

  e) _lne^x _x si xR ; f ) ^{ea n }

 

Pour tout réel x0, on a : _e^lnx _x Propriété ( variations )

La fonction ^exp est dérivable sur R, elle a pour dérivée

 

La fonction ^exp est croissante sur R,

x  0 1 

signe de f x'( )e^x + 1 + ^e +

ex



1 ^e 0

Théorème :

La fonction exponentielle est strictement croissante surR, ce qui revient à dire qu’elle conserve l’ordre. On a donc, pour tous réels^aetb :

_e^a _e^béquivaut à a b ; _e^a_e^béquivaut à a b .

Théorème : la fonction ^{u x:} ^{a x b} est dérivable sur R, alors la fonction _{x f x( )e}^{a x b} est dérivable sur Ret a pour fonction dérivée : _{x f x'( ) a e}^{a x b} .

Exemples : _{x f x( )e}^2x3 ; _{x f x'( ) 2 e}^2x3._{x f x( )e}^0,5x2 _{x f x'( ) 0,5e}^0,5x2 Sens de variation de la fonction f x: e^{a x b}

La fonction f x: e^{a x b} est :

strictement décroissante sur Rlorsque a0 strictement décroissante sur Rlorsque a0

e

e C exp(x)

Clnx y=x

2 3

-1

2 3

-1

0 1

1

x y

M N

A

B

le nombre eet le nombre _e^k Propriétés

1. pour tout réel ^{x]0 ;[}et kR, lnx k équivaut à _{x e} ^k

2. pour tout réel ^{x]0 ;[}et kR, lnx k équivaut à _{x e} ^k.

3. pour tout réel ^{x]0 ;[}et kR, lnx k équivaut à _{x e} ^k

Remarque :

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal

Les courbes des fonctions ln et ^expsont symétriques par rapport à la droite d’équation : ^{y x} Définitions des fonctions : x f x( )a^x

On a vu que si a est un nombre réel strictement positif, pour tout entierⁿ, ^{nln( ) lna }

 

On convient de définir_a^{x (a0)}lorsque^xest un réel quelconque en écrivant que^{xln( ) lna }

 

Le nombre_a^xest unique puisque tout nombre réel possède un antécédent unique par la fonction ln.

Définition :

Si a est un nombre réel strictement positif,^xun nombre réel quelconque, on note _a^xl’unique antécédent de ^{xln( )a} par la fonction logarithme népérien. ^ln

 

Les nombres_a^xs’obtiennent avec la touche  ou x^y de la calculatrice.

Dérivée et variation

D’après le théorème de dérivation des fonctions composées, puisque _{f x( )a}^x _e^{x aln} , '

f est telle que ^{f x'( )}









Si f x( ) 2 ^x e^{xln 2}, donc ^{f x'( )}









Si _{f x( ) 0, 25} ^x _e^{xln 0,25}, donc ^{f x'( )}







 



Si f x( ) 1 ^x e^xln1e⁰ 1. Conséquences :

Si a1: la fonction_a^xest strictement croissante sur R. Si 0 a 1 : la fonction_a^xest strictement décroissante sur R. Si a1: la fonction₁^xest strictement constante sur R.

Propriétés : règle de calcul

Pour tous nombres réels ^a et b, la fonction ^exp vérifie :

a) _a^x_a^y _a^{x y} ; b) ^{ax y }

   

a

  ; d) ^{x y} a^x_y

a a

 

x x x

a a

b b

     e) _lna^x _{x aln} si xR ; f ) ^{ax n }

 

Théorème

l’équation _xⁿ_a,où a0et nN,avec n0, a une seule solution dans ^]0;[, le nombre _a^1/n. Propriétés

1. l’équation _a^x _k, où a0et k0,a1, a une seule solution dans R : le nombre ln ln k a 2. L’ensemble des solutions, dansRde l’inéquation _a^x_k, où a0et k 0,a1,est :

♠ Dans le cas où 0 a 1, l’intervalle : ln ln ; k a

 

 

 

♠ Dans le cas où a1, l’intervalle : ln

; ln k a

 

 

 .

3. L’ensemble des solutions, dansRde

l’inéquation _a^x _k , où a0et k0,a1,est :

♠ Dans le cas où 0 a 1, l’intervalle : ln

; ln k a

 

 

 

♠ Dans le cas où a1, l’intervalle : ln ln ; k a

 

 

 

2^(x) (0,5)^x

2 -1

-2

2 3 4

0 1

1

x y