ds8-STG-M-CFE-Fonction logarithme

DS N° MATHEMATIQUES TERM STG-M-CFE 2008-2009 Exercice 1 : 4 points

Cet exercice est un questionnaire a choix multiples (QCM).

Pour chaque question, trois réponses sont proposées .Une seule des réponses proposées est exacte.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L’absence de réponse

apporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l’exercice est 0.

1. ln 54 2ln 3 est égal à :

a. ln 9 b. ln 3 c. ln 6

2. Pour tout nombre réelxstrictement positif, la fonction^f définie par : f x( )x²lnxadmet pour fonction dérivée la fonction ^{f '}définie par :

a. '( ) ²x^{2 1}

f x x

  b. '( ) ²x ¹

f x x

  c. f x'( ) x^{2 1}

  x 3. Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par ^{f x( ) 10 3ln  x}

On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ :

a. 3

'( ) 10

f x  x b. 7 '( )

f x  x ; c. 3 '( ) f x  x 4. Le nombre −3 est solution de l’équation :

a. lnx ln 3 b. ln( )e^x  3 c. elnx 3 Exercice 2 :16 points

Une entreprise fabrique des pièces de haute technologie. La fabrication hebdomadaire est limitée à 2 000 pièces. Le prix de vente de 100 pièces est fixé à 15 000 € .

La recette en milliers d’euros, obtenue pour la vente de x centaines de pièces est donc^{R x( ) 15 x}. Le graphique fourni en annexe donne la représentation graphiqueR1de la fonction R et la

représentation graphique C1 de la fonction coût de production notée C sur l’intervalle^{[ 0; 20 ]}. Partie A : lectures graphiques

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes : 1. Quel est le coût de production de 900 pièces ?

2. Quelle fabrication hebdomadaire correspond à un coût de production de 90 000 € ? 3. Combien l’entreprise doit-elle fabriquer et vendre de pièces pour être bénéficiaire ? Partie B

On admet que la fonction C définie sur l’intervalle ^{[ 0; 20 ]}est donnée par : C x( ) 0,5 x²6,5x10 4,5ln( x1).

On rappelle que le coût de production, en milliers d’euros, est le nombre C(x), x étant le nombre de centaines de pièces produites (x est compris entre 0 et 20 centaines de pièces).

On admet que toutes les pièces produites sont vendues.

1.

a. Montrer que le bénéfice est donné par la fonction B, définie sur ^{[ 0; 20 ]} par : B x( ) 0,5x²8,5x10 4,5ln( x1).

On note B′ la fonction dérivée de B sur l’intervalle ^{[ 0; 20 ]}. b. Calculer B′(x).

c. Vérifier que, pour tout réel x de l’intervalle ^{[ 0; 20]}, ( 0,5)(8 )

'( ) 1

x x

B x x

 

  .

2. a. Justifier que le signe de B′(x) est celui de^(8x) sur l’intervalle ^{[ 0; 20 ]}.

b. En déduire le signe de B′(x) puis le tableau de variation de B sur l’intervalle ^{[ 0; 20 ]} 3. Pour quelle fabrication hebdomadaire le bénéfice est-il maximal ?

Quel est ce bénéfice maximal à l’euro près ? Annexe

R

C

nombre de centaines de pièces milliers d'euros

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0 1

20

x y

Exercice 1

1. ln 54 2ln 3 ln(9 6) 2ln 3 ln 9 ln 6 ln 3       ² ln 9 ln 6 ln 9 ln 6   réponse c 2. f x( )x²lnx donc '( ) 2 ^{1 2}x^{2 1}

f x x

x x

    réponse b

3. ^{f x( ) 10 3ln  x} , donc 3 3 '( ) 0

f x    x x réponse c 4. ln( )e^x   3 x eln     3 x 3 (lne1) réponse b Exercice 2

Partie A : Lectures graphiques

1. Le coût de production de 900 pièces (= 9 centaines de pièces) est de 120 000 € (tracé rouge).

2. Le coût de production de 90 000 € correspond à la production de 700 pièces (tracé vert).

3. L'entreprise est bénéficiaire dès lors que sa recette est supérieur à son coût de production, c'est-à-dire lorsque^R₁est au-dessus de C1. Cela se produit pour une production comprise entre 200 et 1 380 pièces (tracé bleu).

R₁ C₁

nombre de centaines de pièces milliers d'euros

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260

0 1

20

x y

Partie B

1. a) Le bénéfice correspond à la différence entre la recette et le coût de production :

^{B x( )R( )x C x( ) 15 x}





1. b). B est définie est dérivable sur [0 ; 20] et sa dérivée vaut :

1





'( ) 8,5 4,5

1 1 1

x x x x

B x x

x x x

      

      

  

1. c)(x0,5)(8x) 8 x x ² 4 0,5x  x² 7,5x4 donc ( 0,5)(8 )

'( ) 1

x x

B x x

 

 

2. a) Sur [0 ; 20],x 1 0 et donc ^{x0,5 0} donc ( 0,5)(8 )

'( ) 1

x x

B x x

 

  est du signe de 8x.

2. b) On a donc :

x 0 8 20 '( )

B x + 0 ^ ( )

B x ^{26 4,5ln 9}

10  40 4,5ln 21

avec B(0) 0 10 4,5ln1    10 ; B⁽⁸⁾ 0,5 64 8,5 8 10 4,5ln 9 26 4,5ln 9 16,12        B⁽²⁰⁾ 0,5 400 8,5 20 10 4,5ln 21       40 4,5ln 21 53, 7

3. On déduit de ce tableau que le bénéfice maximal est atteint pour une production de 8 centaines de pièces, soit 800 pièces, et ce bénéfice s'élève alors à 16 112 €.